X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Действительно, условие абсолютной неустойчивости состоит в существовании точки ветвления функции й(о>) при 1ши > О., причем сливающиеся ветви относятся к категориям Й~ и Й; в такой точке заведомо выполняется также и условие (65.6). Конвективно же неустойчивая среда при наличии границ может оказаться как неустойчивой, так и устойчивой. ГЛАВА ЧП ДИЭЛЕКТРИКИ 9 66. Взаимодействие фоиоиов Физическая природа кинетических явлений (теплопроводность, электропроводность) в газах состоит в процессах переноса, осуществляемого тепловым движением частиц газа: в кинетических явлениях в твердых телах роль частиц переходит к квазичастицам.
Приступая к изучению этих явлений., мы начнем с теплопроводности немагиитиых диэлектриков. Сравнительная простота физической картины этого явления, по сравнению с кинетическими процессами в других типах твердых тел, связана с тем, что здесь фигурируют квазичастицы лишь одного сорта фононы. Напомним (скс Ъ', 9 72), что представление о свободных фоноиах возникает в результате квантования колебательного движеиия атомов в кристаллической решетке в гармоническом приближении, т. е. с учетом лишь квадратичных (по смещениям атомов) членов в гамильтоииаие. Различные же процессы взаимодействия фоноцов возникают при учете членов следующих порядков малости ангармоиических членов третьего и т, д.
порядков по смещениям ). Первые аигармонические члены . †.кубические — в классической энергии решетки имеют вид Н ' = — ~~ Л"~""(п1 — пз,пя — пэ)Гасни(п1)ГГ,,)1(оз)ГГвв.,(пэ). (пе) (66.1) Здесь 11в(п) — векторы смещения атомов в решетке; ст, Р, у векторные ипдексы, пробегающие значения х, )), г; в1, вз, вз вомеРа атомов в элементаРной Ячейке; п1, пв, пз 1)елочислеиныс «векторы», определяющие положение ячейки в решетке; символ 1пе) под знаком суммы означает, что суммирование производится по всем и и по всем в; ввиду однородности кристалла функции Л зависЯт только от взаимных РасстоЯний п1 — пв, пз — пз между ячейками, ио ие от их абсолютных положений в ре|петкс.
') Необходимость учееа ангармони шости колебаний атомов в решетке при рассмотрении теплопроводности кристалла была впервые указана Дебае.м 1Р. )Зебуе, 1914) и Берием (М. Босо, 1914). 344 з!иэ!!екттики Гл г!н Вторично-квантованныг! гамильтониан получается подстановкой в (66.1) вместо векторов смещений операторов Оя(п), выраженных через операторы рождения ~с и уничтожения с!, кх К фононов сорта (т. е.
ветви фоновпого спектра) я и с квазиимпульсом 1с формулой Оя(п) ~~! (2МЛ'озк(1с)) !!~ х где П = (2М) 3!й х х ~Л"~""(и!,из)е!~езде! ехр(з(1с!г„, — 1согк,), (66.4) (Ра) с! = с!„и оз! = ц!,(1с!), е! = е!к!)(1с!), Б (66.3) выделен экспоненциачьный множитель, зависящий от абсолютного положения п! ячейки в решетке. Суммирование этого множителя по всем пз дает Л!г, если 1с! — 1сз — 1сз совпадает с каким-либо периодом обратной решетки Ь, или нуль в противном случае. Поэтому О(а) П с!с! сз 'я !!е(е! ызыз)!!! (66.5) ) В этой главе пользуемся системой единиц, в ко горой й = 1. В этой системе размерности импульса и волнового воктора совнада!от;то же относится к размерностям энергии и частоты.
К х (сь е!в)(1с)е!~"" + с,~„е(л)*()с)е !~'")! (66.2) где Л число ячеек в решетке, М суммарная масса атомов в ячейке, е, ()с) векторы поляризации фононов, о! (1с) энср- Ь) гия фонона сорта я !). При подстановке возникают члены, содержащие операторы с и се в различных комбинациях по три. Эти члены описывают процессы с участием трех фоновое: произведения вида с'"с'с распад одного фонона на два, а произведения вида с "сс — слияние двух сталкивающихся фононов в один (члены же ссс и с~с ~с+ отвечают процессам, запрещенным законом сохранения энергии). Напишем, например, члены, отвечающие распаду фонопа (1сгб!) на два фонона (1сзбз) и (1сзбз). ПеРейдЯ в (66.1) от сУммирования по п!, пй, па к суммированию по аг! = п! — пэ, ий = = Пз — Пз, Пз Нанишгм Эти ЧЛЕНЫ В ВИДР из 345 ВЗЛИМОДЕЙСТВИЕ ФОНОНОВ причем кваэиимпульсы фононов удовлетворяют закону сохранения 1с! = 1сй + 1сз + Ь.
(66.6) Условие (66.6) следует рассматривать как уравнение, определяющее значение, скажем, квазиимпульса 1сз, по заданным значениям 1с! и 1с2. При этом надо брать значения 1с! и 1с2 внутри некоторой выбранной одной элементарной ячейки обратной решетки (заключающей в себе все физически различные значения квазиимпульса) и следить за тем, чтобы и 1сз тоже оказалось в этой ячейке. Последнее условие определяет необходимое значений Ь в (66.6), причем однозначным образом. Действительно, если пРи заданных 1с1, 1сз, Ь вектоР 1сз лежит в выбРанпой ячейке, то любое изменение Ь заведомо вывело бы 1сз из этой ячейки. Процессы (в данном случае распад фонона), при которых закон сохранения квазиимпульса содержит отличный от нуля вектор Ь, называются процессами с перебросом ), в отли!) чие от нормальных' процессов с Ь = О.
