VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Это очевидно из приведенных в предыдущем параграфе рассуждений, в которых были использованы лишь такие общие свойства тел (например, равенство нулю полного заряда), которыми движущиеся тела обладают в той же степени, как и неподвижные. При этом, однако, связи величин В и В с величинами Е и Н уже отнюдь ве должны совпадать с теми, которые имеют место в неподвижных средах. Будучи справедливыми как для неподвижных, так и для движущихся тел, уравнения (76.4) должны сохранять свой вид при преобразовании Лоренца.
Для поля в пустоте векторы В и Н совпадают с Е и В и релятивистская инвариантность второй пары уравнений Максвелла проявляется в том, что и они могут быть написаны в четырехмерном виде с помощью того же тензора Рл„: дг л"/дх" = 0 (см. П, 8 30). Поэтому ясно, что для обес- 382 ГЛ. 1Х печения релятивистской инвариантности уравнений (76.4) необ- ходимо, чтобы компоненты векторов В и Н в действительно- сти преобразовывались как компоненты 4-тензора, построенного аналогично тензору глг, обозначим зтот тензор как Н„: О -Р. Р, О РУ Н О вЂ” Н, Н, Π— Н. — Р, — РУ вЂ” Р.
(76.5) С его помощью уравнения (76.4) записываются в виде дНАР = О. дх1' (76.6) Выяснив четырехмерный тензорный характер величин Е, О, Н, В, мы тем самым узнали закон их преобразования при переходе от одной системы отсчета к другой. Нас, однако, интересует здесь не столько закон зтого преобразования, сколько связь между зтими величинами в движущейся среде, обобщающая соотношения В = ЕЕ и В = 12Н, справедливые в неподвижных телах.
Обозначим через и" 4-вектор скорости среды; его компоненты связаны с трехмерной скоростью м соотношением и" = 1 У '1 — е2 ~сз ' с /~ — У2 ~с2 Составим из зтого 4-вектора и 4-тензоров г'"' и Нл' такие комбинации, которые в неподвижной среде переходят в К и О. Таковыми являются 4-векторы Рл"ию НА"ия, при ч = О их временные компоненты обращаются в нуль, а пространственные -- соответственно в К и О. Позтому ясно, что четырехмерным обобщением равенства В = ЕЕ является ') Нли н ерли и Л= и (76.7) Аналогичным образом убеждаемся в том, что обобщением соотношения В = рН является четырехмерное равенство .РЛриг + г„гиЛ + г',Ли„= р(НЛИи„+ Н„гнЛ + Н Ли„). (76.8) ) Следует заметить, что, написав соотношения, содержащие лишь мест- ное значснне скорости, мы тем самым пренебрегаем слабымн зффектами, связаннымн с возможностью существования градиента скорости (напрнмер, гнромагннтнымн зффектамн; см.
З 36), уРАВнения электРОмАГнитных ВОлн Р, Н„ Нх Π— Р У вЂ” Н, О Н, — Р, Нп Нх О 176 злектРодинАмикА движущихся дизлектРикон 383 Переходя от четырехмерных обозначений снова к трехмерным величинам, получим из этих двух уравнений векторные соотношения ): В + -[УН[ = е (Е+ -[УВ)), В + — [ЕУ) = )А (Н + — [ИУ)) . (76.9) и„, =и„,, в„, =в„,. (76.12) Условия же для тангенциальных компонент поля проще всего можно получить путем перехода от неподвижной системы отсчета Л к новой системе Л', движущейся вместе с данным элементом поверхности тела; скорость последнего (напранленную вдоль нормали п) обозначим как и„. В системе К' справедливы обычные условия непрерывности Е[ и Н[. Согласно релятивистским формулам преобразования (см.
П, 3 24), зги требования эквивалентны условию непрерывности тангенциальных компонент векторов Е+ -[УВ], Н вЂ” -[Уо). с с Проецируя их на плоскость, перпендикулярную к и, и учитывая равенства (76.12), получим искомые граничные условия; [и, Еч — Е11 = — "" (В2 — В1), (76.13) [и, Нз — Н1[ = — — "" (Х)з — 1Э1). с ') Если какое-либо из соотношений В = еЕ или В = ИН в неподвижной среде не имеет места, то и соответствующее из соотношений (76.9) заменяется другой функциональной зависимостью между двумя векторными суммами, стоящими в обеих частях равенства. Эти формулы, полученные Минковским (Н.
Мгпйошзйг', 1908), являются точными в том смысле, что еще ве сделано никаких предположений о величине скорости. Считая же отношение з/с малым и решая зти уравнения относительно В и В с точностью до членов первого порядка, получим П = 6Е+ и [уН), (76.10) с В = )АН+ д [ЕУ[. (76.11) с Эти формулы, вместе с уравнениями Максвелла (76.2) и (76.4), составляют основу электродинамики движущихся диэлектриков.
Граничные условия к уравнениям Максвелла тоже претерпевают некоторое изменение. Из уравнений с))н В = О, с)1у В = 0 по-прежнему следуют условия непрерывности нормальных компонент индукции: 384 уРлвнвння элкктРОмхгннтных ВОлн гл. 1х Если подставить сюда выражения (76.10), (76.11) и прене- бречь членами высшего порядка по п,1'с, то мы получим (и, Е2 — Е11 = — "()12 — )11)Нм с (и, Н2 — Н1) = — "— "(62 — 61)Е1. с Нш= 9 3 2+и (ср, (3.2)).
