X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Учет вязкости приводит к появлению в правой части уравнения (71.5) члена с хх и', подобного аналогичному члену в уравнении Навье Стокса гидродинамики обычной вязкой жидкости. В стационарном случае это уравнение принимает вид ГИДРОДИНАМИКА ФОНОННОГО ГАЗА ской вязкости фононпого газа ~). Ее вычисление требует в принципе решения соответствующего кинетического уравнения. Для оценки же по порядку величины можно воспользоваться обычной газокинетической формулой, согласно которой 2 12- 1АЙ-— (71.9) гм Размерные эффекты играют преобладающую роль, когда в уравнении (71.8) можно пренебречь членом ипат по сравнению с р2ЛТ. Пусть, например, речь идет о теплопередаче вдоль цилиндрического стержня с толщиной гг'.
Последняя определяет характерную длину для изменения скорости Ч, так что ЬЧ Ч/В . Мы видим, что членом рггу можно пренебречь, если р/Вз >> 22П. С оценкой (71.9) это условие записывается как 1п» 1,ф, где Л2 1эф (71.10) 2н играет роль эффоктивной длины пробега фононов в ограниченном теле. Напротив, при 1,ф» 1п размеры тела несущественны и справедлив закон (69.14). Процесс теплопередачи вдоль стержня при 1п » 1,ф принимает характер пуазейлевского течения вязкого фононного газа. Его можно характеризовать эффективным коэффициентом тсплопроводности, определяющим плотность потока энергии как — Рг,ф'~Т, где ЧТ градиент температуры вдоль стержня. Этот поток можно оценить, подставив (71.10) в выражение эгэф СН1,ф.
При низких температурах теплоемкость решетки С ТЗ. Длина же 1АГ и(22р~ ° Т б (согласно (69.15)). Поэтому эффективная теплопроводность эгэф Рт Т при — « Ь « В; (71.11) она убывает с понижением температуры. Наконец, при еще более низких температурах, когда уже и длина 1,м » В, столкновения фононов друг с другом становятся вообще несущественными (подобно кнудсеновской ситуации в сильно разреженных обычных газах). Роль длины пробега переходит тогда к размерам тела Л и эффективная тсплопроводность эгэф СНА Т гс (71.12) (Н.Л.
С. Сазгтзг, 1938). ) Имея в виду лишь качественное исследование вопроса, мы полностью пренебрегаем здесь анизотропией кристалла. Следует иметь в виду, что даже при кубической симметрии вязкость описывается не скалярным коэффициентом вязкости, а тензором четвертого ранга, имеющим более одной независимой компоненты. 368 диэт!вктгики Гл ш! 8 72. Поглощение звука в диэлектрике. Длинные волны Характер поглощения звука в диэлектрическом кристалле существенно зависит от соотношения между длиной волны и длиной свободного пробега 1 тепловых фононов.
Если длина волны велика по сравнению с 1 (у"1 « 1, где 7 -. значение волнового вектора звуковой волны), то применима макроскопическая теория, основанная на уравнениях теории упругости (см. Ъ!П, 3 35). Согласно этой теории, коэффициент поглощения звука складывается из двух членов, определяющихся соответственно теплопроводностью и вязкостью среды. Оба члена пропорциональны квадрату частоты. Наша цель состоит здесь в определении их температурной зависимости. Теплопроводностный вклад в коэффициент поглощения звука выражается, по порядку величины, формулой !! (72.1) иСе где ст коэффициент теплового расширения тела, С теплоемкость единицы объема, р — плотность.
При высоких температурах, Т» О, теплопроводность ягси17Т, а С и о от температуры не зависят (см. 1г, 3 65, 67). Поэтому в этой области т „„, не зависит от температуры. При низких же температурах температурная зависимость ~сопл в основном определяется (в идеальной решетке) экспонснциально возрастающей, при уменыпении Т, теплопроводностью. Обратимся к определению вязкостпой части коэффициента поглощения звука (А.И. Ахиезер, 1938). Производя макроскопическую деформацию кристаллической решетки, внешнее зву.ковое поле меняет закон дисперсии фонопов. Длина волны тепловых фопонов мала по сравнению с длиной волны звука; поэтому по отношеяию к тепловому фонопу деформацию можно считать однородной, т, е, считать фонон находящимся в решетке, по-прежпему регулярной, по с несколько измененными периодами.
