X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Появление этих множителей связано со статистикой Ферми, в силу которой столкновения могут привести квазичастицы лишь в еще не занятые состояния. К столкновениям квазичастиц в ферми-жидкости борновское приближение, вообще говоря, неприменимо. Тем не менее вероятности прямого и обратного процессов рассеяния можно считать одинаковыми.
Мы рассматриваем величины, уже усредненные по направлениям спинов квазичастиц. В этих условиях вероятность рассеяния оказывается зависящей только от начальных и конечных импульсов сталкивающихся квазичастиц. Это обстоятелы:тво позволяет применить здесь те же соображения, которые были использованы в 3 2 при выводе принципа детального равновесия в форме (2.8). При этом существеняо., что в ферми- жидкости по-прежнему имеет место инвариантность относительно пространственной инверсии.
Таким образоеи, приходим к равенству ю(р',р'Пр,р~) = ю(р,рбр',р'~): уже использованному в интеграле столкновений [74.5). Функция ю зависит, вообще говоря, от чисел заполнения состояний и тем самым от температуры. Но ввиду малости температуры (существенной для всей теории ферми-жидкости) под и в интегра- 378 ивлнтовыь >кидкос'ги !'л чп! ле столкновений следует понимать функцию, вычисленную для т= о. Как и следовало, интеграл (74.8) тождественно обращается в нуль при подстановке в качестве п равновесной функции распределения Ферми ! — 1 по(е) = [ехр — '+ 1] Т (74.6) Действительно, заметив, что = ехр ( — — ), сразу видим, что в силу закона сохранения энергии имеет место равенство попо! попо! (74.7) (1 — пе)(1 — под (1 — поЯ1 — по,) Выясним с помощью кинетического уравнения, каким образов! выражаются, в терт!ниах функции распределения, законы сохранения массы, энергии и импульса ферми-жидкости.
Зависимость энергии квазичастиц от их распределения придает этому вопросу определенную специфику. Проинтегрируем обе части уравнения (74.4) по 2дзр!!(2ий!)з (множитель 2 учитывает два возможных направления спина). В силу сохранения числа квазичастиц при столкновениях, интеграл от 81п обращается в нуль.
В левой же части уравнения интеграл от члена — (дп)др)(да)дг) преобразуем по частям, в результате чего уравнение принимает вид дХ вЂ” = йп 1 = О, д! где Х плотность чиста квазичастиц, 1= (и), (74.8) а тг = де/др "- скорость квазичастиц ). Это ..
уравнение непре- 1! рывпости для кпазичастиц, так что ! плотность их потока. В силу совпадения числа квазичастиц в ферми-жидкости с числом истинных частиц, 1 есть в то же время плотность потока истинных частиц, так что 1 = (р)т). Произведем теперь с уравнением (74.4) те же операции, предварительно умножив обе его части на р.
Интеграл от р 81 и обра- 24зр ' " п(2.-а)в' ) Здесь и ниже в атом параграфе символ (... ) означает интегрирование по распроделениго и: 4 74 киивги 1Всков КРАВЯВиие для ФеР11и-жидкости 379 щается в нуль в силу сохранения суммарного импульса квазича- стиц при столкновениях. е)евая же часть, написанная в вектор- ных компонентах., дает д(р ) / (дп дг дп де ) 2дВр д4 / 11,дяр дрр др1 дхЛ 7 (2кн)1 + РВ Подынтегральное выражение во втором члене переписываем в виде Интегрирование обращает третий член в нуль, а второй дает производную дЕ71дх от плотности энергии жидкости Е; напомним, что энергия квазичастиц в ферми-жидкости определяется именно по вариации внутреянсй энергии: бЬ' = а))п 21)Яр (2К11) В (74.9) Таким образом, получаем уравнение сохранения импульса в виде д(р )+о11 ° О д4 д, где тензор плотности потока импульса П я = (рВИВ) + Вид((е) — Е). (74.10) Наконец, умножив обе части уравнения (74.4) на е и проинте- грировав, аналогичным образом получим уравнение сохранения энергии, — + 11)у41 = О, дЕ д4 где плотность потока энергии с1 = (еу).
(74.11) п(г1 р) = по(св) + бп(г, р). (74.12) В равновесии все потоки 1, 41, П д обращаются в нуль. Получим для них выражения, линейные по машей поправке бп в возмущенном распределении (74.1). Равновесная функция по зависит только от энергии квазичастицы, причем сама эта энергия отвечает именно равновесному распределению. Отметив это обстоятельство индексом нуль у е, запишем определение (74.1) в более точном виде: !'л чгп 38О кВлггтовмк гкидкос'Ги Если жс выразить пе в функции реальной энергии квазичасти- цы е, то надо написать по(ео) = по(е) — гге— де и тогда возмущенная функция распределения представится в вид!' п'!т, р) = пе(е) + г)й!г, р) ! (74.13) дпо Вод — по) дй = — !р 'Р де т (74.16) где го ! д ф2я6)о. (74.17) В нулевом приближении по малому отношению Т(ар функцию по(е) можно заьгенить ступенчатой функцией, обрывающейся на граничной энергии ер.
