X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 67
Текст из файла (страница 67)
К результату (66.13), (66.14) можно прийти и более наглядным путем, вспомнив, что длипповолновые акустические фононы отвечают макроскопическим звуковым волнам, которые допускают рассмотрение с помощью макроскопической теории упрутости. В этой теории энергия деформированного кристалла выражается через тензор деформации (66.15) 2 ! дев де / где Щг) вектор макроскопического смещения точек упругой среды. Именно компоненты этого тензора явля!отея теми малыми величинами, по которым происходит разложение упругой энергии. При вторичном квантовании вектор Ю заменяется оператором О, аналогичным (66.2). Дифференцирование же О по координатам для построения операторов Г' !! дает тот дополнительный множитель й, который и приводит к законам (66,13)! 348 г!Иэ!!иктРики Гл г!н 8 67. Кинетическое уравнение для фононов в диэлектрике В твердом кристалле фононы образуют разреженный газ, и кинетическое уравнение для них составляется подобно тому, как это делается д.ля обычного газа.
Пусть гй7 = Х,(~,г,1с) функция распределения фононов иго сорта. Кинетические уравнения (для каждого сорта фононов) записываются в виде (67.2) !! ! Исключение составляет «квантовый кристалле -- твердый гелий. дй' дй" = ЯСХ, (67.1) д! дг где и = до!/д1с скорость фононов. Существенное отличие от ситуации в обычных газах состоит, однако, в том, что столкновения в фононном газе пе сохраняют, вообще говоря, пи числа фононов, пи (ввиду наличия процессов переброса) их суммарного квазиимпульса. Единственным законом сохранения остается лишь закон сохранения энергии.
Оп выражается соотношением в!к '' =!. (зк)! х Умножив уравнение (67.1) па о!! интегрируя по с1з!с и суммируя по л, получим закон сохранения энергии в виде — + с11РЧ = и! (67.3) д! где плотность тепловой энергии кристалла Е и плотность ее потока Ч даются естественными выражениями е=т 1 м —, !=к 1 к —. (67А! х 0 Интеграл столкновений в (67.1) должен в принципе учитывать все процессы, могущие происходить в результате взаимодействия фонопов сорта 8' со всеми другими фононами.
Фактически, однако, основной вклад в него возникает от трехфононных процессов, рассмотренных в предыдущем параграфе. Процессы с участием большого числа фононов возникают от следующих членов разложения гамильтопиана по степеням смещений атомов; эти члены быстро убывают с увеличением их порядка. Причиной уменьшения является малость отношения амплитуды колебаний ( к постоянной решетки с1; в твердых кристаллах оно остается малым при всех температурах,.
вплоть до температуры плавления ). Для грубой оценки можно исходить из классиче- 349 уРАвнкниь для Фоионов в диэлвктРике ского соотношения Ми12(2 Т: оценив характерное значение частоты как ю и/де), найдем что ( — ) е « 1. (67.5) Как всегда, интеграл столкновений представляет собой разность числа процессов, приводящих (в единицу времени) к появлению фононов в заданном состоянии (61), и числа процсссов, уводящих фононы из этого состояния. С учетом лишь трехфононных процессов имеем Ятзу = ( с-~~1 п1(1с1,1сг,1с)б(о1 — о11 — шз) х Г(1 ./ 2 З1 ЗВ х [(Х+ 1)йГРЬ вЂ” Х(Х1 + 1)(Х2 + 1)) + + ~ ш(1с, 1с~, .1сз)Б(юз — о1 — о11 ) х 61 Зз х ((Х+ 1)(д11 + 1)д1з — й7й71(7гГз + 1))~ —,, (67 6) где 1т1 = Хз,(1сз), о11 = юз,(1с1), ... Первый член в фигурных скобках отвечает прямому и обратному процессам (н1с) (н11с1) + (и21сз), 1сз = 1с — Ы» — Ь; (67.7) множитель 1/2 в этом члене учитывает, что ввиду тождественности фононов надо суммировать лишь по половине конечных состояний.
Второй же член отвечает процессам (Кз1сз) (61с) + (Ф1сз), 1сз = 1с+ 1с1 + Ь; (67 8) в этом члене множитель 1/2 не нужен, так как один из двух распадных фононов задан. Обратим внимание на то, что в подыптегральном выражении в (67.6) тройные произведения зт71"т'11"т'2 и МХ1%з сокрыцаются, Интеграл столкновений тождественно обращается в нуль равновесным распределением фононов -.- распределением Планка 1'1о = (е ~ — 1) (67.9) Для интегра.1а (67.6) в этом легко убедиться прямой проверкой: перемножение множителей дает 111о(111о1 +1)(доз+1) = (1уо+1)111о1Хозехр '+ ', (6710) т ') В оценках мы будем понимать под и скорость звука, хотя, конечно, буквальный сл1ысл такое отождествление может иметь смысл только для длинноволновых акустических фононов. 350 диэб!вктеики Гл !!и а в силу закона сохранения энергии экспоненциальный множитель в правой части обращается в единицу.
