VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Что касается магнитного поля, возникающего при равномерном вращении благодаря гиромагнитному эффекту (8 36), то оно является малой величиной, не учитываемой нами здесь. Отметим также, что при выводе мы отвлекались от деформации тела, возникающей при неравномерном вращении. Очевидно, что учет этой деформации нс отразился бы на эффекте если характерное время изменения угловой скорости велико по сравнению со временем релаксации электронов проводимости при деформации (что и предполагается). Действительно, электрический ток в проводнике вызывается градиентом суммы гр + ~Е/е, где гр -.
потенциал поля, а г",Е -. химический потенциал электронов проводимости (см. 8 26). Неоднородная деформация создает градиент г„о, но он компенсируется электрическим полем, возникающим в силу условия термодинамического равновесия есо + г',о = сопз$. Задачи 1. Определить магнитный момент неравномерно вращающегося шара (радиуса а). Скорость вращения предполагается настолько малой., что глубина проникновения 5 » а. Р е ш е н и е. Магнитный момент, приобретаемый шаром в поле УЭ(1) (64.8), есть й'= У'Эй, где Π— оператор, действие которого на компоненты Фурье функции З1(1) определяется формулами, полученными в задаче 1 5 59.
Для компонент с частотами аг такими, что 5 )) а, имеем й' = Ъ'о(гу)Я = — гы г1. 4кта~п 15се Эта формула, переписанная в виде 4ггтаеа дй 15се 41 328 кеАзнстАциОнАРнОе злектРОмАГнитнОе ИОле Гл. Рп не содержит в явном виде аб а потому справедлива и для не разложенных по Фурье функций Й(г), и (1) (предполагаем, что в их разложение входят в основном лишь частоты, удовлетворяющие поставленному условию). 2.
Определить полный заряд, который протечет по тонкому круговому кольцу при остановке его равномерного вращения вокруг оси, перпендикулярной к его плоскости. Р е ш е н и е. В формуле, полученной в задаче 3 3 63, надо понимать под Ф поток поля Уз (64.8). Полный заряд, протекающий при изменении угловой скорости от й до О, есть .78Ь = — ПЕЬ = — П 2тс г тпр' еВс 2хе (Ь вЂ” радиус кольца, г' — объем провода).
3. Определить ток, возникающий в сверхпроводящем круговом кольце при остановке его равномерного вращения. Р е ш е н и е. Из условия постоянства полного магнитного потока через кольцо (см. (54.5)) найдем 2гпс г тс ЬП е2 2е(1п (8Ь/а) — 2) (значение А см. примеч. на с. 273). ГЛАВА УП1 МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА й 65. Уравнения движения жидкости в магнитном поле Если проводящая жидкая (или газообразная) среда находится в магнитном поле, то при ее гидродинамических движениях в ней индуцируются электрические поля и возникни>т электрические токи. Но на токи в магнитном поле действуют силы, которые могут существенно повлиять на движение жидкости. С другой стороны, эти токи меняют и само магнитное поле.
Таким образом, возникает сложная картина взаимодействия магнитных и гидродинамических явлений, которая должна рассматриваться на основе совместной системы уравнений поля и уравнений движения жидкости. В область применений магнитной гидродинамики входят очень разнообразные физические объекты от жидких металлов до космической плазмы. Мы не будем обсуждать специфические условия, существующие в различных конкретных объектах.
Укажем лишь, что для буквальной применимости магнитной гидродинамики необходимо, разумеется, чтобы для рассматриваемого движения характерные расстояния и промежутки времени были велики по сравнению соответственно с длиной пробега и временем пробега носителей тока (электронов, ионов). В некоторых случаях, однако, уравнениями, совпадающими формально с уравнениями магнитной гидродинамики идеальной жидкости, может описываться и движение среды с большой длиной пробега.
