X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 70
Текст из файла (страница 70)
По отношению к длинноволновым акустическим фононам примеспый атом представляет собой точечный дефект решетки. Характерная особенность рассеяния на таких дефектах состоит в его упругости 1частога фонона не ьиеняется)! причем сечение Таким образом, мы приходим к результату, что коэффициент теплопроводности зависит от температуры в основном по экспопенциальному закону 1 70 РАССВЯННВ ФОПОНОВ НЛ ПРИМВСЯХ рассеяния быстро падает с уменьшением частоты или, что то же, волнового вектора -- как й ). Интеграл столкновений для рассеяния фононов на примесях имеет вид В1 А — Х р ~(1с 1с~)(Х~ (1 + А ) А7 (1 + Х~ ))д(01~ ш) (2я)з (70.1) Как обычно, первый член в фигурных скобках дает число актов рассеяния, приводящих (в единицу времени) фонон в состояние с заданным квазиимпульсом (с из состояний с любыми другими значениями 1с', отвечающими той же энергии.
Аналогичным образом, второй член дает число актов рассеяния, уводящих фононы из заданного состояния во все друтие. Если примесные атомы расположены хаотически, а среднее расстояние между ними много больше амплитуды рассеяния, то различные атомы рассеивают независимо и вероятности складываются. В этих условиях (что и предположено в (70.1)) общее число актов рассеяния пропорционально плотности примесных атомов Х„р. При рассеянии в анизотропной среде функция 01(1с, 1с') зависит от направлений обоих векторов 1с и 1с', зависимость же от абсолютной величины й = й' дается законом и С1эй4. В (70.Ц положено ю(1с, 1с') = ю(1с', 1с).
Напомним, что в борновском приближении это равенство следует из условия унитарности с учетом малости амплитуды рассеяния, при пренебрежении членами второго порядка (см. П, 9 126). К рассеянию фонона на примесном атоме борновское приближение, вообще говоря, неприменимо. Но при низких температурах, когда речь идет о фонопах с малыми 1с, есть друтой источник малости амплитуды рассеяния ее", пропорциональность й"; пренебрегая членами с ой", снова придем к требуемому равенству. Произведения АскАРм в фигурных скобках в (70.1) сокращаются, и после подстановки Х = А7+ дХ интеграл столкновений сразу принимает линеаризованный вид: И'й' В1 АР = 7пр(д1У) = Л1и1 и1(джей — джей)д(01' — ш) —.
(70.2) Вместе с функцией и1 этот интеграл пропорционален й~. Поскольку в то же время производная дА70/дТ сзз 1/о1 с10 111й при ш « Т, то в этой области частот дХ схз й 0. (70.3) ') Это — общее свойство рассеяния звуковых волн на препятствиях с размерами, мю1ыми по сравнению с длиной волны (ср.
ъ'1, 1 76). ср. также аналогичную ситуапи1о для рассеяния длинных злектромагпитпых воли— 11, 1 79. 364 лиэ!!кктгики ГЛ !!!! С такой ситуацией мы уже встречались в 8 68 (ср. (68.4)) ! зависимость (70.3) приводит к расходимости интеграла, определяющего тепловой поток. Таким образом, само гю себе наличие примесей в кристалле не может обеспечить конечности теплового сопротивления диэлектрика. Это не означает, однако, что примеси вообще не играют роли в установлении этого сопротивления. Дело в том! что рассеяние на примесных атомах пе сохраняет квазиимпульс фононов, и в этом смысче оно может играть роль процессов переброса. В достаточно чистых образцах может существовать область низких температур, в которой эффективная частота ипр рассеяния на примесях (для фононов с ы Т) занимает промежуточное положение между частотами нормальных и перебросных фононфоно!шых стояк!ювепий: (70.4) !~х )) ! пр )) ~'и.
В таких условиях роль процессов переброса переходит к примес- пому рассеянию и формулы (69.6)-(69.8) остаются в силе, если заменить в них 1с! на 1„р. В результате коэффициент теплопро- водности определяется формулой (69.9) с р!!р вместо и!!! .'~1 !!2!Ър Согласно (70.2), и„г соь!~ Т . Величины же р! и аз для акустических фононов пропорциональны Тз (са!. (69.10)). Поэтому мы приходим в рассматриваемой ситуации к закону хси1(Т. й 71. Гидродинамика фононного газа в диэлектрике Приближенное сохранение квазиимпульса при условии малости длины пробега 1!у для нормальных столкновений по сравнению с длиной пробега 1!! для процессов переброса, 1а еп — — « 1, 1!! !их (71.1) делает систему фонопов в кристалле при низких температурах во многих отношениях подобной обычному газу.
