VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 80
Текст из файла (страница 80)
В отсутствие сопротивления разность потенциалов 1д на обкладках конденсатора равна сумме внешней электродвижущей силы и электродвижущей силы самоиндукции: д = 4'- — ',.5 — "', (81.4) а ток,У связан с зарядом е на обкладках конденсатора равенством 1 = г1е/Ф. Для величин, меняющихся со временем по монохроматическому закону, по определению емкости С(ш) имеем 1р = е(С(ш). Положив в (81.4) 4' = О, 1 = — гше, прежде всего найдем, что и при наличии дисперсии емкости собственная частота контура по-прежнему удовлетворяет соотношению Томсона (62.5): ш= (81.5) угйс1ш) Далее, .умножив равенство (81.4) на 1 = 11е/Ш и рассматривая (как при выводе (80.12)) «почти монохроматическиев величины, без труда получим ( Е,.Р 4(иС) ~' ~ 1й1 2 йо 2) Из вида этого равенства ясно, что выражение в фигурных скобках представляет собой энергию Ф колебательного контура.
Первый член в этом выражении преобразуем, подставив 1 = — вше и используя (81.5): ' Ы2 = ' Ьш2е2 = ' Ьсйш2,д2 = СФ 2сз 2сз 2св 2 ') Для выполнения условий квазистационарности необходимо, чтобы размеры контура были малыми по сравнению с длиной волны с/ш. Это ограничение, однако, не имеет принципиального характера и не умаляет общности излагаемого вывода. 1 81 тензсР напгяжений н диспеРГиРующих сРкдАХ 405 (81.7) (81.9) ы ) Здесь и ниже для упрощения записи формул опускаем в энергии ее «незлектромагнитную» часть ьл. ) Ср.
1, 1 49. Инвариантность указанной величины особенно наглядна в терминах квантовой теории; отношение Ф/«т«л есть номер квантового состояния, не меняющийся прн аднабатическом изменении условий. Окончательно запишем энергию контура в виде ) — 1 с~(ы~С) ~~ (81.6) ь«ды 2 Нам надо вычислить вариацию этой энергии при малом смещении обкладок конденсатора, т. е. при малом изменении его емкости. В переменном поле это смещение надо представлять себе как происходящее бесконечно медленно. Но при таком изменении остается постоянным адиабатический инвариант, равный (как и для всякой линейной колебательной системы) отношению энергии колебаний к частоте Я).
Таким образом, д(М'/го) = О, т. е. ы = 'а~— . Из равенства (81.5) имеем, при малом изменении емкости конденсатора: (81.8) Но изменение емкости складывается из двух частей: дС = (5С)„+ — до1. йи Первый член есть «статичсская» часть изменения, связанная с деформацией так же, как и в статическом случае (здесь существенно, что при наличии дисперсии емкость С(и) выражается через е(и) так же, как в статическом случае). Второй же член связан просто с изменением частоты. Из (81.8), (81.9) находим для «статической» части (81.10) При подстановке (81.6) в (81.7) с учетом (81.10) производная г1С/1дп выпадает и вариация энергии получается в виде бФ = — — (дС)ст = —, (бС)ст, (81.11) действительно совпадающем с усредненным вторым членом в (81.3) .
Заметим, что выпадение членов с производной по о1 в БФ имеет совершенно общий характер и не связано с конкретным способом изменения состояния тела (в данном случае конденсатора). 406 ГЛ. 1Х УРЛВНВННЯ ЭЛВКТРОМАГНН'ГНЫХ ВОЛН В частности, для среды с дисперсией остается справедливой (с заменой Е2 на Ел) формула (14.1) для изменения свободной энергии при малом изменении ж бЯ = — бе(со) — сЬ", (81.12) 8х причем под бе следует понимать «статическое» изменение е при заданной частоте. Зная тензор напряжений, можно по формуле (75.17) найти силу, действующую на единицу объема диэлектрика.
11ри этом члены, содержащие пространственные производные, совпадут с соответствующими членами усредненного по времени выражения (75.18) (в котором надо положить )т = 1). Член же с производной по времени (сила Абрагама) оказывается другим. Действительно, этот член возникает как разность ' (д(ОН) — д(ЕН)), которая должна быть теперь усреднена по времени.
