VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 98
Текст из файла (страница 98)
для волновых векторов, направленных вдоль оптических осей. Общие формулы, определяющие вектор я по вектору и (см. задачу к 9 97), при подстановке в них значения п из (99.5) дают неопределенность вида О/О. Происхождение и смысл втой неопределенности вполне понятны из следующих геометрических соображений.
Вблизи особой точки внешняя и внутренняя полости поверхности волновых векторов представляют собой конусы ') Легко непосредственно убедиться в том, .что найденное таким образом решение есть единственное вещественное решение уравнений (99.4). Если все три компоненты и, пу, п„отличны от нуля, то три уравнения (99.4) противоречат друг другу (в них, по существу, входят всего две неизвестные: и и «ййпз+«~У~о~+«Сйп~). Если же и, = 9 или и, = О, то уравнения имеют мнимыЕ решения. з) На тензорном зллипсоиде (97.23) бинормали определяются как направления, перпендикулярные к которым сечения зллипсоида являются окружностями. Как известно, трехосный зллипсоид имеет два таких сечения.
494 элвкчтомагнитнык волны в аниэотгопных сеидах Гл. х! с общей вершиной. В этой вершине (особой точке) направление нормали к поверхности становится неопределенным; между тем указанные формулы определяют направление в именно как направление нормали. В действительности волновому вектору, направленному вдоль оптической оси (бинормали), соответствует бесконечное множество лучевых векторов, направления которых заполняют определенную коническую поверхность (конус внутренней конической рефракции) ).
Для нахождения этого конуса лучей можно было бы исследовать направления нормалей в окрестности особой точки. Более нагляден, однако, путь, основанный на геометрическом построении с помощью лучевой поверхности. На рис. 55 изображено в одном квадранте (сплошными кривыми) сечение лучевой поверхности плоскостью яю В этих же осях координат изображено (в произвольно измененном масштабе) сечение поверхности волновых векторов. Прямая ОЯ есть бирадиаль, а ОЛ бинормаль; волновой вектор, соответствующий точке йс, обозначим как пм. Легко видеть, что особой точке йГ поверхности волновых векторов соответствует на лучевой поверха ности особая касательная плоскость плоскость, перпендикулярная к направлению ОХ и касающаяся поверхности не к '.Й Ь' в отдельной точке, а по целой кривой (как оказывается, по окружности).
На рис. 55 сечение этой плоскости изображено отрезком пб. Это непосредственно слеРис. бб дует из указанного в 3 97 геометрического соответствия между поверхностью волновых векторов и лучевой поверхностью: если к какой-либо точке я лучевой поверхности провести касательную плоскость,то перпендикуляр, опущенный из начала координат на эту плоскость, совпадает по направлению с и н по величине равен 1/и, где и - волновой вектор, соответствующий данному в. В вашем случае должно иметься бесконечное множество векторов в, соответствующих одному и тому же и = пм; поэтому отвечающие всем им точки лучевой поверхности должны лежать на одной и той же касательной плоскости, причем эта плоскость перпендикулярна к пн.
Таким образом., на рис. 55 треугольник Оаб есть след сечения конуса внутренней конической рефракции плоскостью хю Количественный расчет описанной геометрической картины не представляет особых трудностей, но мы не будем излагать его ') Описываемое ниже явление конической рефракции было предсказано Гамильтоном ( И~.Н. Наташа, 1833). 495 ДВУХОСНЫЕ КРИСТАЛЛЫ здесь, ограничившись приведением окончательных формул. Уравнение окружности, по которой конус рефракции пересекает лучевую поверхность, дается совокупностью следующих двух формул: а(ц-Ачн'+(., ~леем-,ье-,, )Учусь-,~ и), х  — и, = О, (99.8) .,У АЦ,М вЂ” КЕ +.,~;ЕХКЧ вЂ”,ЬЕ =,ГЮ вЂ”, Ч ПеРвое из зтих УРавневий, если понимать в нем В„зю и, как тРи независимые переменные, есть уравнение самого конуса рефракции.
Второе же дает уравнение касательной (к лучевой поверхности) плоскости. В частности, при Ву — — 0 первое уравнение (99.8) распадается на два уравнения еь Е (Š— Е ) ЗР Е~' ~'(Е~ ~ — Е~ ~) е, еоо(е( ) — е(у)) ' е, еео(е( ) сои) ' которые определяют направления крайних лучей (соответственно Оа и О5 на рис. 55) в плоскости сечения тю Первое из них совпадает с направлением бинормали (ср. (99.6)), которое в то же время перпендикулярно к касательной аб.