Ввиду стационарности вращения возникающее электрическое поле постоянно и, как всякое постоянное электрическое поле, обладает потенциалом: Е = — ~1Г. Вне шара потенциал удовлетворяет уравнению Ьум1 = О, а внутри шара уравнению Ьэ,Щ = 2'Ж 'йНМ, (1) се где й — угловая скорость вращения (это уравнение получается из гйу Н = О подстановкой для Н выражения (7630) с у = (йг)). Условие непрерывности нормальной составляющей Н на поверхности шара гласит; — е ~ + а(йНСΠ— (йп)(НЕОп)) = — (2) д1г ' дг ~„, с д. (а — радиус шара, п — единичный вектор в направлении г). Ввиду симметрии шара искомое электрическое поле определяется всего двумя постоянными векторами: й и Я, Из их компонент можно составить линейным по 5 и й образом скаляр Вй и тснзор 2 б,йь + Яьй, — — б,ьВй 3' с равной нулю суммой диагональных членов.
Соответственно этому ищем потенциал поля вне шара в виде -у = -И„* 6 * дя,д*ь (,г) (3) В этом приближении в правой части равенств можно нс различать значения Н и Е на обеих сторонах поверхности раздела. Если тело движется так, что его поверхность не смещается в перпендикулярном к самой себе направлению (например, при поворачивании тела вращения вокруг оси), то и„= О. Только в этом случае граничные условия (76.13) нли (76.14) сводятся к обычным условиям непрерывности Ег и Нь Задачи 1.
Диэлектрический шар равномерно вращастсв (в пустоте) в однородном постоянном магнитном поле Ху. Определить возникающее вокруг шара электрическое поле, Р е ш е н и е. При вычислении возникающего электрического поля магнитное поле надо принимать таким же, как при неподвижном шаре, так как учет обратного влияния изменения магнитного поля привел бы к поправкам более высокого порядка малости. Внутри шара магнитное поле однородно и равно 5 75 злектРодинАмикА движупгихся дизлектРикон 385 где Р,А — постоянный тензор (причем Р„= О); Р,А есть тензор квадрупольного электрического момента шара (см.
П, з 41). Члена же вида сопзг)г в 12ОО не может быть, так как он давал бы отличный от нуля полный поток электрического поля через поверхность, охватывающую шар (между тем как шар не заряжен). Потенциал поля внутри шара ищем в виде 1Р = — Р;Ап,пь+ йН ' (г — а ). Ж г' Ер — 1 О1 2 2 2аэ Зсе (4) Первый член есть решение однородного уравнения 2512 = О, а выбор коэф- фициента в нем обеспечивает непрерывность потенциала (а тем самым и Е,) на поверхности шара. Подставляя (3) и (4) в (2), найдем а 3(ед — 1) г' 2 Р,А = —— ~'Лгйь.~.
Льй, 5,АЯй) . (5) с (3 -~- 2е)(2 4- д) ~, 3 Таким образом, вокруг вращающегося шара возникает электрическое по- ле квадрупольного характера, причем квадрупольный момент шара дается формулой (5). В частности, если шар вращается вокруг направления внеш- него поля (ось 2), то Рш имеет лишь диагональные компоненты Р,„= —— а 4(ел — 1) 1 йй, Р,. =Р~ =--Рям с (3 + 2е)(2 + д) 2 Аналогично, вокруг шара., вращающегося в однородном электрическом поле, возникает квадрупольное магнитноое поле. Квадрупольный магнитный момент шара дается при этом формулой, получающейся из (5) изменением знака и заменой е, р, В соответственно на р, е, С.
2. Намагниченный шар равномерно вращается (в пустоте) вокруг своей оси, параллельной направлению намагничения. Определить возникающее вокруг шара электрическое поле ). Р е ш е н и е. Магнитное поле внутри шара однородно и выражается через постоянную намагниченность М согласно уравнениям ВО1 + 2Н О1 = О (ср. (8.1)) и ВО1 — НИ1 = 4хМ, откуда 8ХМ И1 4хМ 3 3 Вторая из формул (76,9) в данном случае не имеет места (ввиду несправед- ливости формулы В = ИН для неподвижного ферромагнетика), а из первой имесм внутри шара П = еЕ+ — (УВ) — -(УН) = еЕ+ 1 4я(2е+ 1) [РМ'с с с Зс 8я(2е+ 1) Зсе ') Если направления намагниченности и оси вращения не совпадают, то постановка задачи существенно меняется, так как возникает излучение электромагнитных волн от шара в окружающее пространство.
13 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том НН1 Потенциал возникающего электрического поля вне шара удовлетворяет уравнению 2522ОО = О, а внутри шара 386 ГЛ. 1Х УРАВНЕНИЯ ЭЛККТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН Граничное условие непрерывности В на поверхности шара: дя ш 4х(2е+ ц ., др~ю — е — + аймя!в В = —— дг „ Зс дг где  — угол между нормалью и и направлением й и М (ось я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
