VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 69
Текст из файла (страница 69)
4к 350 мАГнитнАя ГидРОдинАмихА ГЛ. Р1П Используя формулы 169.6) и 169.11), получим в результате 2илз (р 4кп~ 9 70. Условия на разрывах Как и в обычной гидродинамике, уравнения движения идеальной магнитогидродинамической среды допускают разрывные течения. Для выяснения условий, которые должны выполняться на поверхности разрыва, рассмотрим какой-либо злсмент втой поверхности и воспользуемся системой координат, движущейся вместе с ним1). Прежде всего на поверхности разрыва должен быть непрерывен поток вещества: количество газа, входящего с одной стороны, должно быть равно количеству газа, выходящему с другой стороны поверхности.
Это значит, что Р1Н1п = Р2Н2п, где индексы 1 и 2 относятся к двум сторонам разрыва, а индекс п означает нормальную к поверхности составляющую вектора. Ниже мы будем обозначать разность значений какой-либо величины с обеих сторон поверхности разрыва фигурными скобками. Таким образом, (ро 1 = О. Далее, должен быть непрерывен поток знергии. Воспользовавпзись выражением (бос.11), получим (д„~ = (ро„( — "+ ш) + — ~ипН вЂ” Н„(рН))~ = О. Должен быть непрерывен также и поток импульса. Это условие означает, что (Пзьпьу = О, где Пьь - тензор плотности потока импульса, а в — единичный вектор нормали к поверхности.
С помощью 165.8) получим отсюда уравнения (Р + рн2 + — (Н~~ — Н~) ~ = О, (---- 1 риптс — — Н НГ) = О, 4х где индексом 1 отмечены тангенциальные к поверхности состав- ляющие векторов. ) Этим условием система координат фиксируется лишь в отношении своей скорости в направлении, нормальном к поверхности. К касательной же ее скорости может еще быть добавлен произвольный постоянный вектор. 351 тАнГенциАльные и НРАНГАтельные РАЕРыны Наконец, непрерывны нормальная составляющая магнитного поля и тангенциальная составляющая электрического поля.
При бесконечной проводимости среды индукционное электрическое поле Е = — [уН) /с. Поэтому условие (Е~) = 0 дает (Н„Рà — Нмп„) = О. Ниже нам будет часто удобнее пользоваться вместо плотности газа его удельным объемом Ъ' = 1/р. Плотность же потока массы через разрыв обозначим через у: .1 = рпе = —. (70.1) Учитывая непрерывность у и О„, остальные граничные условия можно написать в следующем виде: (Р) + Э'(1 ) + — '(Н2) = О, у(чД = — "(НГ), (70А) (70.3) Н ( 'Г) = у(~'Н~). (70.5) Это и есть основная система уравнений, описывающих разрывы в магнитной гидродинамике.
й 71. Тангенциальные и вращательные разрывы В обычной гидродинамике возможны, как известно, разрывы двух различных типов ударныс волны и тангенциальные разрывы. Возникновение двух типов разрывов связано математически с тем, что некоторые из граничных условий оказывается возможным представить в виде равенства нулю произведения двух множителей: приравнивая нулю каждый из множителей в отдельности, мы получаем два независимых решения. В магнитной же гидродинамике уравнения (70.2) -(70.5) не имеют такого вида, и на этом основании можно было бы думать, что имеется всего один единый тип разрывов, охватывающий все возможные частные случаи. В действительности, однако, оказывается, что и здесь существуют различные типы разрывов, не являющиеся частными случаями один другого (Г.
НоЯ~тапп, Е. Те11ег, 1950). Рассмотрим прежде всего такие разрывы, в которых у = О. Это значит, что и пы = нз„= О, т. е. жиДкость ДвижетсЯ параллельно поверхности разрыва. Если при этом Н„ф О, то из уравнений (70.2) — (70.5) видно, что должны быть непрерывны 352 мАГнитнА« ГидгодинАмихА ГЛ. УП1 скорость, давление и магнитное поле. Произвольный же скачок может испытывать плотность (а также знтропия, температура и т. п.).