Аналогичное положение имеет место для волновых векторов, соответствующих заданному лучевому вектору. Вектору в, направленному по бирадиали, соответствует бесконечное множество волновых векторов, направления которых заполняют так называемый комус внешней коьической рефракции (на рис. 55 треугольник ОаЪ~ есть след сечения этого конуса плоскостью хз). Соответствующие формулы получаются, как всегда, заменой в — + и, е — + 1/е в формулах (99.8) и гласят: ,ма() — Ась', + (,.Уич — Ае —,Уее -Ач) .
(.„~ )ДйГ:,~» .,А ~,ае:.~ ~) =а (99.9) ,,ДьГ-7е ~, у'Ач -ие = у'.Уукч —,РЧ. Для фактического наблюдения внутренней конической рефракции ) можно воспользоваться плоскопараллельной пластинкой, вырезанной из кристалла перпендикулярно к бинормали ) Следующее ниже описание весьма схематично. 496 злвкттомагнитныв волны в анизоттопных сеидах ГЛ. Х! (рис. 56). Поверхность пластинки закрыта узкой диафрагмой, выделяющей из перпендикулярно падающей на пластинку плоской волны (волны с определенным направлением волнового вектора) узкий пучок. Волновой вектор в прошедшем в пластинку свете будет иметь зто же направление, совпадающее с бинормалью, и потому его лучи распределятся по поверхности конуса внутренней рефракции.
Свет же, выходящий из другой поверхности пластинки, имея тот же волновой вектор, что и падающий свет, распределится по поверхности кругового цилиндра. Для наблюдения же внешней кониче- ской рефракции пластинка должна быть вырезана перпендикулярно к бирадиали, а ее обе поверхности —— закрыты диафрагмами с малыми отверстиями, расположенными точно одно против другого. При освещении пластинки сходящимся пучком света (т.
е. пучком, содержащим лучи со всевозможными направлениями и) диафрагмы выделят внутри пластинки лучи с направлением в вдоль бирадиали и, соответственно, с направлениями и, заполняющими поверхность конуса внешней конической рефракции. Выходящий из второго отверстия свет распределится поэтому тоже по конической поверхности (которая, однако, вследствие преломления на выходе не точно совпадает с конусом внешней рефракции).
Законы преломления на поверхности двухосного кристалла при произвольном направлении падения чрезвычайно громоздки, и мы не будем останавливаться на них ). Укажем лишь, что в от- 1Г личие от одноосного кристалла обе преломленные волны являются «необыкновеннымиг и их лучи не лежат в плоскости падения. Как условлено в 8 97, мы рассматриваем оптику прозрачных кристаллов.
Упомянем здесь, однако, об одном свойстве двухосных кристаллов, которое может возникнуть при учете поглощения. Рассмотрим распространяющуюся в кристалле однородную плоскую волну; в ней и комплексный вектор, причем, однако, его вещественная и мнимая части имеют одинаковое направление; и = пгг, где гг вещественный единичный вектор, а п = = п(ш) комплексная величина. При заданном гг дисперсионное уравнение (97.21) в раскрытом виде гласит: гг — гг (г111 + г122) + г111г122 — г112 = О, где г11ь = егь, а индексы 1, 2 — тензорные индексы в плоскости, — 1 ) Изложение соответствующих вычислений можно найти в статье Яхгеевау С.
Кг1вса!ор11Ь в кис Навг1ЬвсЬ г1ег РЬувйо Вг1 ХХ. — Вег1ш, 1928. 497 ДВУХОСНЫЕ КРИСТАЛЛЫ перпендикулярной гг. Это квадратное по и ~ уравнение имеет кратный корень, если г)2з — г)ы = ~2туш; (99.10) при зтом и ~ = (г)ы + г)з2),12. При наличии поглощения тензор г)гь = Ч;~ + 1гг~ комплексен, / ' л В двухосных кристаллах зллипсоиды тензоров уй и г),".„трехосны, причем отношения длин их полуосей (а в кристаллах триклинной и моноклинной систем также и их направления) различны для обоих тснзоров. В зтих условиях двумерные тензоры г)' Р и г)"з не приводятся, вообще говоря, одновременно к главным осям.
Угол д между главными осями обоих тензоров функция двух независимых переменных (углов, задающих направление гг). Позтому при заданной частоте ш может существовать однопараметрическое множество направлений гг, для которых д = к/4. При таком значении д мнимая часть комплексного уравнения (99.10) удовлетворяется тождественно, а вещественная часть принимает вид 0з - )1 =+Мз' — )1'), где индексы 1 и 2 указывают главные значения соответствующих тензоров ').
При любом выборе осей хп хо уравнения (97.21) дадут теперь — = шт, 1А1 2шз где два знака в правой части равенства отвечают двум знакам в (99.10). Таким образом, условия д = к/4 и (99.11) совместно выделяют для каждого значения ю определенное направление ьг, в котором может распространяться лишь волна с круговой поляризацией одного знака левой или правой, смотря по тому, с каким знаком выполняется условие (99.10) (Иг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
