VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Он может быть также совершенно различным для электрических и магнитных явлений ). ) Что касается условия 1 << Л, то оно не имеет отношения к применимости уравнений (75.1)как таковых. Роль этого условия для вопросов, рассматривавшихся в гл. '~й, заключалась в том, что оно позволяло пренебречь зффектамн запаздывания в поле вне проводника, ) Так, в алмазе электрическая поляризация имеет злектронное происхождение и дисперсия е начинается лип1ь в ультрафиолетовой области спектра. В такай же полярной жидкости, как вода, поляризация связана с ориентацией молекул с жесткими дипольными моментами и дисперсия Е наступает при частотах ы 10 (т.
е. в сантиметровом диапазоне длин волн). м Еще раньше может начаться дисперсия д в ферромагнитных веществах. 376 гл. |х уРлэнвния элкктРОмхгнитных ВОлн Уравнения (75.3) (75.4) йчВ =О, гав го4Е = — —— с аг получаются непосредственно путем замены е и г1 в точных микроскопических уравнениях Максвелла их усредненными значениями Е и В. Поэтому эти уравнения ни при каких условиях не нуждаются в изменении. Что касается уравнения йнВ=О, (75.5) то оно получается (см. э 6) путем усреднения точного микроскопического уравнения йн е = 4хр, причем используется лишь то обстоятельство, что полный заряд тела равен нулю. Очевидно, что этот вывод ни в какой степени не зависит от предполагавшейся в э 6 стационарности поля, и потому уравнение (75.5) сохраняет свой вид и в переменных полях.
Еще одно уравнение должно быть получено путем усреднения точного уравнения 1 де 4г го1 Ь = — — + — рч. сд$ с (75.6) Непосредственное усреднение дает 1 дЕ 4к го1 В = — — + — рч. сдг с (75.7) д""+й 4„=О. аг Вместо уравнения (75.5) будем иметь йч О = 4хрст (см. (6.8)). Продифференцировав это равенство по времени и воспользовавшись уравнением непрерывности, получим — йнВ = 4Х " = — 4хйн)ст д .
дс, дг дг Однако при зависящем от времени макроскопическом поле установление связи среднего значения рч с ранее введенными величинами довольно затруднительно. Проще произвести требуемое усреднение не непосредственно, а следующим более формальным путем. Предположим временно, что в диэлектрик введены посторонние по отношению к его веществу заряды с объемной плотностью р, . При своем движении эти заряды создают «сторонний» ток 1„, а сохранение этих зарядов выражается уравнением непре- рывности 1 75 уРАенения пОля В диэлектРикАК Без диспеРсии 377 ИЛИ о1У ( + 4773«т) = 0 Отсюда следует, что вектор, стоящий под знаком Жу» может быть представлен в виде ротора некоторого другого вектора, который обозначим как сН; тогда 4 ° 7 дВ готН= — 1, +-— с сд« (75.8) го1 Н = — —.
7аВ с д5 (75.9) Величину АА7»1477) называют током СА«ен4енил. Это уравнение заменяет собой для диэлектриков первое из уравнений 175.1), описывающих поле в металлах. Может возникнуть мысль о том, что и в металлах в этом уравнении для переменного поля следует учитывать член с производной дЕ/д1, т. с. писать го1Н = — СЕ+ —— (75.10) с сд5 с постоянным коэффициентом е. Однако для хороших проводников (истинных металлов) введение такого члена было бы бессмысленным.
Два члена в правой части уравнения 175.10) представляют собой по существу первые два члена разложения по степеням частоты поля. Поскольку последняя предполагается достаточно малой, то учет второго члена мог бы, в лучшем случае, означать введение малой поправки. В действительности он не может иметь даже этого смысла, так как фактически в металлах поправки от влияния пространственной неоднородности по- Вне тела это уравнение должно совпадать с точным уравнением Максвелла для поля в пустоте, соответственно чему вектор Н совпадает с напряженностью магнитного поля.
Внутри же тела в статическом случае ток 1, связан с магнитным полем уравнением 4х. го1Н = — ),т, с где Н -- величина, введенная в з 29 и определенным образом связанная со средней напряженностью В. Отсюда следует, что в пределе стремящейся к нулю частоты вектор Н в уравнении (75.8) совпадает со статической величиной Н(В), а предполагаемая нами здесь «медленность» изменения поля означает, что и для этих переменных полей сохраняется та же зависимость Н(В).
Таким образом, Н становится вполне определенной величиной, и, опуская вспомогательную величину 1„, мы приходим окончательно к уравнению 378 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х (75.11) ЖУЕ= О, йУН =О, гоСЕ = — — —, лдН дС ' гоС Н = — —. е дЕ с дг (75.12) Исключая из этих уравнений обычным образом Е (или Н), получим гоСгоСН = — — гоСЕ = —— е д ~пед'Н с дг с2 дС2 и поскольку гоС гоС Н = 8га11 йу Н вЂ” ЬН = — ЬН, то мы приходим к волновому уравнению ,3,Н ел д'н О. с2 дг2 Отсюда видно, что скорость распространения электромагнитных волн в однородной диэлектрической среде есть (75.13) Плотность потока энергии складывается из потока энергии электромагнитного поля и потока энергии, переносимой непосредственно движущимся веществом.
В неподвижной среде (которую мы и рассматриваем) последняя часть отсутствует и плотность потока энергии в диэлектрической среде дается той же формулой (30.20) В = — '[ЕН), (75.14) что и в металлах. В этом легко убедиться, вычислив йуВ. ля становятся заметными раньше, чем поправка по частоте (см.