Для этого выражаем 1Э, Е, Н в комплексном виде (т. е. заменяем их на (Н+ 13*) 112 и т. д.), после чего для производной д1Э/д( используем формулу (80.10). В результате получим силу Абрагама в виде — (е — 1) Ке — (ЕН') + — о1 — Ве ~ — Н "~ (81.13) 8пс дс 8хс ои ~ д$ (Х. Вашина, В.И. Карпман, 1976). Вопрос о тензоре напряжений в переменном поле имеет смысл не только для прозрачной, но и для поглощающей среды, в противоположность вопросу о внутренней энергии, который может быть сформулирован лишь в пренебрежении диссипацией. Есть, однако, основания полагать, что в поглощающей среде тензор напряжений не может быть выражен через одну лишь диэлектрическую проницаемость, а потому вообще не может быть найден в общем виде макроскопичсским путем.
8 82. Аналитические свойства функции в(ш) Функция у(т) в (77.3) конечна при всех значениях своего аргумента, в том числе и при т = 01). У диэлектриков эта функция стремится при т — + оо к нулю. Это обстоятельство является просто выражением того факта, что на значение В(с) в заданный ') Именно для атой цели в интегральной зависимости (77.3) выделен член е(1); в противном случае функция 1(т) имела бы при т = О особенность типа б-функции.
АНАЛИТИЧВСКИВ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ( ) 407 момент времени не могут заметно влиять значения Е(1) в очень давние моменты. Физический механизм, лежащий в основе интегральной зависимости вида (77.3), заключается в процессах установления электрической поляризации. Поэтому интервал значений, в котором функция 1(т) заметно отличается от нуля, порядка величины времени релаксации, характеризующего скорость этих процессов.
Оказанное относится и к металлам, с той только разницей, что стремится к нулю при т — ~ оо не сама функция 1(т), а разность ~(т) — 4хп. Это отличие связано с тем, что уже прохожденис стационарного тока проводимости, хотя и не приводит к какому-либо реальному изменению физического состояния металла, но в наших уравнениях формально означает появление индукции О согласно 1 до 4 — — = — ОЕ сд~ с или АА(1) = ~ 4хпЕ(т) г1т = 4хо ~ Е(1 — т) йт. — СС о Функция е(ю) была определена согласно (77.5): е(ы) = 1+ ~ е'~'1(т) Йт. (82.1) о Оказывается возможным выяснить некоторые весьма общие свойства этой функции, рассматривая ю как комплексную переменную (ы = ы + гы"). Эти свойства можно было бы сформулиовать здесь сразу, заметив, что электрическая восприимчивость е(ш) — 11/(4х) относится к категории величин (обобщенных восприимчивостей), рассмотренных уже в У, З 123.
Тем не менее, мы частично повторим здесь соответствующие рассуждения и результаты . как с целью облегчения чтения, так и с целью подчеркнуть некоторые различия между случаями диэлектриков и металлов. Из определения (82.1) и из указанных выше свойств функции 1(т) следует, что во всей верхней полуплоскости е(ю) есть однозначная функция, нигде не обращающаяся в бесконечность т, е. не имеющая никаких особых точек. Действительно, при ОУ ' ) 0 в подынтегральном выражении в формуле (82.1) имеется экспо- А ненциально убывающий множитель е Ф т, а поскольку и функция г(т) конечна во всей области интегрирования, то интеграл сходится. Функция е(ш) не имеет особенностей и на самой вещественной оси (ал = О), за исключением, возможно, лишь начала координат (у металлов е(ы) имеет в этой точке простой полюс).
В нижней же полуплоскости определение (82.1) неприменимо, так как интеграл расходится. Поэтому функция е(ш) в ниж- 408 гл. 1х уРАВнения электРОмАгнитных ВОлн ней полуплоскости может быть определена лишь как аналитическое продолжение формулы (82.1) из верхней полуплоскости. В этой области функция е(о1) имеет, вообще говоря, особые точки. Функция е(оз) в верхней полуплоскости имеет не только формальный математический, но и физический смысл: ею определс ляется связь между В и Е для полей с возрастающей (как е~ ~) амплитудой.
В нижней же полуплоскости такое физическое истолкование невозможно уже хотя бы потому,что наличие затухающего (как ехр ( — ~о1л~()) поля предполагает его бесконечную величину при 1 -+ — Оо. Обратим внимание на то, что вывод об отсутствии особых точек у функции е(о1) в верхней полуплоскости является с физической точки зрения следствием принципа причинности. Последний проявляется в том, что интегрирование в (77.3) производится лишь по времени, предшествующему данному моменту г, в результате чего в формуле (82.1) область интегрирования и раСпрОСтраняЕтСя От 0 дО ОО (а НЕ От — ОО дО +ОО).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