Если бы отсутствовали процессы переброса, то сохранялась бы не только суммарная энергия, но и суммарный квазиимпульс фононов. Тогда равновесной являлась бы пе только функция распределения (67.0), но и функции йбо = ~ехр — 11 (67.11) отвечающие поступательному движению (дрейфу) фононного газа как целого с произвольной скоростью Ч относительно решетки. Это утверждение отвечает общим принципам статистики. В его справедливости можно убедиться и непосредственно: с функциями (67.11) в качестве Хо в правой части равенства (67.10) появится еще и множитель Ъ1й-й, — йе) ехр т обращающийся в единицу для процессов без переброса, когда 1с = 1с! + 1с2. Но распределение вида (67.1Ц приводит, разумеется, к отличному.
от нуля потоку энергии с1. Таким образом, в отсутствие процессов переброса в кристалле было бы возможно существование потока тепла при постоянной вдоль всего тела тевшературе; другими словами, кристалл обладал бы бесконечной теплопроводностью. Конечная теплопроводность возникает только в результате существования процессов переброса!). Для вычисления тсплопроводности надо написать кинетическое уравнение для кристалла с медленно меняющейся вдоль его объема теклпературой. Как обычно, ищем функции распределения фононов в виде Д!(г! 1с) = Хо (1с) + дХ(г, 1с) ! (67.12) где бЛ вЂ” малая поправка к равновесной функции.
Кинетические уравнения принимают тогда вид (пббуТ) — ' = б(оХ), (67.13) где 1(!бМ) линеаризованный интеграл столкновений. Функции дХ должны удовлетворять енсе и дополнительному условию бк =Й, (67.14) б! ! Квантовая теория теплопроводности диэлектриков, основанная на кинетическом уравнении для фононов, была построена Пайсрлсохб (й, Ребе! Ь, 1929).
Им же была впервые указана роль процессов переброса для кинетических процессов в твердых телах. 351 КРАвиениь для Фоионов в диэлектРике означающему, что возмущенные функции распределения должны приводить к тому же значению плотности энергии решетки, что и равновесные функции. Как уже было отмечено в з 6! этим условием по существу устанавливается смысл определения температуры в неравновесном теле.
Что касается других условий, которые налагались на !ы"гг в З 6, то в случае газа фононов (в отличие от обычного газа) эти у<шовия отсутствуют. Число частиц в фононном газе вообще не является заданной величиной, а устанавливается температурой. Суммарный же истинный импульс (не квазиимпульс!) фононов в кристалле автоматически равен нулю; противное означало бы течение твердого тела, заведомо невозможное для идеальной (без дефектов) кристаллической решетки. Каждый атом в решетке совершает лишь финитное движение "- колебания вблизи узлов решетки; средний импульс такого движения тождественно равен нулю. Таким образом, поток фононов (связанный с потоком энергии) в твердом кристалле пе сопровождается переносом массы ).
Выпишем в явном виде линеаризованный интеграл столкновений (67.6). При этом целесообразно ввести вместо бг!г новые неизвестные функции Х согласно определению (67.15) Проведение линеаризации упрощается, если заметить, что !г 1Уе Х (67.16) Напишем выражение в квадратных скобках (например, в первом интеграле в (67.6)) в виде (л+))(л, +))(х,+ц ~ В вынесенных из квадратных скобок множителях можно прямо положить Ж = Яо. Разность же в квадратных скобках дает †,,у Ф 1(Х! + Хз — Х) где учтено равенство 1то! 1уез !!е Мп Ь 1 1Уое + 1 1 Ь 1Уе ) В отличие от жидкости, где импульс фонона является истинным импульсом и поток фононов связан с переносом массы. Движение атомов в жидкости инфииитно: за достаточное время каждый атом может попасть в любую точку ее объема.
352 диэлектгики Гл. тп Таким образом, интеграл столкновений приводится к виду Б к Г(х)=т)(~Я д'»'Юи'Я 'ОЯ + 3~" ю а2 х б(м1+ы2 ы)(Х1+ Х2 Х) + ~' шЖ:1с1~1сз)Л05101(%03+ 1)х а аз 1,~з ь х б(ь~+ы~ — ызНХз — Х1 — Х)) — 1 (6717) (2л)з Обратим внимание на то, что функция Х(1с) входит в подынтегральные выражения в виде простых сумм ее значений для различных к (подобно тому, как это было в классическом интеграле столкновений в газах (6.4), (6.5)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
