X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 74
Текст из файла (страница 74)
При независящей от координат функции пв эти члены таковы: д би д бп д«о дпо дбг дб дг др др дг д! д. дг д 1 +» — » — 7 (р, р )бгс(г, р ) (2г6)о С бп из (74.13) они сводятся к виду дбп дбй — +»вЂ” д! дг (74.25) Если производной по времени можно пренебречь, то и здесь будет фигурировать только бй. Эти утверждения сохраняют силу не только для электрически нейтральной ферми-жидкости, о которой здесь идет речь, но и для электронной жидкости в металлах, которая будет рассматриваться в следующей главе.
Имея в виду этот объект и чтобы не возвращаться вновь к этому вопросу, сделаем уже здесь несколько дополнительных замечаний. Если квазичастицы несут электрический заряд — е, то в присутствии электромагнитного поля в производной р = — де/с)г появляется дополнительный член действующая на заряд ло- '!'ВИЯОПРОВОДИОс"Гь и ВязкОсть ФВРми экидкОО'1'и 383 ренцева сила. Соответственно в левой части кинетического урав- нения появляется член — е Е+ — — В Электрическое поле обычно предполагается слабым и в члене — еЕдтз(др достаточно положить и = по. т1лен же с магнитным полем обращается тождественно в нуль для функции тзо(е), зависящей только от е.
Но если поле сильное, то может оказаться необходимыхл сохранение также н членов первого порядка по бп. Эти члены таковы: -'( В)"и-'~"В1 '" =-".( В)~""-'"""~ с др с ~ др ~ др с ( др де др / (где ч = део/др). В фигурной скобке можно внести множитель дззо7де, зависящий только от е, под знак д!!др (его производ- ная направлена вдоль и и дает нуль при умножении на (чВ)). В результате эти члены сведутся к виду е( В1 дбй с др' (74.26) снова содержащему. только бп.
3 75. Теплопроводность и вязкость ферми-жидкости (75.1) ) Поскольку мы ищем предельный закон зависимости О(Т) при низких температурах, то для Всех величин, стремящихся при Т вЂ” ! О к конечному пределу, подразумевается, конечно, именно этот предел. Температурные зависимости коэффициентов вязкости и теплопроводности ферми-жидкости могут быть установлены уже из простых качественных соображений (И.Я. Померинчук, 1950). Согласно элементарной газокинетической формуле (8.11), коэффициент вязкости т1 зп1Г!'!!1, где пт .— масса частиц, Х плотность их чию!а, з! средняя тепловая скорость, 1 длина свободного пробега.
В данном случае роль частиц играют квази- частицы, но, поскольку числа тех и других совпадают, произведение зп1!7 есть независящая от температуры величина плотность жидкости ). Скорость й ик, где нь —. независящая от температуры скорость на ферми-поверхности. Длина пробега 1 пнт, где т время между столкновениями квазичастиц. Последнее меняется с температурой как Т се (см. 1Х, 3 1), так что и вязкость 71 с!з У квли'говыь' жидкое'!'и !'Л Ч!!! Коэффициент теплопроводности оценивается по формуле (7.10): !г сЮо1! где с теплоемкость (отнесенная к одной частице). Для ферми-жидкости се!зТ, и потому д7!о двв ( !7Т) во(1 — по) е — и д дт т т и кинетическое уравнение принимает вид пв(1 по) гГУТ 1(!р) (75.3) с 1( р) из (74.24).
На решение этого уравнения должно быть на- ложено дополнительное условие, выражающее отсутствие макро- скопического переноса массы; ч!р — = О. Г д и~ дг (2ял)! (75.4) В силу этого условия, в потоке энергии (74.23) остается лишь второй член. Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, система уравнений (75.3)-.(75.5) не содержит явно функции взаимодействия квазичастиц, так что задача о теплопроводности ферми- жидкости (и то же самое относится к задаче о вязкости) по форме совпадает с такой же задачей для ферми-газа.
Определяющую роль во всех интегралах играет область размытости распределения Ферми, в которой с — д Т, а импульсы !гс!зТ '. (75.2) Для точного определения !1 и !г надо обратиться к кинетическому уравнению. Наметим, на примере теплопроводпости, ход соответствующих вычислений. Преобразование левой части кинетического уравнения (74.4) производится аналогично тому, как это было сделано в 3 7 для задачи о теплопроводности классического газа. Пусть вдоль жидкости существует градиент температуры, причем жидкость макроскопически неподвижна. В силу последнего условия, .давление постоянно вдоль жидкости, а распределение температуры стационарно.
В левой части уравнения (74.4) в качестве п и е подставляем их локально-равновесные выражения с меняющейся вдоль жидкости температурой. Тогда дг/дг = 0 и остается лишь член чдпо7дг (индекс 0 у е и ъ опускаем). Функция и содержит лишь комбинацию (е — д)(Т, а поскольку мы ищем лишь предельные (при Т вЂ” ! О) законы, то химический потенциал 1!(Т) можно положить равным его значению при Т = 0 (совпадающему с граничной энергией ег).
Тогда 385 ПО!АИОщвиив 'зВукА В ФеРми жидкООТВ квазичастиц близки к радиусу ферми-сферы рр, в этой области е — 1з = ир(р — рр). Во всех местах, где импульсы фигурируют не в виде разности р — рн, можно положит!, р = рр, а скорость можно положить везде равной ир. В частности, это можно сделать в и, которая становится в результате функцией только от углов„ определяющих относительиую ориентацию векторов р, р1, р', р1. При заданных р и рс закон сохранения импульса фиксирует угол между векторами р' и рс — — р + р! — р'; интегрирование по этому углу устраняет д-функци!о в интеграле столкновений.
