VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Х же будет равен, следовательно, .угол поворота вектора Е по отношению к вектору М в нормальной плоскости. Таким образом, при перемещении вдоль луча направление поляризации вращается в нормальной плоскости так, что его угол с направлением главной нормали меняется согласно уравнению йр 41 т' (85.12) В частности, в отсутствие кручения, т.
е. когда луч является плоской кривой, направление вектора Е в нормальной плоскости остается неизменным, как это и заранее очевидно из соображений симметрии. Задачи 1. Найти закон преобразования скорости распространения света в среде (групповой скорости) при преобразовании системы отсчета. Р е ш е н и е. По определению групповой скорости и, сйп = исйс, сйс' = и'сйс'; величины со штрихом относятся к системе отсчета К, движущейся со ско- ростью ч относительно системы К (величины без штриха). Согласно фор- мулам преобразования Лоренца для волнового 4-вектора имеем й, =у(й — и — ), с~ = ~(ы + ий,), =ч 'Г- 7Р[ °,*' — ° ге ф строке имеем сйл =.у(с)ы'-~ ос)й'„) = у(п' сйс' 4- и суй,').
Подставив сюда сйс', выраженное через сйс и с1сч, из формул первой строки и собрав вместе члены с сйл, получим у (1 + — ии' ) сйл = т(и', -'г и) с1й, -'г и'„суйч Ч- и', с(й,. ст сй = ы п(со ). Согласно формулам преобразования Лоренца для волнового 4-вектора, имеем, с точностью до членов первого порядка по и/с: 1с = 1с — — ч, й = й — — ч1 сз сз ы' = ы — Ъч, Сравнив с сйл = и сйс., найдем, что скорости и' и ч складываются в и по обычным релятивистским формулам сложения скоростей — как зто и следовало ожидать. 2. Определить скорость распространения света в движущейся (относительно наблюдателя) среде. Р е ш е н и е. Пусть ы и й — частота и волновой вектор световой волны в неподвижной системе отсчета К, а сл, 1с — те же величины в системе К, с движущейся относительно К вместе с жидкостью со скоростью ч.
В системе К' жидкость неподвижна, и потому ы' и к' связаны соотношением 425 ОтРАжкннк н нРклОмлкник ВОлн ы ь! ( !1(п22) ) Й = — и+ — !1 — и 1»1. с сз ~ Йе (2) Скорость распространения (групповая скорость) в неподвижной среде получается дифференцированием соотношения ск = 22п(ы) и равна с ио = 1. 4(пы)/~- В движущейся среде она получается дифференцированием соотношения (2), которое предварительно переписываем в виде к'= — и+'и» ( — — — ). Снова с точностью до членов первого порядка находим (ие иа п22 Ыис '1 ( ис 1 2 и = из+1(1») — — — — — — +с 1 —— (сп сз с !222 / г, сп/ (4) При распространении света в направлении движения среды (» ~~ ~1) имеем отсюда ) ие '1 епы !1ис "=" "('--) —— (5) сз) с сЫ Первые два члена могут быть получены просто путем применения релятивистской формулы сложения скоростей. Если же» и 1 взаимно перпендику- лярны: (6) Фазовая скорость вш!ны получается из (2) в виде ы с / 1 ыг1п»! — = — -~ »1 (1 — — -~ — — ) й и 1г, п2 и !1ы) При» 'с 1 эффект первого порядка в ней отсутствует.
8 86. Отражение и преломление волн Рассмотрим отражение и преломление монохроматической плоской электромагнитной волны на плоской границе раздела между однородными средами. Падение происходит из прозрачной среды (среда 1); для второй же среды предположения о ') Отметим, что второй член в (2), а с ним и все дальнейшие эффекты первого порядка тождественно обращаются в нуль при и = е = 1 — совзе.ю 2 — 2 ) Эта формула описывает тнк называемый эффект Физо, впервые предсказанный Френелем (А. Етезпе1! 1818). Влияние дисперсии на этот эффект рассмотрено Лорентцем (Н.А, йотеп12, 1895).
(1 = к/к). Подставив эти выражения в (1) и разложив функцию п(22') по степеням», получим с той же точностью 2! 426 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. Х прозрачности пока делать не будем. Будем отмечать величины, относящиеся к падающей и отраженной волнам, соответственно индексами О и 1, а к преломленной волне О --.
индексом 2 (рис. 46). Направление нор- 2 гг мали к плоскости раздела выберем в каг честве оси е (с положительным направлением в глубь среды 8). Ввиду полной однородности в плоско- О сти ху, зависимость решения уравнений в, в, поля от этих координат во всем пространго стае должна быть одинаковой. ЭтО ЗНаЧИт, ЧтО КОМПОНЕНТЫ гохо ЙЕ ВОЛ- нового вектора для всех трех волн одинаковы. Отсюда следует прежде всего, что Рис. 46 направления распространения всех волн лежат в одной плоскости; выберем ее в качестве плоскости ее. Из равенств (86.1) Еех = гогх = Е2х следует для е-компонент этих векторов: Йы = — Йа, = — "— АЙ~ совдо, с ог 2 2 2 ~22 = 62 Аох с2 Ег ВГП РО~ сг с (86.2) в обеих средах полагаем 12=1. Вектор 1со, по определению, веществен.