Надо сказать, что различие между этими двумя категориями процессов в известном смысле условно: каждый конкретный процесс может ока:заться нормальным или с перебросом в зависимости от выбора основной ячейки. Су|цествонно, однако, что никаким выбором нельзя обратить Ь в нуль одновременно для всех возможных процессов. Целесообразно выбирать основную ячейку обратной решетки так, чтобы точка 1с = О (бесконечная длина волны) находилась в ее центре; это будет подразумеваться везде ниже.
При таком выборе всем низкочастотным фононам отвечают малые значения квазиимпульса (Й « 1,1!1! с1 постоянная решетки), а все процессы с участием одних только низкочастотных фононов являются нормальными х). Болыпие же значения квазиимпульса (й 1/!1) будут отвечать коротковолновым фононам с большой энергией (порядка величины дебаевской температуры 0).
Вернемся к процессу распада фонона. Согласно обгцим правилам квантовой механики (см. Ш, (43.1))! вероятность распада, при котором квазинмпульс одного из двух возникающих новых фононов лежит в интервале с1 Йа, дается квадратом соответ- 3 . ствующего матричного элемента оператора возмущения (66.5) согласно формуле с1И' = 2л~(зу1 — 1, й!э + 1, !уз + 1~Н( 1~!У1, !Уй, Хв) ~ х и !1вк х д(а!! — озя — о!з) ', (66.7) (2х)з ) Еи!к1арр — по немецкой терминологии.
-! Если же, например, выбрать основную ячейку так, чтобы точка к = О лежала в одной из ее вершин, то малым частотам будут отвечать также и окрестности других вершин, вблизи которых к уже не малы. Гл !и! диэ!!ектеики где Х! = г«к!а!, Х2, Хз числа заполнениЯ фононов в начальном состоянии кристалла. Матричные элементы операторов рождения и уничтожения фононов даются формулами (Х вЂ” 1~с ~М = (й!~с~~Я вЂ” 1) = ъ/У. (66.8) В результате получаем вероятность распада в виде йз! <!И !и!з!Г! ()!2 + 1)()У'3 + 1)йсо! — «!2 — и!3) —... (66.9) (2я)з ' где и! = и!(62)с2!яз1«з,.я!1«!) = '" Ц' (66.10) (!! = У!!Л! .
обьем ячейки кристаллической ре!летки). Таким образом, вероятность процессов пропорциональна числу Х! начальных фононов в начальном состоянии кристалла, а также числам конечных фононов (ДГ2+ 1 и з"!!з + 1) в конечном состоянии кристалла. Последнее свойство связано со статистикой Бозе, которой подчиняются фонопы! и характерно вообще для всех процессов с участием бозонов !). Процессом, обратным распаду, является «слияние» двух фононов 1«2 и 1«а в один фонон 1«!.
Легко найти, что члены в гамильтониане, ответственные за этот процесс, отличаются от (66.5) заменой произведения с-операторов в числителе на с! сзса и заменой П на 11*. Поэтому вероятность этого процесса дается формулой, отличающейся от (66.9) лишь Х-множите!!ями! 2«Ь» с1И' = и!Х2Хз(Х! + 1)б(о2! — и!2 — о!з) ! . (66.11) (2х)з Функции же ю здесь и в (66.9) одинаковы. Последнее обстоятельство отвечает общему правилу: в борновском приближении (первое приближение теории возмущений) вероятности прямого и обратного элементарных актов рассеяния одинаковы (см. Ш, 2 126).
Среди различных ветвей фононного спектра всегда имеется три акустических, в которых энергия стремится к нулю при )с — + 0; для длинноволновых (малые )с) акустических фононов зависимость о2(1«) линейна. Для дальнейшего будег существенным поведение функции и! (66.10) для таких фононов. ') Функция распределения фонопов Хь (или Х(1с)) будет определяться как числа заполнения квантовых состояний с различными значениями квазиимпульса к.
Число состояний, приходящих на элемент !2 Й а-пространства, есть !2~ЬД2я)~, так что распределение, отнесенное к !ззк', есть Хь!!(2х)з. ВЭЛИМОДЕЙСТВИЕ ФОНОИОВ 347 (66.13) (66.14). Его можно выяснить, заметив свойство коэффициентов Л в гамильтониане (66.1), выражающее собой тот факт, что простое смещение кристалла, как целого не меняет его энергии — вне зависимости от того, деформирован ли уже кристалл илн нет. Это значит, что энергия Н!з! не должна измениться, если заменить в ней любой из множителей 'УВ(п) на 11В + а с независящим от п, а вектором а. Для этого необходимо, чтобы было Л "э"" (пг, пг! пз) = О, (66.12) и!э! где суммирование производится хотя бы по одной паре перемеп- НЫХ П!В!.
Из трех участвующих в процессе фононов могут быть длинноволновыми акустическими либо один, либо все три (с двумя такими фононами при третьем коротковолновом не могут быть соблюдены законы сохранения импульса и энергии). Для акустического фонона в пределе 1с — э О поляризационные векторы е,(!с) стремятся к независящей от в постоянной, так как все атомы в ячейке колеблются вместе; множители жс ехр (г1ггп) стремятся к единице. В силу свойства (66.12), величина й (66.4) стремится, следовательно, к нулю, а при малых 1с пропорциональна Й или (что то же для акустического фонона) пропорциональна ы. В результате находим!что ю с!з йг, если длинноволновым является один фопон, или и с!э й! йзйа, (66.14) если длинноволновые все три фонона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
