VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 93
Текст из файла (страница 93)
48 Рис. 49 ние в (94.2) имеет полюсы, лежащие на вещественной оси», в точках», = — ф+ 2п 7, где и " целые числа. Вместо пути С можно производить интегрирование по пути Р = Р» + Р2 (рис. 49), добавив к интегралу вычеты подынтегрального выражения в полюсах, расположенных на отрезке — к <»', < х» если таковые имеются. Представим е в виде ~,Ю» ао~;Ю+ "~,Ю, (94.3) где ек интеграл (94.2), взятый по пути .Р, а ее вклад, происходящий от вычетов в указанных полюсах. От каждого полюса возникает в ее член, равный ехр» — гег сое (ф — 2п-»)»», изображающий собой либо падающую волну, либо одну из волн, отраженных от поверхности клина по законам геометрической оптики.
Функция же ел описывает собственно дифракционное искажение волн. Наибольший интерес представляет поле на больших (по сравнению с длиной волны) расстояниях от края клина. инге-е » а и РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН Е»Г ф) Š— »РьссоеС 27,» 1 е «РЕП» С 471 ДИФРАКЦИИ НА КЛИНЕ Ири Йт » 1 справедлива асимптотическая формула ) ) ) и 1тьг«э14) э1и (и 17) (94 4) уъ'2пат соэ (п»1у) — сое (лу1~1 у) если только угол уд удовлетворяет условию ( — — ) г 952 сов — — сов — ) » —. (94.5) у у Ет Зависимость функции пю а с нею и поля ик(т, 1Р) = гул(т, 1Р— 1Ро) ~ ил(т, 92 + 1Ро) от т дается множителем е™1«/т, т.
е. зто поле имеет характер цилиндрической волны, как бы излучаемой краем клина. В написанном виде формулы (94А) — (94.5) справедливы при любых значениях углов у и 1до. Более подробное обсуждение этих формул мы для определенности произведем при таком соотношении между углами у и 1Рс (у > ус + 1Р9), которое приводит, с точки зрения геометрической оптики, к возникновению двух границ; границы Об полной тени (область 111 на рис. 48) и границы Оа «тени» волны, отраженной от поверхности ОА.
На рис. 48 1Ро < ууу'2; если же 1РС > ху12, то граница Оа лежит справа от направления падающей волны. При у < к+1Рс область полной тони вообще отсутствует, а отражение (одно- или даже многократное) происходит от обеих сторон клина. В областях 1, П, 1П функция ис(т, Р) = ио(т, Р— Уо) ~ ис(т: Р + Ро) имеет следующий вид: в области 1 ис = ехр [ — 41ст сов (1Р— 1Ро)1 ~ ехр [ — гйт сов (1Р + 1Р9)), в области 11 ио = ехр [ — загсов (1Р— 1ро))~ (94.6) в области 1П ио = О. Эти выражения, не обращающиеся в нуль при )ст — + оо, описывают не искаженные дифракцией падающую (в области П) или совокупность падающей и отраженной (в области 1) волн. Дифракционное же искажение поля дается формулой (94.4), но условие (94.5) нарушается при значениях уу), слишком близких к л (когда разность [уу) — уу[ перестает быть малой по сравнению с ),Уъгат).
Значения у)1 = х соответствуют геометрическим границам тени; при уу1 = д — 1Р9 зто есть граница полной тени, а при уд = 1Р+ 1рс -- граница тени отраженной волны. В непосредственной 11 ) Следующие члены этого асимптотического разложения — см.
Раай У4~. П Рьуэ. Ргею 1938. '1У. 54. Р. 924. 472 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. Х близости этих значений надо применять другое асимптотическое выражение, справедливость которого требует лишь соблюдения неравенства ~ф — 2г~ << 1. Это условие вместе с условием Йг >> 1 как раз обеспечивает применимость обычной приближенной теории дифракции Френеля. В соответствии с зтим, вблизи границы Об полной тени получается следующее асимптотическое выражение: 2 1 — 2 г 162 и(г, е2) = ехр [ — 2йгсое(у — ~ре)',— ] е' Гь), (94.7) ю = М 1Ра — ТГ)4~ ~2 Аналогично вблизи границы Оа тени отраженной волны и(г,у) = ехр[ — 2егсое(у — е2о)[+ + ехр [ — 2Ь сов(у+ 22о)1 ~ еге ГЬ1, 222Е (94.8) 2В = — (у+ уо — х),%~(2. В зтом приближении дифракционная картина не зависит от направления поляризации волны и от угла раствора клина.
Области применимости формул (94.4) и (94.7), (94.8) частично перекрываются. Так, вблизи границы полной тени совместная область применимости дается неравенствами 1» !р — Юо — ~ >> 1 и вней еи "2 АЕ 1 и(г,22) = ио(г, С2) + (94.9) /ги д — г,— е (с ие из (94.6)). Из (94.7) зто выражение получается с помощью известных асимптотических формул для интеграла Френеля при больших ~2Е~: е"' Г121 = (1+2)2 — + е' при 2Е > О, К 2 222Р 2 1 2 еРЯ Й1 = — еие при 2Е < О. 22ме й 95.