Тогда ' = -о(Š— Ер) (74.18) де и интегрирование по ЕГ р сводится к интегрированию по ферми- поверхности е = ер. Элемент объема между двуьгя бесконечно с)й, = бг! — де "' = дп — "' ( т" 1р, р')дгг(г, р') Поскольку в интегралах (74.8) — (74.11) е и ъ = деггдр уже реальные энергия и скорость квазичастицы, то достаточно подставить в них п в виде (74.13) и мы сразу же получим 2!Го р 1 — 2гГор 1 — 2гГ~р гсвг! ! с1 = еггдгг, П„о = р,„ггд!)т! (2гг6)з ' ! (2гг6)о ' о! (2К6)о (74.14) (в последнем выражении использовано также (74.9)).
Теперь, когда выделены члены ггервого порядка по дй, в интегралах (74.14) Уже можно, конечно, понимать е как ее(Р). Подобно тому, как мы это уже неоднократно делали, представим !)и в виде бп = аудио (74.15) де В данном случае выделение множителя дпе(де имеет особый смысл. Возмущение дг! сконцентрировано в зоне размытости распределения Ферми.
В той же зоне заметно отлична от нуля и производная дпе)де) после выделения этого множителя остающаяся функция гр будет уже медленно меняющейся. Наряду с (74.15) будем писать 1 74 КИНЕТИЧЕС'КОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФЕРМИСКИДКОССГИ 381 близкими изоэнсргетическими поверхностями в импульсном про- странстве равен 1р(г, р) = ф(г, р) + 7(р, р~;,)ф(г, р~гг) (74. 21) где рр обозначает импульс (с переменным направлением!) на ферми-поверхности.
Выражение потока частиц; че 211дг 1 (74. 22) 11Е (2кй)о и аналогично для потока импульса. В потоке же энергии приближение (74.18) заведомо недостаточно: оно свело бы с1 просто к конвективному. переносу энергии ей1 . первому члену в выражении с1 = ер1 — г( а — ер) 1р . (74.23) дпо 24 р де (2.16) з Для проведения линеаризации интеграла столкновений надо заметить, что он обращается в нуль равновесным распределением во(е) как функцией реальной энергии е ). Поэтому липсаризация осуществляется подстановкой и, в виде (74.13), (74.16). Вычисления производятся подобно тому, как это было сделано при переходе от (67.6) к (67.17).
Пишем въоражепие в квадратных скобках в (74.5) в виде (1 — и) (1 — п1) (1 — и') (1 — п1) (1 — п' 1 1 1 — п', 1 — и1 — п1 и замечаем, что О 11 1п1пот ') Подчеркнем общий характер этого замечания. Оно относится к любому интегралу столкновений с участием фермиевских кваоичастиц, а не только к интегралу (74.5). 11о Йе (74.19) !де!др!' где с1Ь' элемент площади изоэнергетической поверхности. Поэтому интегрирование по совр преобразуется в ин!егрирование по ферми-поверхности формулой ... б(е — ей) с)' р = ...
— Ро (74.20) где пр значение скорости на ферми-поверхности. В (74.20) еще не использована сферичность поверхности:, на сфере с1ор = рг с1о 2 с постоянным рр. После такого преобразования определение (74.17) принимает вид квлв'гов!«в жидкое'!'в !'Л»сл В результате получим Г ЯФп ив з 1(!р) = — ( и!попо!(1 — псв)(1 — пв!)(ср'+ !р! — !р — !р!) х т/ х б(а'+е', — е — в!)' ~' ~. (74.24) (2га)о Обратим внимание па то, что искомое (при решении кинетического уравнения) возмущение функции распределения входит в иятегрвл столкновсяий в виде того же Ьг», которое фигурирует и в выражениях потоков (74.14).
Если в левой части кинетического уравнения (74.4) членов с бп вообще не надо учитывать (как в задачах о вычислении коэффициентов теплопроводности и вязкости — см. следующий параграф), то функция взаимодействия квазичастиц ('(р, р') не фигурирует явным образом в системе получающихся уравнений: уравнения с 7-функцией для неизвестного 5й такие же, какими они были бы при г' = 0 для неизвестного бп. Другими словами, в таких задачах «фсрми-жидкостные» эффекты не проявляются, и задачи формально тождественны с таковыми для ферми-газа. Покажем, что такая же ситуация имеет место и в определенной категории случаев, когда в левой части кинетического уравпения должны быть сохранены члены первого порядка по бг!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
