VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 88
Текст из файла (страница 88)
2 (параметр а появляется лишь в более высоких членах разложения). Для определения поля вблизи точки е = 0 нет необходимости анализировать вопрос о выборе линейной комбинации из Н1 и Н2, удовлетворяющей условиям на бесконечности. Достаточно ') Отметим, что зта точка является особой для уравнения (88.4), и потому вблизи иее приближение Геометрической оптики становится неприменимым, несмотря иа то, что А"(л) ие обращается в нуль и условие (88.8) может ие нарушаться. уравнении (88.4) подстановку Н = ит/е, то производные от е вой- дут умноженными только на и (но не на и'); пренебрегая затем членами, содержащими эти производные (малыми в силу усло- вия (88.5)), получим для функции и(е) уравнение 445 РАспРОстРАнкнин ВОлн В нвОднОРОднОЙ сРВДН ЗамЕтить, чтО Она СтрЕмитСя при и — 2 О к пОСтОяннОй (ОбОЗначим ее Но) и имеет логарифмическую особенность: 2 Н=Н, (1+ '1 1; 2 наряду с постоянной здесь выписан также главный член с особенностью.
Электрическое поле определяется по полю Н„ = Н уравнениями Максвелла гс дУХ Е а.' Е = Но™ с(1п(хг~ — тх). ае2 Средний (по времени) поток энергии вдоль оси г, Я, = — Ве (Е,Н„*) (см. (59.9а)), равен нулю при г > О, а при и ( О появление в Е, вещественной части приводит к отличному от нуля потоку энергии по направлению к плоскости г = О, где эта энергия диссипи- ется ру ) х с 2 Б.= ''Но 8ыа (В.Б. Гнльденбург, 1963).
(88.12) ') Этот результат можно получить и исходя из выражения (80.4) для энергии, днссипнруемой в единице объема: хзсзНез . 6 хзс244ез 1йп 4(2); 8х 8яы з — >е а222 + 42 8а~ ~ интегрирование по 2 приводит к (8842), Вспомнив, что зависимость Н от х дается множителем е' *, находим главные члены в Е и Е,; 2 Ея — Но — 1и хг, Е, — Но — —. (88.11) аы аы 2 Они обращаются при и -+ О в бесконечность. В действительности, разумеется, благодаря непременному наличию в среде хотя бы малого поглощения поле достигает лишь относительно (по сравнению с окружающим слабым фоном) больших, но конечных значений. Интересно, однако, что уже сколь угодно малая мнимая часть в е приводит к конечной диссипации энергии.
Положим е = — аз+яд, 6 -+ + О. Тогда аналитическое продолжение логарифма в (88.11) с правой полуоси г на левую должно производиться в комплексной плоскости и снизу, и при г ( О будет РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. Х Задача По границе раздела между двумя средами соответственно с положительной и отрицательной диэлектрическими проницаемостями (е2 и — ~ез~) может распространяться поверхностная Н-волна, затухающая в глубь обеих сред. Определить связь между ее частотой и волновым вектором. Р е ш е н и е. Выберем границы раздела в качестве плоскости ху, причем волна распространяется вдоль оси е, а поле Н параллельно оси у.
Пусть полупространство 2 > 0 заполнено средой с положительной (е2), а полупростраиство 2 < 0 — средой с отрицательной (е2) проницаемостью. Ищем поле в затухающей при 2 -т тоо волне в виде м2 = йз — — е2 при 2>0, сз г м2 = йз+ — ~ег( при 2 < О, с2 Н2 = Нее* * Н2 = Нее причем й, мм мт вещественны. Граничное условие непрерывности Ня = Н уже удовлетворено, а условие непрерывности Е, дает 1дН, 1дН2 при 2=0, е2 дх ег дх или ял /е2 = м2/~ез ~. Это равенство может быть выполнено лишь при условии е! < )е2( й 89.
