VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 82
Текст из файла (страница 82)
При рассмотрении же распространения волн в материальных средах в общем случае оказывается необходимым вводить также и комплексные значения: 1г = 1г'+ г1гл, где 1г', 1гл вещественные векторы. Положив Е и Н пропорциональными е™ и произведя в уравнениях (83.1) дифференцирование по координатам, получим ырН = с[1тЕ), ыеЕ = — с[1сН1. (83.3) Исключив из этих двух соотношений Е или Н, найдем следующее выражение для квадрата волнового вектора: ьл2 + 2,1г~1,л ер" (83.4) Мы видим, что 1г может быть вещественным, только если е и 1А вещественны и положительны. Но даже и в этом случае 1г может по-прежнему является монотонным убыванием —.
на этот раз от до до д1 < де. Наконец, отметим, что аналитическими свойствами, установленными в этом параграфе для функции е(ы), в равной степени обладает и функция г1(м) = 1~с(ы). Так, аналитичность г1(ы) в верхней полуплоскости следует из аналитичности и отсутствия нулей у функции е(ы) в этой полуплоскости. Для функции п(ю) справедливы тс же соотношения Крамерса — Кронига (82.6), (82.7), что и для е(ы). ГЛ. 1Х УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН все же быть комплексным, причем только должно быть 1сЪЯ = О (с таким случаем мы встретимся при рассмотрении полного отражения, см. з 86).
Следует иметь в виду, что в общем случае комплексных 1с волна может быть названа «плоской» лишь в условном смысле. Написав 1аег Ж'г — И" г мы видим, что плоскости, перпендикулярные к вектору 1с', являются плоскостями постоянной фазы. Плоскостями же постоянной амплитуды являются плоскости, перпендикулярные к вектору 1сл, в направлении которого происходит затухание волны. Что же касается поверхностей постоянного значения самого поля1 то они в общем случае вообще не будут плоскими.
Такие волны называют неоднородными плоскими волнами., в отличие от обычных однородных плоских волн. Связь между компонентами электрического и магнитного полей в общем случае дается формулами (83.3). В частности, умножив эти формулы скалярно на 1с, получим 1сЕ = О, 1сН = О, (83.5) а возводя какую-либо из них в квадрат и используя (83.4), найдем (83.6) Следует, однако, помнить, что ввиду комплексности всех трех векторов 1с, Е, Н эти соотношения в общем случае не имеют того наглядного смысла, который они имели бы для вещественных величин.
Не останавливаясь на громоздких соотношениях, получающихся в общем случае, рассмотрим наиболее важные частные случаи. Особенно простые результаты получаются для волны, распространяющейся без затухания в непоглощающей (прозрачной) однородной среде. Волновой вектор в этом случае веществен и по величине равен й=;Яр — =и —, (83. 7) с с где и = /Гр называется показателем преломленил среды.
Как электрическое, так и магнитное поля лежат в плоскости, перпендикулярной к вектору 1с (чисто поперечная волна), причем перпендикулярны друг к другу и связаны соотношением Н =,~(1Е) (83.8) ,л (1 единичный вектор в направлении 1с). Отсюда следует, что ЕЕЕ* = рНН*; 415 плОскАя мОнОхРОмАтичискля ВОлнА это, однако, не означает равенства электрической и магнитной энергий в волне (как в отсутствие дисперсии), поскольку последние даются другими выражениями (два члена в формуле (80.11)).
Суммарную плотность электромагнитной энергии в этом случае можно привести к виду Г = — (со~е1А)ЕЕ" = — ', — ' — ЕЕ*. (83.9) 16кдю о 8к'у р8ы Скорость и распространения волны в среде определяется известным выражением групповой скорости ): (83.10) При этом и = о'/Г, в соответствии с ее смыслом как скорости переноса энергии в волновом пакете; здесь à — плотность энергии, даваемая формулой (83.9), а (83.11) 8я'у и среднее значение вектора Пойнтннга. В отсутствие дисперсии, когда показатель преломления не зависит от частоты, выражение (83.10) сводится просто к с/и (ср.
(75.13)). Далее, рассмотрим более общий случай распространения электромагнитной волны в поглощающей среде, причем волновой вектор имеет определенное направление, т. е. 1с' и 1сл параллельны друг другу. Такая волна является плоской в буквальном смысле, так как поверхностями постоянных значений поля в ней являются плоскости, перпендикулярные к направлению распространения (однородная плоская волна). В этом случае можно ввести комплексную «длину» а волнового вектора согласно Ы = а1 (где 1 единичный вектор в направлении 1«' и 1«л) и из (83.4) имеем к = уе1зю/с.
