X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Ввиду малого числа фононов прн температурах вблизи нуля, выражения в правых частях уравнений (1)-(3) представляют собой малые поправки. Опустив их вовсе, получим из уравнений (2) и (3) брй в> = иода ч„= ио —— (4) рй' В следующем приближении подставляем (4) в правую часть уравнения (1) и находим дп есовВ /д- рпа бп = — ~ — 4- — сов В) бр де есоь. — ь>>>й С,др р ( — угол между р и 1с). Закон дисперсии фононов пишем в виде > 2 е(р) = вор(1+ ор ), е = — = ио>,1+ Зор ) др с учетом слодукпцего, поело линейного, члона разложения (для жидкого гелия при обычных давлениях о > О, что означает неустойчивость фоноцов по отношению к самопроизвольному распаду).
Наличие в (б) <резонансногоь знаменателя приводит (с>с. ниже) к появлению при интегрировании большого логарифмического множителя. Ограничившись «>гогарифмической» точностью, пренебрегаем в правой части уравнения (3) членом с бр, не содержащим такого знаменателя. Исключив затем ч, из уравнений (2) и (3), получим окончательно слодующсе дисперсионное уравнение: ~по / р дп др (6) — — по =.4 — / к> р У сов — 1+ЗА> — 10 де (2хб)з' где А= (1+ — — ) Мнимая часть интеграла по сов В опредоляется обходом полюса (полюс находится в области интегрирования, если а > 0).
Вещественную же часть Р е ш е н и е. В рассматриваемых условиях можно пренебречь интегралом столкновоний в уравнении (77.1). Положим р = ро 4- др., п = по 4- бп (где бр, бп . малые поправки к равновесным плотности жидкости и функции распределения фононов) и линеаризуем уравнения (77.1), (77.6) и (77.12) по малым величинам бр, бп, ъ>с Предполагая все зти величины пропорциональнылси ехр ( — иЛ 4- 17кг), получим уравнения э 77 кипвтичвоков л авпвнив для вози-жидкости 395 вычисляем с логарифмической точностью> обрезая интегрирование снизу при 1 — совВ ор о7' /ие, а сверху - при 1 — сов В 1.
Левую часть 2 .е уравнония 16) пишем в виде и 2ио (би — — у(, где у — коэффициент поглощения, а би -- поправка к скорости звука 1и = = ио ~- би). Вычисление интеграла приводит к результату 17) 2итт'4 где р„= фононная часть нормальной плотности жидкости. Ча4бйзиэ сготная и температурная зависимости 7 совпадают, естественно, с найденными в з 73.
Зр„ив А ие ди= 1п —, 4р оТз З р.А 'у = 4р ГЛАВА 1Х МЕТАЛЛЫ 8 78. Остаточное сопротивление Е + С7Е = 1 ) + ~7Т, (78.1) с1 = с1 — (~р — -) 3 = пТ3 — МАТ. (78.2) В таком виде они относятся к кристаллам кубической симметрии, что и будет предполагаться, для простоты, везде ниже. Для кристаллов не кубической симметрии коэффициенты и, гг, а заменяются тензорами второго ранга.
Соотношение (78.2) будет удобнее использовать, выразив в пем 3 через Е из первого равенства; с1' = поТ (Е+ ~7~') — (гг+ Тпа )~7Т. (78.3) Кинетические свойства металлов значительно сложнее, чем у диэлектриков, уже ввиду существования в них квазичастиц различных родов электронов проводимости и фононов. Перенос электрического заряда осуществляется, разумеется, электронами проводимости. Перенос >ко тепла осуществляется как электронами, так и фонопами.
Фактически, однако, в достаточно чистых металлах электроны играют основную роль и в теплопроводности, прежде всего ввиду того, что их скорость (скорость пв на. ферми-поверхности) велика по сравнению со скоростью фононов (скоростью зву.ка). Кроме того, при низких температурах электронная теплоемкость значительно больше фононной. Электроны проводимости испытывают столкновения различных типов друг с другом, с фононами, с примесными атомами (и другими дефектами решетки). Частота столкновений первых двух типов убывает с уменьшением температуры. Поэтому при достаточно низких температурах определяющую роль в кинетических явлениях играет рассеяние электронов на примесях. Эту температурную область называют областьк~ остаточного сопротивления. С нее мы и начнем изучение кинетики металлов.