Принцип взаимности Излучение монохроматических электромагнитных волн от источника, представляющего собой тонкий провод, расположенный в произвольной среде, описывается уравнениями го1 Е = 2 — "В, го1 Н = — 2"— П+ — 1ст, (89.1) с с с где 1„плотность протекающих по проводу встороннихь (по отношению к среде) периодических токов. Пусть в среде расположены два различных источника (одинаковой частоты); будем отмечать индексами 1 и 2 поля, создаваемые каждым из этих источников в отдельности.
Среда может быть произвольным образом неоднородна и анизотропна. Единственное, что прсдгюлагается ниже о ее свойствах, это (и подразумевающемся е2ез < 0). При етом связь между й и ь2 дается уравнением 2 Ы Е2(гг~ с2 ((е2 ! — Е2 ) Распространение же поверхностных Е-волн,как легко убедиться, вообще невозможно. 447 ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ го1 Н1 = — гйо1+ — Я с го1Е1 = (ЙВ1, соответственно на Н2 и Е2, а такие же уравнения для поля Е2, Н2 — на — Н1 и — Е1 Сложив почленно все зти уравнения, полу- чим (Н2 го4 Е1 — Е1 го4 Н2) + (Е2 го( Н1 — Н1 го1 Е2) = = г — (В1Н2 — Н1В2)+4 — (Е102 — Р1Е2)+ — (1„Е2 — 2„Е1).
.М 4л .(1( .(2( Но В1Н2 = (АЗВН1ВН21 = Н1В2, Е1В2 = Н1Е2, так что два пер- вых члена в правой части равенства обращаются в нуль. Левая же часть преобразуется по известной формуле векторного ана- лиза, и мы находим йт 1[Е1Н2) — (Е2Н1(1 = — (4( 1Е2 —,1( (Е1). с Проинтегрируем зто равенство по всему пространству; интеграл в левой части равенства преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной поверхности и исчезает. Позтому получим ~ 3(,)Е2 п% = ) 3(,)Е1п г. (89.2) Интегралы в левой и правой частях берутся соответственно лишь по объемам первого и второго источников, так как только в них отличны от нуля токи 4„И 4„.
Ввиду тонкости проводов е П .(21 влиянием каждого из них на поле другого провода можно пренебречь, и, таким образом, Е1 и Е2 в формуле (89.2) представляют собой поля излучений первого и второго источников, создаваемые каждым из них в месте нахождения другого источника, как если бы последнего не было. Формула (89.2) и является искомым соотношением, известным под названием теоремы взаимности. Если размеры источников малы по сравнению с длиной волны, а также по сравнению с их взаимным расстоянием, то выражение теоремы взаимности можно упростить.
Поле каждого источника слабо меняется на протяжении размеров другого источника, и в (89.2) можно вынести Е1 и Е2 из-под знаков интеграла, написав их просто как Е1(2) и Е2(1), где 1 и 2 обозначают точки нахождения обоих источников: линейные соотношения АА1 = е,ьЬА, В1 = (А1АНь с симметричными тензорами е1Р и (11аи В зтих условиях оказывается возможным получить определенное соотношение, связывающее между собой поля обоих источников и сторонние токи в них. Умножим оба уравнения РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. Х Интеграл ) 1„ЛТ есть не что иное, как производная по времени от полного дипольного момента источника У.
Поскольку У = = — ио,9Е, то окончательно имеем Е2(1),У1 = Ж1(2)Я2. (89.3) Такая форма теоремы взаимности применима, разумеется, лишь к дипольному излучению. Если же дипольный момент источника равен нулю (или аномально мал), то приближение, сделанное при переходе от общей формулы (89.2) к (89.3), недостаточно (см. задачу 1 к этому параграфу).