примеч. на с. 298). Есть, однако, особая категория тел (плохие проводники), для которых уравнение (75.10) может иметь смысл. В силу особых причин (малое число электронов проводимости в полупроводниках, малая подвижность ионов в растворах электролитов) проводимость этих веществ аномально мала, и потому второй член в правой части уравнения (75.10) может сравниться с первым или даже превысить его уже при таких частотах, для которых можно еще считать а и е постоянными.
В монохроматнческом поле отношение второго члена к первому есть еь2/(4хп). Если зто отношение мало, то тело ведет себя как обычный проводник с проводимостью 1Г. При частотах же ш» 4хп11е оно ведет себя как диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е. В однородной среде с постоянными е и 12 уравнения (75.3)— (75.5) и (75.9) принимают вид 1 75 уРАенения пОля Б диэлектРикАх Беэ диспеРсии 379 Используя уравнения (75.4) и (75.9), получим йуВ = — (НТО1К вЂ” Его1Н) = — — (К вЂ” +Н вЂ” 1 = — —, 4Я 4е ~ дФ дФ/ дй (75.15) в соответствии с выражением п17' = — (Е Ло + Н дВ) 4л для дифференциала внутренней энергии диэлектрика при заданных плотности и энтропии. Как известно, требование симметричности четырехмерного тснзора энергии-импульса всякой замкнутой системы (в данном случае — диэлектрика в электромагнитном поле) приводит к равенству (с точностью до множителя с ) плотности потока энергии и пространственной плотности импульса системы (см.
11, 3 32, 94). Поэтому последняя равна — [ЕН). (75.1б) Это обстоятельство должно быть, в частности, .учтено при определении сил, действующих на диэлектрическое вещество в переменном электромагнитном поле. Силу Г (отнесенную к единице объема) можно вычислять по тензору напряжений а;ь как д;, д 7 = — — — — (ЕНПО деЛ д7 4РС (75.1 7) В постоянном поле последний член равен нулю, и потому этот вопрос раныпе не возникал. Медленность изменения поля позволяет воспользоваться для тензора напряжений прежними выражениями, полученными для постоянного поля. Так, для жидкой диэлектрической среды С,Ъ дается суммой электрической (15.9) и магнитной (35.2) частей.
Но при дифференцировании этих выражений по координатам надо учесть, что вместо уравнений гоФ Е = О, гот Н = О для постоянного поля (в отсутствие токов) мы имеем теперь уравнения При этом, однако, необходимо учесть, что пп, есть плотность потока импульса, который идет на изменение импульса как вещества., так и электромагнитного поля. Если понимать под Г силу, действующую лишь на среду, то из написанного выражения надо вычесть изменение импульса единицы объема поля: 380 ГЛ. 1Х УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН (75.12). Это приводит к появлению новых членов — — [ЕТОЕ[ — ~ [Н ГОРН), 47г 4х которые теперь раины не нулю, а '~' [ЕН) — '~' [НЕ1 = '~' — [ЕН[.
Таким образом, искомая сила: 8.2 д2 т = — гуРе[Р Т) — — 787е — — 8ГР7 + 8х 87г 8- 7' [р[ — ) — .Р р[ — ") — ~ .1- ' — (ВВ1. 775.18) Последний член н этом выражении называют силой Абрагама (М. АБГа18ат 1909). 8 76. Злектродинамика движущихся диэлектриков Движение среды приводит к возникновению явлений Взаимного влияния электрических и магнитных полей. Для пронодников зти явления были рассмотрены в 8 63, теперь же мы обратимся к изучению этого вопроса для диэлектриков. При этом фактически идет речь о янлениях, возникающих в движущихся телах при наличии ннепшего электрического или магнитного полей. Подчеркнем, что они не имеют ничего общего с явлениями возникновения полей в результате самого движения тел (которые рассматривались в 8 36, 64).
Отправным пунктом н 8 63 являлись формулы преобразования поля при переходе от одной системы отсчета к другой. При этом нам было достаточно знать обычные формулы преобразования электрической и магнитной напряженности поля в пустоте, усреднение которых нспосредстнснно даст формулы прсобразонания Е и В. В диэлектриках вопрос значительно более сложен, в связи с наличием большего числа величин, описывающих электромагнитное поле. При движении макроскопических тел речь идет обычно о скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Однако получить соответствующие приближенные формулы преобразования проще всего на основе точных релятивистских формул, спранедлиных при любых скоростях.
Как известно, в электродинамике поля н пустоте компоненты векторов е и Ь электрической и магнитной напряженности в действительности являются компонентами антисимметрического четырехмерного тензора [4-тензора) второго ранга (см. П, 8 23). 1 те злектРодинАмикА двилкущихся дизлектРикое 381 Поскольку Е и В являются средними значениями е и Ь, то же самое относится и к ним. Таким образом, имеется 4-тензор Е„, со следующими компонентами ): Ех Еу 0 — В, В, Π— В„ 0 -Е. -Е„-Е, Е, Π— В, В„ Е„В, Π— В Е,— „ 0 (76.1) пара уравнений Максвелла Е, Ву — В 0 С помощью этого тензора первая г11уВ = О, го4Е = — —— (76.2) с дс может быть написана в четырехмерном виде как ДР,„Д~„.
ДР., Дх" Дхл Дхе (76.3) 11 ) В этом параграфе четырехмерные тензорные индексы, пробегающие значения О, Ц 2, 3, обозначаются греческими буквами Л, рк Р, Тем самым выявляется релятивистская инвариантпость этих уравнений. Подчеркнем, что сама по себе применимость уравнений (76.2) к движущимся телам очевидна, поскольку зти уравнения получаются непосредственно путем замены е и 1з в точных микроскопических уравнениях Максвелла и их усредненными значениями Е и В. Но и вторая пара уравнений Максвелла, 61уН = О, го1Н = — —, (76.4) с Дг тоже сохраняет свой формальный вид и в движущихся средах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