В первом приближении по малой дсфорыац!ли частота оз(1с) фонона в такой решетке связана с его частотой о!( !(1с) в нсдеформированной решетке фора!улой вида 1о1(~ )(1+ А (72.2) где ) Мы пишем, для определенности, коэффициент поглощения на единице пути. Частотная и телшературиая зависимости остаются тел!и же и для коэффициента поглощения в единицу времени, поскольку оба опроделения отличаются лишь постоянным множителем †. скоростью звука.
369 1 72 ПО!Ч!ОЩЕНИЕ ЗВУКИ ДЛИННЫЕ ВО!!НЫ д7уО / Т' (Л.ди„д — — ) = 7(Х), д!~ Т) (72.4) где 7(Л) —. линеаризованный интеграл столкновений (67.17). В левой части производная !и выражена с помощью (72.2); индекс (О) у невозмущенной частоты здесь и ниже опускаем. Производную Т можно в принципе выразить с помощью того же тензора Л и. После умножения обеих частей уравнения (72.4) на и!, интегрирования по 1с-пространству и суммирования по всем ветвям спектра фононов правая часть уравнения обращается в нуль — в силу сохранения энергии при столкновениях..Левая же часть уравнения дает Т (72.5) где Л д --.
усредненный по а72дй7В7!дп7 те~зор Л„н. В обоих предельных случаях -- высоких и низких температур —. Л и пе зависит от температуры. Действительно, при Т» О в усреднении существенны фононы с независящим от температуры квазиимпульсом !7 1!!ВВЕ 17!а!. При Т « О существенны длинноволно- тензор деформации (С вектор смещения). Характеризующий кристалл тензор Л В зависит, вообще говоря, от 1с; для длинноволновых акустических фононов с линейным законом дисперсии он не зависит, однако, от абсолютной величины 1с.
В скобках в (72.2) должен был бы стоять еще и член вида Лго1 С, выражающий собой тривиальное обстоятельство: если деформация приводит к повороту элемента объема решетки (гоФТЗ ф О), то меняется направление осей (обратной решетки), относительно которых должен определяться квазиимпульс фонона в законе дисперсии; член Л гоби выражал бы соответствующий пересчет 1с.
Мы нс пишем этот члена в (72.2), так как заранее очевидно, что он не может отразиться на интересующей нас диссипации энергии в звуковой волне: реальный физический эффект диссипация нс может зависеть от вектора го$С, отличного от нуля уже для простого поворота тела как целого. Изменение функции распределения фононов, вызванное деформацией решетки, определяется кинетическив! уравнениел! — И! + — Т = 817'!!', (72.3) дщ дТ где 81Л7 ..
интеграл фопоп-фононных столкновений (67.6), а Т скорость изменения температуры в данной точке кристалла., неизбежно связанная с деформацией. Обычным образом, линеаризуя это уравнение и введя фупкци7о 77, согласно определению (67.15), сведем его к виду 370 гл гп диэлектгики вые акустические фононы, для которых Л„д не зависит от Й, и потому усреднение тоже не вносит зависимости от температуры.
Обозначив Л д — Л д = Л в! запишем кинетическое уравнение в виде м — '" Л.в17.„= Т(Х). д!то д«! (72.6) — / !!>(1сз! 1сз, '1с!)5(ь!! — ь!з — ь!з) 1п р!, +цм,м, ! !!'! (~а ъ Ц(!!'3 + Ц х к!кгкз !!Зй! !!Зв! х ((Я! + 1) !уз!ув — !У! (!!!з + 1) (!!з + 1)1 Умножив это выражение на Т. получим диссипативную функцию .
энергию, диссипируемую в единицу времени в единице обьема. Подставив сюда !У = Хо + бХ (с 5)У, представленным в виде (67.15)) и ограничиваясь первыми, квадратичными, членами разложения по б!У, получим я= — ' Е 1 оь,ь;ьх! — — ! ° 2Т к!к!к! ' в Л'В! 4'Ь, х (й!о! + 1)й!оз!Уоз(Х! — Хв — Хз) ', ' (72 0) Написанных формул достаточно для определения температурной зависимости коэффициента поглощения звука.
Рассмотрим сначала область высоких температур. В этом случае интеграл столкновений 1(Х) содержит температуру в виде множителя Т~ (см, начало ~ 68). В левой же части кинетического уравнения (72.6) имеем ь!д!Уо!!дь! — — Т(ь!, причем Далее, выведем формулу, определяющую диссипацию энергии в неравновесном фононном газе. Для этого исходим из выражения энтропии единицы объема бозе-газа лвь ~ — К ~ (!!! -! !)! !!! .! !! — !!! ю~ †: !!! !! (2л)в (см. Ъ', ~ 55).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