Такая ситуация имеет, например, место в неравновесной плазме с температурой электронов, много большей температуры ионов (ср. Х, ~ 38). Магнитная проницаемость сред, о которых фактически идет речь в магнитной гидродинамике, мало отличается от единицы, и это отличие не имеет значения для изучаемых здесь явлений. Поэтому везде в этой главе мы будем полагать д = 1 '). Составим, прежде всего, систему магнитогидродинамических уравнений в условиях, когда можно пренебречь всеми диссипа- ю ) В литературе по магнитной гидродинамике магнитное поле в этих условиях часто обозначают как В, подчеркивая тем самым, что речь идет именно об усредненной микроскопической напряженности й = В. Мьп однако, будем пользоваться здесь обозначением Н для единообразия с другими главами втой книги, где рассматриваются немагнитные среды. ззо мАГнитнАН ГидРОдинАмикА ГЛ.
Ч1П тинными процессами -- для идеальной жидкости. Это значит, что нс учитываются как процессы вязкости и теплопроводности, так и конечность электрической проводимости среды и; последняя рассматривается как сколь угодно большая. Положив в уравнениях (63.7) и — э оо, .пишем Гидродинамические уравнения содержат уравнение непрерывности — + Г11чрч = О ар (65.3) д~ — + (ч~7)ч = — -~7Р+ —, а« Р Р где à — объемная плотность сторонних, в данном случае элек- тромагнитных, сил. Согласно (35.4) имеем 1' = — [1Н[ = — [гоФН Н[. с 4к Таким образом, уравнение движения жидкости принимает вид (65.4) К этим уравнениям надо еще присоединить уравнение состояния Р = Р(р, т)., (65.5) связывающее между собой давление, плотность и температуру жидкости, и уравнение сохранения энтропии, выражающее адиа- батичность движения в отсутствие диссипапии: — = — +чав = О, Н'А д» а аг (65.6) а — = — + ч~7 Ж д8 обозначает «субстанциональную» производную, определяющую изменение величины при перемещении вместе с движущейся частицей жидкости.
Уравнения (65.1) — (65.6) и составляют полную систему магнитогидродинамических уравнений идеальной жидкости. с11чН = О, — = го~ [чН[. дН д1 (р -- плотность жидкости) и уравнение Эйлера — + ~(чг7)ч = — — Ч7Р— [Н гоФ Н]. аГ р 4яр где я энтропия единицы массы жидкости, а (65.1) (65.2) 1 65 тгзвнкния движвния жидкости в магнитном полк ЗЗ1 Как известно, уравнение Эйлера может быть приведено (с использованием также и уравнения непрерывности) к виду, выражающему закон сохранения импульса: дре; дП,ь (65.7) д1 дяь ' где П;ь тензор плотности потока импульса 1см.
Ч1, 8 7). В отсутствие сторонних сил Пгй = Рн~пь+ Рдгь Преобразовав последний член в уравнении 165.4) с помощью равенства ~Б 1Н) = ЫН2 — (Нту)Н и учтя также, что с)1н Н = дНь/для = О, найдем, что в магнитной гидродинамике П;ь = Рпг вь + Рб1ь — — 1 Н1Нь — -Н б,ь) . 1 2 (65.8) Как и должно быть, к тензору Пгй добавляется максвелловский тензор напряжений.
Закон сохранения энергии в обычной гидродинамике выражается уравнением ( +р) 6 Ч, Ч д( +ю), где е и гп = е+ Р)р "- внутренняя энергия и тепловая функция единицы массы жидкости; оно автоматически следует из уравнений движения 8 6 т. У1. При наличии в проводящей среде магнитного поля к плотности энергии добавляется магнитная энергия Н2/18х), а к плотности потока энергии —. вектор Пойнтинга Я = = с[ЕН)/(4п). В последнем надо при этом выразить Е через Н согласно формуле Е = — — ~иН), (65.9) получающейся из (63.2) при о — з оо 1и конечном 1) 1).