Связь электрического тока 3 и диссипативпого потока энергии Ч' в металле с электрическим полем Е и градиентом температуры записывается в виде соотношений (44.12), (44.13): 397 ОСТР«ТО'!НОВ СОПРОТИНЛРИ!ИВ Все сказанное в 9 74 о кинетическом уравнении для ферми- жидкости в значительной мере остается в силе и для электронной жидкости в металле. Роль импульса квазичастиц играет теперь их квазиимпульс, а ферми-поверхность имеет, вообще говоря! сложную форму, свою для каждого конкретного лгеталла.
Кинетические коэффициенты металла вычисляются в принципе с помощью линсаризованного кинетического уравнения — СЕч 'о + ч з = 1(Я71) д дг где ч = дсггдр, а интеграл столкновений липеаризовап по искомой малой функции 5й, определенной согласно (74.13). Дифференцирование пл по г можно условно производить при )г = сопв1, так как градиент )г все равно вошел бы в комбинации еЕ + ~7)г, как должно быть согласно (78.1). Тогда дг з е — Гг дпз дт т дз и кинетическое уравнение принимает вид — (еЕ+ 'чТ) ч "" =1(6п).
т дз (78.4) Плотность тока и плотность диссипативного потока энергии да- ются интегралами 2зз й 243 4 = — е чсдп Г', г)' =! (е — Дчбп " (78.5) (2л71) з (зла)з дй = д ' (СЕ+ — "т«т) 1(р), (78.6) (вычисляя г)' как поток кинетической энергии е — р, нет необходимости вычитать из него конвективный перенос потенциальной энергии !1Р)). Характерной особенносгью рассеяния электронов проводимости на атомах ггрил!всей является его уггругость. Ввиду большой массы атомов и их «привязанности» к решетке, энергию электрона при столкновении можно считать не меняющейся. Покажем, что уже одного только предположения об упругости рассеяния достаточно, чтобы связать простой формулой электро- и теплопроводпость металла. Для этого заметим, что оператор упругих столкновений не затрагивает зависимости функции бй от энергии е; столкновения лишь перемещают частицы по изоэнергетичсской поверхности.
Это значит, что любой множитель в !)й, зависягций только от е, может быть вынесен из-под знака 1. В свою очередь это позволяет искать решение кинетического уравнения в виде 398 гл гх мвтлллы где 1(р) удовлетворяет уравнению 1(1) = — ч. (78.7) Вычисленная по распределению (78.6) плотность тока г = —.) ( (ег) о — "(гот) ) — ' . (г8.8) гто. = — ' г г)(ьг1) 2е Г дпо дог 3Т / де (2.га)о где обозначено г) = е — )г. Интегрирование по г1'р заменяем ин- 3 тегрированием по изоэнергетическим поверхностям г) = соггв$ и интегрированием по 0. Введя снова обозначение 7 из (78.10), име- ем —,7г) г1г). 2е 1 дпо 3Т/ дп (78.11) Функция дпо 1 де Т(е'глг + Ц(е оео + 1) экспоненциально убывает при г — о ~ос; поэтому интегрирование по г) можно распространить от — оо до со.
Интеграл определяется в основном областью ~г)~ 7'; величина же 7(г)) существенно меняется лишь на интервале г) р» Т. Поэтому достаточно положить ,7-,7п+ г) г1,У ггег Из первого члена находим тензор проводимости 2ггз о 3= — е ьп13— ./ де (2пГг)о (78.9) В кристалле кубической симметрии гг 3 = гтб 3, так что проводимость ..' /" дп. мог о = — — ' Ы 3,/ де (2огв)о или, преобразовав интеграл согласно (74.18) -(74.20), о = — Уг, .1 = 11хг (78.10) 3 / о(2гг1г)о Интегрирование в 7р производится по всем листам ферми- поверхности в пределах одной элементарной ячейки обратной решетки.
