VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Из определения (82.1) очевидно, далее, что Е(-О1*) = Е*(О1). (82.2) Это есть обобщение соотношения (77.7), относящегося к вещественным значениям о1. В частности, для чисто мнимых значеНнй О1 ИМЕЕМ Е(го1Л) = Е*(га1Л). (82.3) Это значит, что на верхней мнимой полуоси функция е(ш) вещественна ). Подчеркнем, что свойство (82.2) выражает собой просто тот факт, что операторная связь Ал = ГЕ должна обеспечивать вещественность В при вещественном Е. Если функция Е(1) дается вещественным выражением Е = Еое-™+ Есе (82.4) то1 применяя оператор Г к каждому из двух членов, получим 1л = е(а1)Есе + е( — а1*)Еее* условие вещественности этой величины совпадает с (82.2). Согласно результатам 8 80 мнимая часть е(о1) положительна при положительных вещественных значениях 1о = оу, т. е. ') Для нижней мнимой полуоси такое заключение было бы, вообще говоря, несправедливо.
Функция Е(ы) может иметь здесь точки ветвления, и для ее определения н нижней полуплоскости как аню1итической функции может оказаться необходимым разрез по полуоси. Тогда равенство (82.2) означает лишь комплексную сопряженность значений е(ь1) на противоположных берегах разреза. 409 АНАЛИТИЧНСКИВ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ( ) на правой части вещественной оси. Поскольку, согласно (82.2), 1ш к( — м') = — 1ш э(ш'), то на левой части этой оси мнимая часть е(ш) отрицательна. Таким образом, 1ш е > О при ы = ш' > О, 1п1 е < О при ы = ы' < О. В точке же ш = О функция 1ш э меняет знак, проходя через нуль (у диэлектриков) или через бесконечность (у металлов).
Это единственная точка на вещественной оси, в которой 1ше(ю) может обратиться в нуль. При стремлении ы к бесконечности по любому пути (в верхней полуплоскости) функция г(су) стремится к единице. Это обстоятельство было указано уже в 9 78 для случая, когда ш — + со вдоль вещественной оси. В общем случае это видно из той же формулы (82.1): если ю — + сю так, что ы" — + оо, то интеграл в (82.1) обращается в нуль благодаря наличию в подынтегральном выражении множителя ехр( — тш'); если же ш' остается конечным, а ~ы'~ -э ос, то обращение интеграла в нуль происходит благодаря наличию осциллирующсго множителя екв Перечисленных свойств функции е(ы) достаточно для того, чтобы доказать следующую теорему: функция э(ы) не принимает вещественных значений ни в какой конечной точке верхней полуплоскости, за исключением лишь точек мнимой оси; на последней же е(м) монотонно убывает от значения ее >1 (у диэлектриков) или от +ос (у металлов) при ы = 40 до 1 при ы = гоо.
Отсюда следует, в частности, что функция е(ш) не имеет нулей в верхней полуплоскости. Мы не будем повторять здесь доказательство этих утверждений, приведенное в Ъ', 9 123; нужно помнить лишь, что роль обобщенной восприимчивости играет не сама функция е(ю), а разность е(ы) — 1. Мы не будем повторять также вывода соотношений, связывающих друг с другом мнимую и вещественную части функции а(ш), Выпишем лишь окончательные формулы с соответствующим образом измененными обозначениями.
Напишем функцию е(ы) вещественной переменной ю, как и в 9 77, в виде е(ю) = е'(ю) + и а(ш). Если функция е(ю) относится к диэлектрику, указанные соотношения имеют вид Ч-сс В (82.6) (82.7) 41О ГЛ. 1Х уРАВнвния элвктРОмАГннтных ВОлн где перечеркнутый знак интеграла означает, что интеграл от полюсного выражения понимается в смысле его главного значения (Н.А.
Кгатегу, 1г.ь. Кгопж, 1927). Напомним, что единственным существенным свойством функции е(1Л), использованным при выводе этих формул, является отсутствие особых точек в верхней полуплоскости. Поэтому можно сказать, что формулы Крамерса — Кронига (как и указанное свойство функции е(ы)) являются прямым следствием физического принципа причинности. Воспользовавшись нечетностью функции ел(и), можно привести формулу (82.6) к виду (82.8) а Если речь идет о проводнике, то в точке В1 = О функция е(ы) имеет полюс, вблизи которого е = 41Г1гг/В1 (77.9).
Это приводит к появлению в формуле (82.7) дополнительного члена (ср. у1, (123.18) )1 е (ы) = — — ' сЬ+ —; и 1 1. Г'(Л) 4ХВ (82.9) формула же (82.6) или (82.8) остается неизменной. Кроме того, в случае металлов надо сделать еще следующее замечание. В конце э 77 было указано, что у металлов могут существовать области частот, в которых функция е(ы) теряет свой физический смысл в связи с эффектами пространственной неоднородности поля. Между тем, в рассматриваемых формулах интегрирование должно вестись по всем частотам. В таких случаях под е(ы) в соответствующих областях частот надо понимать функцию, получающуюся в результате решения формальной задачи о поведении тела в фиктивном пространственно однородном периодическом электрическом поле (а не в неизбежно неоднородном поле электромагнитной волны).