Такой разрыв, который можно назвать контактным, представляет собой просто границу раздела между двумя неподвижными средами с различными плотностями и температурами. Если же при у' = 0 также и Н« = О, то из четырех уравнений (70.2) (70.5) тождественно удовлетворяются сразу три; уже отсюда ясно, что зтот случай является особым. Таким образом, мы находим тип разрывов, которые можно назвать, как и в обычной гидродинамике, глангенци льныАГи. На таком разрыве скорость и магнитное поле касательны к его поверхности и испытывают произвольные по величине и направлению скачки: у = О, Н„= О, (чГ) ф О, (Нс) ф 0 (711) Произволен также скачок плотности, а скачок давления связав со скачком Н1 уравнением (70.3); (71.2) Скачки жс других тсрмодинамических величин (энтропии, температуры и т.
д.) определяются по скачкам Ъ' и Р с помощью уравнения состояния газа. Другим типом разрывов являются разрывы, .в которых плотность газа не испытывает скачка. Ввиду непрерывности потока у = и«/1Г из отсутствия скачка плотности сразу следует, что будет непрерывной и нормальная составляющая скорости: У фО, (ЪГ) =О, (и„) =О. (71.3) Далее, .в правой части уравнения (70.5) выносим Ъ' за фигурные скобки и, разделив почленно уравнения (70.5) и (70.4) друг на друга, получаем у— (71.4) После зтого уравнение (70.4) или (70.5) дает (71.5) В уравнении (70.2) пишем 1л = е+РУ; учитывая непрерывность Ъ", заменив Н„согласно (71.4) и произведя перегруппировку членов, перепишем его в виде 353 ТАНГКНЦИАЛЬНЫВ И ВРАП1АТБЛЪНЫЕ РАЗРЪ|ВЫ Второй член здесь обращается в нуль в силу равенства (70.3), а третий - в силу (71.5), так что остается 1е1=0, т.
е. наряду с плотностью непрерывна также и внутренняя энергия. Но всякая другая термодинамическая величина однозначно определяется заданием двух величин —. е и И. Поэтому непрерывны и все остальные термодинамические величины, в том числе давление. Из уравнения же (70.3) следует тогда, что непрерывен также квадрат Н,, т. о. абсолютная величина вектора Нп 2 (Р) = 0, (Н,) = 0.
(71.6) ч11 — Н11~1 — = Н21 — Н211(— 1/ 4л ~/ 4л В этой новой системе координат с обеих сторон разрыва отно- шения всех трех составляющих ч к соответствующим компонен- там Н одинаковы: ч1=Н1 —, ч2=Н2 ~/ .' (71.8) Другими словами, скорость поворачивается вместе с магнитным полем, оставаясь неизменной по величине и но углу, образуемому ею с нормалью.
СкОрОСть Н„, вЗятая С Обратным ЗнакОм, ЕСть в тО жЕ врсмя скорость распространения разрыва относительно жидкости. 12 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том 1~Н1 ОднОврЕмЕнная нЕпрЕрывнОСть НГ и Н„ОЗначаЕт, чтО ОСтаЮтСя неизменными также полная абсолютная величина вектора Н и угол, образуемый им с нормалью к поверхности. Формулы (71.3)-(71.6) определяют все свойства рассматриваемых разрывов. На них непрерывны термодинамические величины газа, а магнитное поле поворачивается вокруг направления нормали, оставаясь неизменным по своей абсолютной величине.
Вместе с вектором Н1 испытывает скачок касательная составляющая скорости (согласно (71.5)), а нормальная составляющая СкОрОСти Н„= ур нЕпрЕрывна и равна .=Н. — '= " . (71.7) '1' 4т Разрывы этого типа называют вращательными или лъвеновс коми. Заметим, что путем соответствующего выбора системы координат всегда можно добиться, чтобы с обеих сторон поверхности вращательного разрыва скорость газа была параллельна полю. Для этого достаточно перейти к новой системе координат (см. примеч.