Аналогичным образом, из второго члена в (78.8), сравнив его с (78.1) находим 399 ОС!иго !ИОВ ООИРОтивлвнив При подстановке в (78.11) интеграл от первого члена обращается в нуль ввиду нечетности !юдынтегрального выражения по !1! а второй член дает 2е Н,7 ! 2дпе 8е АУ спт = — ' — 2 )! !1 — й~ = — — — ~ цпо г10. ЗТ Жк ./ дл ЗТ с~в!,/ Интеграл Г пол и Т2, еЫ!' .1. 1 12 0 использовав также (78.10), получим г! = — — —. (78.12) Зе Нек По порядку величины ~а~ Т)(егр). Положим теперь Е = 0 и вычислим поток энергии. Снова использовав кубическую симметрию, находим ! 2ЯТ / ? 2дпад ЗТ! ~ дп Здесь достаточно положить,1 =,?р! после чего получим 1 =- — Т,? т?Т.
2п~ 9 Сравнив это выражение с (78.3) и (?8.10) мы видим, что 2 поТ те+ Те!ге Зе' Указанная выше оценка с! показывает, что член Тастт в левой части равенства мал по сравнению с его правой частью в отношении (Т/ер) . Пренебрегая им, находим окончательно следующее соотношение между тепло- и электропроводностью: (78.13) Зев -- закон Вндемпно-.Франце, 1! Формула вида П8.13) была получена качественно Дррде (Р. Ргис1е, 1900), впервые сформулировавшим представление об электронах проводимости, участвующих в тепловом равновесии металла. Количественный вывод в классической статистике был дш! Лоренцем (Н.А. босепд 1905), а в статистике Ферми --. Зоммерфельдом (А.
Боттес?еЫ, 1928). 400 гл ~х металлы Снова подчеркнем, что в выводе этого соотношения использована лишь упругость рассеяния электронов проводимости. Проследив за выводом, легко также заметить, что предположение кубической симметрии лишь упрощало запись формул. В общем случае произвольной симметрии кристалла такая же связь (78.13) имеет место между тензорами зг д и и д. Для определения температурной зависимости каждого из коэффициентов зт и сг в отдельности надо выписать интеграл столкновений. Для столкновений с примесными атомами он имеет вид, вполне аналогичный интегралу (70.3) для рассеяния фононов на примесях: 81 и = Хпр ю(р, р')[и'(1 — и) — g(1 — и'))о(е — е') .
(78.14) (2яй) з Множители 1 — и или 1 — и' учитывают принцип Паули переход может произойти лишь в незанятые состояния; множители же и' или п учитывают, что рассеяние может иметь место лишь из занятого состояния. Как и в (70.3), в интеграле (78.14) подразумевается, что примесные атомы расположены хаотически, а среднее расстояние между ними ъшого больше амплитуды рассеяния; тогда различные атомы рассеивают независимо.
В интеграле (78.14) уже использовано равенство ю(р, р') = ю(р', р). К рассеянию электронов проводимости на примеспых атомах борновское приближение, вообще говоря, неприменимо. Написанное равенство можно обосновать соображениями, использованными при выводе принципа детального равновесия в форме (2.8). При этом, однако, подразумевается, что положения, занимаемые атомами примеси в решетке металла,.
обладают симметрией, допускающей инверсию. Линеаризация интеграла столкновений сводится к замене разности и'(1 — и) — п(1 — и,') = и' — ц на дй' — бть Уравнение (78.7) принимает тогда вид 2п'3 Хпр ю(р, р')(1' — 1)Б(е — с') ' = — и. (78.15) (2яй)з Это уравнешле не содержит телепературы. Поэтому пе будет зависеть от температуры и его решение д(р), а согласно (78.10) и проводимость ст. Таким образом, при достаточно низких температурах, когда рассеяние на примесях является основным механизмом электрического сопротивления,.
сопротивление стремится к постоянному (остаточному) значению. Соответственно в этой области теплопроводность зс пропорциональна Т 1). ') В этих рассуждениях подразумевается, что уравнение (78.18) не содержит быстро меняющихся вблизи е = ет величин, что позволяет заменить в (78.9) 1 на 1г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