Особенно существенна формула (82.8). Она дает возможность вычислить функцию е'(1л), если известна хотя бы приближенным (например, эмпирическим) образом функция ел(ы) для данного тела. При этом существенно, что для любой функции еЛ(ы), удовлетворяющей физически необходимому требованию ел > О при ы > О, формула (82.8) дает функцию е'(ы), не противоречащую никаким необходимым физическим требованиям, т. е.
принципиально возможную (знак и величина е' не ограничиваются никакими общими физическими условиями). Это обстоятельство и дает возможность использовать формулу (82.8) даже по приближенной функции ел(О1). Напротив, формула (82.7) не дает (в общем случае произвольной функции е'(В1)) физически 411 АНАЛИТИЧВСКИВ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ( ) возможной функции ВВ(ы), так как не обеспечивает автоматическим образом положительность последней. В теории дисперсии принято записывать выражение для е'(ы) в виде (82.11) л( ) 4ВВ х эта замена не меняет значения интеграла, поскольку тождест- венно = О. хг — ггг о г (82.10) Вг и — х о где е, т . - заряд и масса электрона, а 1(ог) оог называется силой осцилляторов в интервале частот Ног. Согласно (82.8) эта величина связана с ва(ы) соотношением у (го) = ые (ы). 2хггг У металлов 1(ог) стремится к конечному пределу при ы -+ О.
При достаточно болыпих значениях ы в подынтегральном выражении в (82.8) можно пренебречь х по сравнению с ш. Тогда В'(ш) — 1 = — — ~ хел(х) йх. ггмг о С другой стороны, для диэлектрической проницаемости при больших частотах мы имеем формулу (78.1). Сравнение обоих выражений приводит к правилу сумм / ~~В(~) айаг = ~ П~) йьг = Х, (82 12) г.г г о о где гУ полное число электронов в единице объема вещества. Если ВВ(ш) не имеет особенности при ш = О, то в формуле (82.8) можно перейти к пределу ы — ~ О, и мы получим В (0) — 1 = — ох. (82.13) о Если же точка ы = О является особой для функции ва(ш) (металлы), то предел, к которому стремится интеграл (82.8) при ш — ~ О, нс совпадает со значением, получающимся путем простого вычеркивания в нем ы.
Для вычисления указанного предела необходимо предварительно заменить в подынтегральном выражении са(х) на гл. |х 412 уРлвнвння элвктРОмлгнитных ВОлн Формулу (82.13) для диэлектриков можно переписать в виде 4 (82.14) где черта обозначает усреднение с помощью силы осцилляторов: ы = — ~ йо. 1у() у /,„г о Это выражение может быть полезным при различных оценках величин ео.
Наконец, можно получить формулу, выражающую значения е(м) на верхней мнимой полуоси через значения ен(ш) на вещественной оси (соответствующие вычисления тоже приведены в 'у', З 123). Эта формула имеет вид г е(ио) — 1 = — / сЬ. (82.15) к2 Ч ш~2 о Если проинтегрировать это соотношение с обеих сторон по ш, то получается ~ '1е(ко) — 1) Йо = ~ ел(ш)с)оу, (82.16) ') Фактически м1 должно удовлетворять условию м1т » 1, где т — наименьшее из времен релаксации ферро- или парамагнитных процессов в магнетике. о о Все изложенные результаты (с небольшим лишь видоизменением) относятся и к магнитной проницаемости )т(ш). Отличие связано прежде всего с тем, что при увеличении частоты функция р(ы) сравнительно рано теряет физический смысл. Поэтому, например, применять формулы Крамерса .Кронига к )цш) надо следующим образом.
Вместо бесконечного рассматриваем конечный интервал значений оу (от О до оу1), простирающийся до таких частот, при которых р еще имеет смысл, но уже перестает меняться и ее мнимую часть можно считать равной нулю; сооты ветствующее вещественное значение )т обозначим как д1 ). Тогда формула (82.8) будет иметь вид г (82.17) о В противоположность ес, значение дс = р(0) может быть как меныпс, так и болыпе 1. Изменение же д(ш) вдоль мнимой оси 413 плОскАя монохгомАтичвскАН ВОлнА й 83.
Плоская монохроматическая волна Уравнения Максвелла (77.2) для монохроматического поля имеют вид ипр(ы)Н = стой Е, и ~е(оз)Е = — сго1Н. (83.1) Эти уравнения сами по себе составляют полную систему, так как уравнения (77.1) следуют из них автоматически, и потому не должны рассматриваться отдельно. Предполагая среду однородной и исключив из этих уравнений Н (или Е), получим уравнение вто ого по я ка р Р д ЬЕ+си — Е = О (83.2) (и такое же уравнение для Н). Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в неограниченной однородной среде. В плоской волне в пустоте зависимость поля от координат дается множителем вида е™ с вещественным волновым вектором 1г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