Комплексную величину Тр обычно пишут в виде п+ гзс с вещественными и и .к, так что й =,,Йр"— = (,и+1»г) —. (83.12) Величину п называют показа»ведем преломления, а»г козффициентпом поглощения среды; последний определяет скорость затухания волны по мере ее распространения. Подчеркнем, однако, что затухание волны нс обязательно связано с наличием ю ) При наличии существенного поглощения введение понятия групповой скорости вообще невозможно, так как в поглощающей среде волновые пакеты не распространяются, а подвергаются быстрому размазыванию. ГЛ.
1Х уРАВнения электРОмАгнитных ВОлн истинного поглощения; диссипация энергии имеет место лишь при комплексных е или 11, а коэффициент х может быть отличным от нуля и при вещественных (отрицательных) е и 1А. Выразим величины п и х через вещественную и мнимую части диэлектрической постоянной, предполагая при этом, что 12 = 1. Из равенства и — х2 + 21пх = е = е' + гел имеем п — х =е, 2пхг е. 2 2 1 л Р ешая эти уравнения относительно и и и, получим 1) "+ "+ "' -"+ "+'л' 18313) 2 2 В частности, для металлов в области частот, где справедлива формула (77.9), мнимая часть е велика по сравнению с вещественной частью и связана с проводимостью посредством ел = = 4х1т/оз; пренебрегая е' по сравнению с ел, найдем, что п и х совпадают и равны (в согласии с (59.4)) п = х = . (83.14) Для связи между полями Е и Н в рассматриваемой однородной плоской волне снова получаем формулу (83.8), но только с комплексными е и 11.
Она снова показывает, что оба поля перпендикулярны к направлению распространения волны и друг к другу. Если,и = 1, то, написав т(е в виде "= """'- ~'-" (-.)) мы видим, что магнитное поле по абсолютной величине превышает электрическое в ъ~п~ + х2 раз, а по фазе отстает от него на угол агс18 (х/и); в случае (83.14) сдвиг фаз равен х/4. Задача В заданный момент времени (1 = О) в некоторой области пространства имеется электромагнитное возмущение. Не поддерживаемое внешними источниками, оно будет затухать со временем. Найти условия, определяющие декремент этого затухания. Р е ш е н и е.
Разложим начальное возмущение в интеграл Фурье по координатам и рассмотрим какую-либо компоненту с волновым вектором 1г (вещественный вектор!), Ее дальнейшая зависимость от времени дается (при достаточно большом 1) множителем е ™ с комплексной частотой ы, которую надо определить; декремент затухания есть — 1п1ол ') Поскольку е" ) О, то знаки и и х должны быть одинаковыми, в соответствии стем, что волна затухает в направлении своего распространения.
Выбор в (83.13) положительных знаков соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси х, 417 ПРОЗРАЧНЫЕ СРЕДЫ Из уравнений с 'Н = гас Н = г(кН) — с 'Н = гос Е = г(кЕ), имеем, исключив Н, с ~АА = (к(1сЕ)). (1) Выберем направление к в качестве оси х. Для продольной части возмущения имеем отсюда В, = О, а потому и В, = О. С другой стороны, связь между П, и Е, дается интегральным оператором с Е.(1) =;-~П.= ( Р(1 т)П.(т)4т. (2) Поскольку в данном случае В (1) = О при 1 > О (чем выражается отсутствие источников поля при 1 > О), то 0 Е (1) = У Р(1 — т)Н (т) 4т.
(3) Отсюда видно, что при больших 1 зависимость Е, от времени определяется в основном временнбй зависимостью функции Р(1). Для монохроматического поля имеем из (3); с( ) ) Р(т)е™ Йт и, обратно, Р(1) = е у е(ш) 2н Для оценки етого интеграла при больших значениях 1 смещаем путь интегрирования в нижнюю полуплоскость ш, где подынтегральное выражение быстро убывает.
При этом надо обходить все особые точки функции 1/е(ш), т, е, нули функции с(и) и ее точки ветвления. В результате интеграл будет в основном пропорционален е ' ", .где ше — ближайшая к вещественной оси из указанных особых точек. Этим и решается поставленный вопрос для продольной части возмущения. Для поперечных компонент имеем из (1) — Пш, + й~Е„Н = О. с Аналогичное исследование приводит к заключению, что искомая частота шс является в данном случае ближайшим к вещественной оси нулем или точкой ветвления функции ш е(ш) — с Й .
$ 84. Прозрачные среды Применим полученные в 3 82 общие формулы к слабопоглогцающим (в данной области частот) средам, т. е. будем предполагать, что для этих частот мнимой частью диэлектрической проницаемости можно пренебречь. 14 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том УН1 418 УРАВНЕНИЯ ЭЛККТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х В таком случае в формуле (82.8) взятие главного значения становится излишним, так как точка х = ы фактически выпадает из области интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