Таким образом, сохранение энергии в магнитной гидродинамике выражается уравнением 1'65.10) ') Это выражение отвечает равному нулю полю Е' 163.1) в системе отсчета, движущейся вместе с данным элементом объема жидкости: в идеально проводящей среде происходит полная зкранировка электрического поля. 332 МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИХА ГЛ. У1П (65.12) где плотность потока энергии с1 = рч ("— + п1/ + — (Н [чНП.
(65.11) Легко проверить зто уравнение и прямым вычислением. В основе написанной системы магнитогидродинамических уравнений лежит пренебрежение током смещения в уравнениях Максвелла. Это значит, что предполагается — — «(го1Н~. 1 дК с И Выразив Е через Н согласно (65.9), получим отсюда условие — «1, (65.13) где 1 и т характерные для данного движения параметры длины и времени. Из (65.2) имеем оценку 1/т и и тогда из (65.13) находим условие и « с движение должно быть верелятивистским (что и предполагалось нами с самого начала). Из уравнения жс (65.4) имеем оценку ри/т Н2/1; в совокупности с (65.13) зто дает условие для величины магнитного поля: Н «рс. (65.14) Обратим внимание на то, что в левой части уравнения (65.10) нет электрической энергии .Е /(81Г), а в левой части уравнения (65.7) нет импульса электромагнитного поля В/с~.
Это автоматическое следствие пренебрежения током смещения. Малость электрической энергии по сравнению с магнитной соответствует неравенству Е НН/с « Н, а малость Н/с ЕН/с ИН~/с пО СравнЕниЮ С рп "- нЕравЕнСтву (65.14). Вернемся к уравнению (65.2); ему может быть дано важное наглядное истолкование (Н.
А1/неп, 1942). Раскроем Го1 в правой части уравнения, учтя при этом, что Г11Р Н = 01 — = (Н 17)ч — (чм)Н вЂ” Н Г1г«>Г. дН а~ Подставив сюда согласно уравнению непрерывности (65.3) 1дР Р Йтч = — — — — — ~7р, рд~ р получим после простой перегруппировки членов: ( — «Р) — — = — = ( — Г) . Н1.1И С другой стороны, рассмотрим какую-либо «жидкую линию>, т. е. линию, перемещающуюся вместе с составляющими 1 66 диссипАтивные НРОцессы В мАГнитнОЙ ГидРОдинАмике 333 ее частицами жидкости. Пусть д1 -- элемент длины этой линии; определим, как он меняется с течением времени.
Если ч есть скорость жидкости в точке на одном конце элемента б1, то ее скорость на другом конце есть АГ+ (б1'7)ч. Поэтому в течение времени ОА элемент О1 изменится на Ф(б1~7)ч, т. е. — б1 = (61А)ч. |Й Мы видим, что изменение векторов б1 и Н/р со временем определяется одним и тем же уравнением. Отсюда следует, что если в начальный момент эти векторы совпадают по направлению, то они останутся параллельными и в дальнейшем, а их длины будут меняться пропорционально друг другу. Другими словами, если две бесконечно близкие частицы жидкости находятся на одной и той же силовой линии, то они будут находиться на одной и той же силовой линии и в дальнейшем, а величина Н/р будет меняться пропорционально расстоянию между ними.
Переходя от бесконечно близких точек к точкам, находящимся на любом конечном расстоянии друг от друга, мы приходим к выводу, что каждая силовая линия перемещается вместе с находящимися на ней жидкими частицами. Можно сказать, что (при о — + со) магнитные силовые линии как бы вАГороокены в вещество жидкости, перемещаясь вместе с ним. Величина же Н(р меняется в каждой точке пропорционально растяжению соответствующей «жидкой линник Если движущуюся жидкость можно считать несжимаемой, то р = сонэк и тогда пропорционально растяжению силовых линий меняется сама напряженность Н. Эти результаты имеют и другой наглядный аспект. Из них следует, что при перемещении со временем какого-либо замкнутого жидкого контура он не будет пересекать силовых линий. Это значит (ср. 3 63), что поток магнитного поля через всякую поверхность, опирающуюся на жидкий контур, остается неизменным во времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