После этого остаются интегрирования по абсолютным величинам р1 и р' (помимо интегриро!Запий по остюгьным угловым переменным). 1Лнтегрирование по ним заменяем интегрированием по Твс1и! с(и', гДе и = (е — 1!)/Т = ир(Р— РР)(Т нсРеааенные! от которых зависят функции распределения тго., ввиду быстрой сходимости эти интегрирования можно распространить от — со до ОО. В результате найдем, что весь интеграл з(!р) пропорционален Т, а решение уравнения (75.3) будет иметь вид !р = — Т ~8(и)чЧТ. После подстановки этой функции в (74.23) и интегрирования по направлениям зг тепловой поток примет вид с1 = — огЯТ, причем зт ди Отсюда снова видно, что ос соТ Указанные выше упрощения интеграла столкновений оказываются достаточными для того, чтобы точно решить кинетическое уравнение (и то жс самое относится к задаче о вязкости). В результате для коэффициентов и и г1 получаются формулы, выражающие их через параметры р1: и ир и через определенным образом усредненную по направлениям функцию ш 1).
8 76. Поглощение звука в ферми-жидкости в) Напомним (см. 1Х, 8 4), что характер распространяющихся в ферми-жидкости волн существенно зависит от величины произведения озт, где т — время свободного пробега. При озт « 1 мы имеем дело с обычными гидродинамическими звуковыми волнами. Частотную и температурную зависимости коэффициента ч их поглощения (на единице пути) можно ') См. Вгооаег 0.А., Яукее .Ь О Р1!уа гсеу.
Ье1и 1968. 'у'. 91. Р. 179. ) Результаты этого параграфа принадлежат Л.Д. Ландау (1957). 13 Л. Д. Ландау, Н.М. Лифшиц, том Х КВА!!'1'О!!!~в жидкое'пи !'л чп! (76.2) у = Ьы', !!ы» Т. (76.5) К этому случаю относится, в частности, нулевой звук всех частот при Т = О. Ниже будет показано., что постояняые а и Ь в формулах (76А), (76.5) связаны люежду собой. Разница в характере поглощения обычного и нулевого звуков связана с различием их физической природы. В волне обычного звука в каждом малом (гю сравнению с длиной волны) элементе объема распределение квазичастиц, в первом приближении, отвечает равновесию при заданных локальных температуре и скорости жидкости.
В этом приближении диссипация отсутствует найти по известной формуле у ы !1!!(р!! )! где т1 коэффициент вязкости, р плотность жидкости,и скорость звука (см. Ъ'1, ~ 77). Поскольку в ферми-жидкости г1сзТ ~, то 2 ~ С!Э вЂ”. (76.1) Более форхлальным образом этот результат можно получить, заметив, что поглощение описывается первым по малому параметру поправочным членом в законе дисперсии звука; Й = — (1+ гошт) и (а -- постоянная). Мнимая (при вещественной частоте) часть этого выражения и дает 7; поскольку тсиТ ~, мы возвращаемся к (76.1). При ыт 1 поглспцение становится очень сильным, так что распространение звуковых волн невозможно.
При !пт )> 1 снова становится возможным распространение слабо затухающих волн — так называемый пулевой звук. Его поглощение описывается поправочным членом в законе дисперсии -" на этот раз по малому параметру 1)(!ыт): Ь = — (1+ — ') (76.3) (ио . скорость распространения нулевого звука). Коэффициент этого поглощения, следовательно, пропорционален частоте столкновений: у с!з 1/т. Последняя в свою очередь пропорциональна квадрату ширины области размытости распределения квазичастиц.
При !!ы « Т эта ширина определяется температурой, так что 17т с!зТ~ и коэффициент поглощения 7 = аТ ! Т» Гип» вЂ”. (76.4) т Если же Ьш» Т (но в то же время Ьы « е, как обязательное условие применимости всей теории), то распределение размыто в области шириной !!ы. В этом случае поглощение нулевого зв! ка 387 ПО!'ИОщвние '3ВукА В ФЬРми жидкости и поглощение звука появляется лишь при учете влияния градиентов температуры и скорости на распределение квазичастиц. В волне же нулевого звука уже сами по себе колебания вызывают неравновесность функции распределения в каждом элементе обьема и учет столкновений квазичасгиц приводит к поглощению звука.
Согласно основным представлениям теории норл!альной ферми-жидкости, квазичастицу в пей можно рассматривать, в известном смыв!е, как частицу, находяшуюся в самосогласованном поле окружающгих частиц. В волне нулевого звука это поле периодично во времени и в пространстве. Согласно общим правилам квантовой механики, столкновение двух ква.зичастиц в таком поле сопровождается изменением их суммарных энергий и импульса соответственно на 6о! и на 61с; можно сказать, что при столкновении происходит испускание или поглощение «кванта нулевого зву как ). Суммарный эффект таких столкновений приводит к убыванию общего числа звуковых квантов; коэффициент поглощения звука пропорционален скорости этого убывания. При таком подходе к вопросу коэффициент поглощения нулевого звука дается выражением вида у = И'(п!пй(1 — и!)(1 — пз) — пгпо(1 — п!)(1 — пй)) х х б(е! + Е2 — с! — с2 — 6!о)д(р! + ря — р! — ре — 61с) х !г Р!!з'Рз!г Р!!з Р! (7б б) (2КЬ)!з В подьштегральном выражении выписаны в явном виде офункции, обеспечиваюгцие выполнение законов сохранения энергии и импульса при столкновениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