Задачи 1. Вывести теорему взаимности для кнадрупольных и магнитнодипольных излучателей. Р е ш е н и е, Если ) 1„41' = О, то н интегралах (89.2) надо взять следующие члены разложения; дЕ» . 1 УдЕм дЕТА 1 ( 11Е»»Лг1 ' 1 х»умпИ = — ( '+ ) 1 (х»ум+хкй»)»ЛО+ дх» 4 дх» дх, 1 /дЕм дЕм ~ г +-( '- ) ~'(х»ум-х»11»)4И 4 1, дх» дх, ) (индекс «ст» у 1 для краткости опускаем). Вводим тензор киадрупольного момента и вектор магнитного момента согласно Ры = — ЕЛР,А = / (3(х,у» + хД,) — 2б,ьг1)»Лг, »е = — 1 (г1) и»'. 1 2с Воспользовавшись уравнением го1Е = и ~В/с и считая, что вблизи источни- коя е = сопе1 (н силу чего б!ч Е = О), получим 1 1»Е»»Ь' = — — ( ' + ) Р,„+ ЕЕВ»(1).КП ио /дЕм дЕ»А '1 1ц 12 дхь дх; ™ Отсюда видно, что для кнадрупсльных излучателей теорема взаимности гласит: дЕм(1) дЕАА(1) 1 о1 /дЕ1 (2) дЕ1»(2) 1 ри дх» дх, ) ' 1, дх дх»,) а для магнитно-дипольных Вг(1)маг» = В»(2)магм 2.
Определить зависимость интенсивности излучения дипольного источника, погруженного н однородную изотропную среду, от проницаемостей е и д среды. Р е п| е н и е. В результате подстановки ! 7 е туей 9 90 злектРОМАГнитные кОлеБАния В НОлых РезОЫАтОРАх 449 уравнения (89.1) принимают вид гос Е' = — Н', с 4ш, 4Е.
г ГОГЕ = — — Е -~ — 1 с с не содержащий е и д. Решение зтих уравнений для дипольного излучения приводит к векторному потенциалу поля в волновой зоне (см. 11, 9 87); / 1с ег'! сйо Н' = с~1ссА') = счгед[1сАс) = тгедНо, Е = Н . Отсюда Н = с/ед Но, Е = дЕо, 7 =1од е и для интенсияности: чем и решается поставленная задача.
й 90. Электромагнитные колебания н полых резонаторах Рассмотрим злектрическос ноле в пустом пространстве, ограниченном идеально проводящими стенками. Уравнения монохроматического поля в пустоте гласят: Той Е = г' — Н, с го1Н = — 4 — Е. с (90.1) Граничные же условия на поверхности идеально проводящего тела (тела с импедансом ~ = 0): ЕГ=О, Н„=О.
(90.2) Для решения задачи достаточно рассматривать одну из величин Е или Н. Исключив, например, Н из уравнений (90.1), получим для Е волновое уравнение АТЕ + — Е = О, сг (90.3) к которому надо также присоединить уравнение (90.4) с)1у Е = О, нс вытекающее автоматически из (90.3). Решая зти уравнения с граничным условием ЕГ = О, определим поле Е, после чего вычисляем Н непосредственно по первому из уравнений (90.1), причем граничное условие Нп = 0 выполняется автоматически. 15 Л. Д.
Ландау и Е.М. Лифшиц, том ТГ!П Ло — расстояние от источника; здесь и ниже мы опускаем несущественные для вычисления интенсивности фазовые множители. Отсюда видно, что при заданном 1с можно написать А' = Ао, где индекс О отличает поле источника в пустоте. Для величин Н', Е' имеем 450 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. Х или, ввиду (90.3), ~ ~Н~ЕЛ = ~ ~Е~'Л, (90.5) что и требовалось доказать ~). ы ) Мы понимаем везде под Е и Н напряженности поля, соответствующего одной определенной собственной частоте. Не представляет также труда показать, что поля, соотнетстнующие двум различным собственным частотам ы и ыз, удовлетворяют соотношениям ортогональности: ~ Е Еь ~й' = ) Н Нь ~й' = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