Нормальные столкновения устанавливают внутреннее равновесие в каждом элементе объема газа (большом по сравнению с I!!!), который может при этом двигаться с произвольной скоростью Ъ'. Если скорость Ъ" и температура Т заметно меняются лишь на расстояниях, больших по сравнению с 1!!! (и за времена, большие по сравнению с 1,зим) ! то для них можно получить систему !агидродинамических» уравнений. Построим их в линейном приближении по скоросги Ъ и 365 1 71 ! ИДРОД1ИНЛМИИЛ ФОНОИНОГО 1АЗЛ градиенту температуры, которые будем считать малыми величинами одинакового порядка.
Кроме того, для упрощения записи формул будем снова (как и в З 69) считать, 1то кристалл имеет кубическую симметрию. Одно из искомых уравнений выражает собой закон сохранения энергии. Опо получается подстановкой в (67.3), (67.4) функции распределения (69.2). Интегралы от и(1сЪг)дХИ/дн1 и от Н1пХИ обращаются в нуль при интегрировании по направлениям 1с (ср. примеч. На с. 353). Функция Хо(И1) зависит от координат и времени только через посредство Т. Пренебрегая членом с произведением Ъ 'А1Т,получим (3з — +13,Тс11НЪ =О, ' дс (71.
2) гдс цз = (71. 3) Ео равновесная плотность энергии, а Д определено в (69.8). Другое уравнение выражает собой сохранение (приближенное) квазиимпульса. Оно получается из кинетического уравне- ния — д "+и ПУ=81ММ+Ыс Х (71.4) ос подстановкой в него Х в виде (69.2), умножением на 1с, интегрированием по 1г Й и суммированием по сортам фононов. Интеграл от 1 Бал Х обращается в нуль в силу сохранения квазиимпульса при нормальных столкновениях.
В результате получим ~вТ вЂ” + ЯЧТ = — ипЯТК дУ дГ (71. 5) д'т 61 ЬТ д~ 1д1дз т. е. волновое уравнение, описывающее распространение колеба- с (42 и 1н из (69.8). Уравнения (71.2) и (71.5) и составляют искомую систему гидродинамических уравнений для фононного газа в диэлектрике. Экспоненциально малый (вместе с ин) член в правой части уравнения (71.5) представляет влияние процессов переброса. В пренебрежении этим членом квазиимпульс сохраняется строго. В таких условиях в фонопном газе могут распространяться незатухающие волны, аналогичные волнам второго звука в сверхтекучей жидкости (В.П. Пешков, 1946).
Действительно, исключив Ъ' из (71.2) и (71.5), получим тогда 366 диэлкктгики гл. чп ний температуры со скоростью (71.7) — '17Т = 1г~Лг — п11'Ч. ~Зь 6гТ (71.8) Величина д имеет размерность ем~/с и играет роль кинематиче- ) В изотропной жидкости с фононным энергетическим спектром (сверх- текучий гелий при низких температурах) имеется всего одна акустическая ветвь, в которой ы = ик. При этом дгН1г = и, дг76г = 1/3 и скорость второго звука пг = и/ч'3.
Как уже отмечалось, вклады в интегралы 1з1, )13, )зз при низких температурах возникают в основном только от акустических ветвей спектра. Для линейных законов дисперсии ог()с) интегралы пропорциональны Тз; при этом скорость (71.7) не зависит от температуры и имеет порядок величины скорости звука ).
До сих пор мы подразумевали, что размеры кристалла неограничены. При низких температурах, когда длина пробега фононов быстро растет, может стать реальной ситуация, когда длина пробега становится сравнимой или даже большой по сравнению с размерами кристалла 1 . Это относится в первую очередь к экспоненциально возрастающей длине 111. Рассмотрим теплопередачу в диэлектрике в условиях, когда 1гг» Т (это условие будет уточнено ниже), но в то жс время еще 1л «Ь; последнее условие позволяет пользоваться уравнениями фононной гидродинамики (ХА. Яиззтапп, А. ТЬеИипй, 1963; Р.Н.
Гуржи, 1964). Благодаря микроскопическим неоднородностям поверхности кристалла, отражение фононов от нее происходит обычно беспорядочным образом (как говорят, диффузно); это значит, что макроскопическая скорость фононного газа 'Ч обращается на границе в нуль. Но уравнения (71.2), (71.5) не допускают такого граничного условия; их решениями можно удовлетворить лишь условию обращения в нуль нормальной к поверхности компоненты скорости. Как и в гидродинамике обычных жидкостей, граничное условие исчезновения тангенциальной компоненты скорости требует учета вязкости жидкости. В стационарном случае из уравнения (71.2) имеем с))ч'Ч = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