Дифракция на плоском зкране Точная формула (94.2) для дифракции на клине может быть приведена к сравнительно простому виду в частном случае дифракции ва полуплоскости (чему соответствует т = 2Х). Именно, 473 1 95 ДИФРАКЦИЯ НА ПЛОСКОМ ЭКРАНЕ комплексный интеграл в (94.2) может быть сведен к интегралу Френеля: (т ф) ' -й< ° Ф~- 7М Г и'д ,тк тп = ъl2Ь сое —. 2 (95А) Эта формула справедлива при любых значениях т и 1У. При Ь » 1 и углах ~ф — тт~ >>1~Айт пригодно асимптотическое выражение ( ~) Цйт-Рк/4) 2 Г2кнт сое ф!2) (95.2) СОА(А~ у) е) = ПОА(А1у~ е)~ Есс(т~ у е) = Есй(т у; е)~ НО (т~У е) = — Но~(т~У вЂ” е) Нсх(т~У Я) =НО1(т~У вЂ” е).
(95.3) Пусть, далее, Е', Н' поле, которое получилось бы при помещении в поле Еп, Но плоской пластинки, по форме, величине и положению совпадающей с отверстием в экране и обладающей (формула (94.4) с 7 = 2тт). С помощью формулы (95.2) может быть получено в замкнутом виде решение задачи о дифракции на плоском идеально проводящем экране любой формы.
При этом предполагается лишь, что размеры экранов и расстояния до них велики по сравнению с длиной волны, а углы дифракции не слишком малы (причем эта область перекрывается с областью малых углов, в которой применимы обычные формулы дифракции Френеля). Результат выражается в виде интеграла по контуру края экрана, аналогично тому, как в обычной приближенной теории дифракционное поле выражается в виде интеграла по поверхности, закрывающей отверстие в экране.
Мы не станем останавливаться здесь на этих вычислениях. В точной теории дифракции на плоских идеально проводящих экранах можно высказать теорему (принадлежащую Л.И. Мандельштаму и М.А. Леонтовичу), в известном смысле аналогичную теореме Бабинз в приближенной теории дифракции. Рассмотрим плоский экран с отверстием произвольной формы; выберем плоскость экрана в качестве плоскости я = О, и пусть электромагнитная волна падает со стороны е ( О.
Пусть Ес, Не суммарное поле падающей волны и волны, отраженной от экрана (так, как если бы отверстие отсутствовало); будем представлять его продолженным по другую сторону от экрана (е > О). Поскольку Н = О, Е~ = О при е = О (в силу граничных условий на идеально проводящей поверхности), то значения Ес, Не при я > О и е ( О будут связаны соотношениями РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. Х магнитнОй прОницаЕмОСтьЮ (А = ОО.
ТОгда рЕшЕниЕ дифракциОн- ной задачи на отверстие в экране дается выражениями Е = -(Ее+ Е1) 2 Е = -(Еа — Е1)1 Н = -(Нс+ Н') при е ( О, 2 Н = -(Нс — Н') при е > О. 2 (95.4) Для доказательства этого утверждения замечаем, что поле Е', Н' обладает той же симметрией (выражаемой формулами (95.3)), что и поле Ес, Нс. Поэтому на плоскости е = 0 оно удовлетворяет условиям Е', = О, Н,' = 0 вне отверстия, 1 1 1 1 ЕМ вЂ” — — Е,2, Н„= — Н,2 на ОтвЕрСтии (индексы 1 и 2 соответствуют е — + хО).
Кроме того, оно удовлет- воряет условиям Е',=О, Н', = 0 на отверстии, так как граничные условия на поверхности тела с 12 = СО обратны (в смысле замены Е, Н на Н, Е) условиям на идеально проводящей (е = со) поверхности. Отсюда ясно, что поле (95.4) удовлетворяет необходимым условиям Е1 = О, Н, = 0 на поверхности экрана (е — Р— 0) вне отверстия и непрерывно на отверстии. Наконец, поскольку поле Е', Н' стремится на бесконечности к Ео, Нс, то поле (95.4) стРемитсЯ к Ес, Нс пРи е — з — сс и к нУ- лю при е -+ + оо. Тем самым оно удовлетворяет всем условиям поставленной дифракционной задачи, и теорема доказана. Таким образом, задача о дифракции на отверстии в экране с е = СО эквивалентна задаче о дифракции на дополнительном экране с (А = сс.
Задачи 1'1 = г пв1пХ, гз = Т1 ч псйптб ) Это предположение становится, однако, несправедливым при углах дифракции, достаточно близких к х/2 (при х/2 — Х < 1/ъ'ка). Ы Плоская монохроматическая волна падает нормально на прорезанную в идеально проводящем плоском экране щель ширины 2а, большой по сравнению с длиной волны. Определить распределение интенсивности света за щелью на больших расстояниях от нее для больших углов дифракции. Р с ш е н и е. При а» Л дифракционнос поле за щелью можно рассматривагь как наложение полей, происходящих от независимой дифракции на каждом из двух краев щели и определяющихся с помощью асимптотической формулы (95.2) '). Когда расстояния АР = г1 и ВР = г2 от краев щели до точки наблюдения (рис.
50) велики по сравнению с а, в множителях е*"" и е'ь"' пишем; 475 ДИФРАКЦИЯ НА ПЛОСКОМ ЭКРАНЕ во всех же других местах полагаем т, тя т, а все углы между АР, ОР, ВР и осью х — равными одному и тому же углу дифракции Л. В результате получаем еЦ~'~ РО (сбп(йая1НЛ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