на с. 350), движущейся относительно исходной со скоростью, равной МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА ГЛ. ЧН1 Она совпадает с фазовой скоростью (иА) альвеновских волн. Тот факт, что зто совпадение имеет место для любого вращательного разрыва, до известной степени случаен, но при малых скачках величин на разрыве такое совпадение обязательно.
Действительно, такой разрыв представляет собой слабое возмущение, в котором скорость ч и магнитное поле Н получают малые приращения, перпендикулярные к плоскости, проходящей через Н и нормаль к поверхности п. Это возмущение относится как раз к тому типу, который обладает фазовой скоростью НА. Физической скоростью распространения поверхности фронта малого возмущения является проекция групповой скорости на нормаль к ней, т.
е. на волновой вектор 1Г. Но ввиду линейности связи н1 с 1Г имеем — 1Г = Н1, д11 и потому указанная проекция совпадает с фазовой скоростью Н1/Й = НА. Хотя тангенциальные и вращательные разрывы представляют собой различные типы разрывов, но существуют разрывы, которые обладают одновременно свойствами тех и других. Таковы разрывы, на которых ч и Н тангенцивльны и лишь поворачиваются, не меняясь по абсолютной величине. Как известно, в обычной гидродинамике тангенциальные разрывы всегда неустойчивы по отношению к бесконечно малым возмущениям, что приводит к их быстрому размыванию в турбулентные области.
Магнитное же поле оказывает стабилизирующее влияние на движение проводящей жидкости, и тангенциальные разрывы в ней могут оказаться устойчивыми. Это обстоятельство является естественным следствием того, что поперечные (по отношению к полю) смещения жидкости при возмущении связаны с растяжением «вмороженных» магнитных силовых линий и тем самым приводят к возникновению сил, стремящихся восстановить невозмущенное движение. Выясг1им условия устойчивости для тангенциального разрыва в несжимаемой жидкости (С.И.
Сыроватский., 1953). Пишем ч =ч; з + ч', Р = Р~ з + Р', Н = Н~ з + Н', где Ч1 з, Р1 з, Н1 з — постоянные (с каждой из сторон разрыва) нсвозмущенные значения величин, а ч1, Р', Н' — их малые возмущения. Подставив в уравнения (66.7)-(66.9), получим для идеальной жидкости: Йчц' = О, Йчч' = О, (71.9) д ' — = (П'7)Ч' — (Ч'Ч)ц', (71.10) д1 355 ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ И ЕРАЩАТЕЛЬНЫЕ РАЗРЪ|ВЫ а' —" + (ч'Г) ч' = — — т7Р— [и гос и'1 = зс Р = — — Ч (Р'+ рпп') + (и'17)п'; (71.11) Р для краткости здесь и виже опускаем индексы 1, 2 и вводим обозначение и = Н||~Дхр. Применив к уравнению (71.11) операцию с11ч и учитывая (71.9), получим |л(Р'+ рпп') = О. (71.12) Пусть х = О есть плоскость разрыва, :векторы ч и и параллельны ей. В каждом из полупространств х > О и х < О ищем все величины ч'| и' р в виде, пропорциональном ехр (г(1сг — ыс) + + Рсх1, где 1с двумерный вектор в плоскости ую Из уравнения (71.12) найдем, что к" = Ас~, так что надо положить Ас = е на стороне х < О и Ас = — к на стороне х > О.
Далее, из х-компонент уравнений (71.10), (71.11) исключаем и,' и находим Р' + рип' = — и', |Р [(ы — 1сч) — (1сп)~1 (71.13) |с(1сн) (случай, когда выражение в квадратных скобках обращается в нуль, нас не интересует, так как при этом ш вещественно, а неустойчивость может быть связана лишь с комплексными значениями ш). Пусть с„(х, у, е) есть смещение вдоль оси х поверхности разрыва при возмущении.
На смещенной поверхности должны выполняться условия (71.1), (71.2): (Р+ Р'+ р(п+ и')~) = (Р'+ рпп') = О, и|„+ и~|„- и~с — (и| ||7)|', = О, из„+ из„- из — (пз'ч')с„= О (условие отсутствия потока жидкости через поверхность разрыва выполняется при этом автоматически). Положив |, = сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