Вместе с ним веществен также 1сп Величина же йз, в поглощающей среде комплексна, причем корень должен быть взят с таким знаком, чтобы было 1ш 122, ) О в соответствии с тем, что преломленная волна затухает в глубь среды 8. Если прозрачны обе среды, то из равенств (86.1) следуют известные законы отражения и преломления (86.3) В = Ое, Для определения амплитуд отраженной и преломленной волн надо обратиться к граничным условиям на поверхности раздела (е = О). При этом мы рассмотрим отдельно два случая --. когда электрическое поле Ео лежит в плоскости падения или перпендикулярно к ней; тем самым мы рассматриваем и общий случай, когда Ес может быть разложено на две такие компоненты.
Предположим сначала, что Ее перпендикулярно к плоскости падения: из соображений симметрии очевидно, что то же будет относиться и к полям Ег и Ео в отраженной и преломленной волнах. Вектор же Н лежит в плоскости хе. Граничные условия 427 ОТРАЖЕНИЕ И НРЕЛОМЛЕНИЕ ВОЛН требуют непрерывности Ев — — Б' и Н ); согласно (83.3) Н = — ск,ЕЕ,)о). Поле в среде 1 есть сумма полей падающей и отраженной волн, так что мы получаем два уравнения: Еа+ Е! = Е2) ~аг(ЕΠ— Е)) = й22Е2 'в ь — ', — , в'в Еа, ,в ьва'Е:Ев)ь 20)в! сов Во Еа ч)в! сов Во -~- вг — в! яп 00 ВО* — Вг а )ВО* 2 02 (86.4) Е2 = Еа 2ьа ко* + Агв Если прозрачны обе среды, то с помощью соотношений (86.3) можно представить эти формулы в виде Е Яп (Вг — Во) Е Е 2 сов Во Яп Вг Е (86 б) ! = а а.
в)п (Вг ч- Ва) яп (Вг ч- Ва) Аналогичным образом можно рассмотреть случай, когда Е лежит в плоскости падения; при этом удобнее производить вычисления для магнитного ноля, перпендикулярного к плоскости падения. В результате получаются еще две формулы Френеля: - ) -* ' ь) На, — '"ь) 2вг сов Ва На. в,в Я)„:, ' в,) Н в2ко* в) кг Н а вгво +в)вг, (86.6) Н 2вгко Н 2 = а в! Ег„+ вака Если прозрачны обе среды, то эти формулы можно представить в виде вй (Во — Вг) Н Н яп 2Во Н (86 7) С8 (Во + Вг) в)п (Во + 02) соя (00 — Вг) Козффициент отрав)сения Н определяется как отношение среднего (по времени) отраженного от поверхности потока энергии к падающему гютоку. Каждый из этих потоков дается сред- ') Граничные условия для нормальных компонент В и В не дают в данном случае ничего нового, в соответствии с тем, что уравнения д)г В = О, 4)т О = О являются следствием уравнений (833 ). Зкспонснциальные множители в Е сокращаются в обеих частях равенства ввиду одинаковости )с (а также частоты о)) во всех трех волнах; ниже под Е подразумеваются везде комплексные амплитуды волн.
Решение написанных уравнений приводит к следующим формулам Френеля: 428 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. Х ним ЗначЕниЕм Е-кемпОНЕнты вЕктОра ПОйнтинга (83.11) СООтвЕт- ствующей волны; Аге1 сов дг )Е1)~ (Е1 (г чГег созоа)Ео)г (Еа(г При нормальном падении (йо = О) оба случая поляризации зквивалентны и козффициснт отражения дается формулой 2 ъ'ег + .~ег (86.8) Эта формула справедлива как для прозрачной, так и для по- глощающей отражающей среды.
Если ввести п2 и гс2 согласно ,,~72 2= п2+1гс2, .то, например, при падении из пустоты (е2 = 1) получим (86.9) ) Мы оставляем пока в стороне случай так называемого полного отражения (см. ниже). Дальнейшее обсуждение полученных формул произведем в предположении прозрачности обеих сред. Предварительно сделаем следующее общее замечание. Граница раздела между двумя различными средами представляет собой в действительности не геометрическую поверхность, а тонкий переходный слой. Справедливость формул (86.1) не связана с какими бы то ни было предположениями о характере зтого слоя.
Вывод жс формул Френеля, основанный на использовании условий на границе раздела, предполагает малость толщины переходного слоя д по сравнению с длиной волны Л. Обычно толщина б сравнима с междуатомными расстояниями, во всяком случае малыми по сравнению с Л (в противном случае было бы вообще невозможным макроскопическос рассмотрение поля); позтому и условие Л» о обычно выполняется. В обратном же предельном случае явление преломления имело бы совсем другой характер. При б» Л выполнены условия применимости геометрической оптики (Л мало по сравнению с размерами неоднородностей среды). Позтому в таком случае можно было бы рассматривать распространение волны как распространение лучей, испытывающих в переходном слое рефракцию, но проходящих через него без всякого отражения.
Другими словами, козффициевт отражения был бы равен нулю. Вернемся к формулам Френеля. При отражении от прозрачной среды козффициенты пропорциональности между еы е2 и Ез в зтих формулах вещественны ). Это значит, что фаза ы волны либо остается неизменной, либо испытывает скачок на к, 429 ОтРАженне и НРеломленне Волн смотря по знаку этих коэффициентов. В частности, фаза преломленной волны всегда совпадает с фазой падающей волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
