VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Таким образом, отнесенная к 1 с диссипация энергии Я в контуре: а=-,'В СбУ*), где О и .У выражены в комплексном виде (ср. примеч. на с. 300). Подставив сюда Ю = Я,У и обозначив вещественную и мнимую части я соответственно как у и лл ): г= г'+гг", (61.7) получим О = -'г'~У~' или, с помощью вещественной функции,У(1): д=г'( )уэ, (61.8) чем и устанавливается искомая связь.
Отметим, что поскольку сУ существенно положительная величина, то и Я' всегда положительно: г' > 0. (61.9) Вычислим Я(со) для провода кругового сечения при произвольных (но, разумеется, удовлетворяющих условиям квазистационарности) частотах, т. е. не пренебрегая при этом скинзффектом. Для этого снова воспользуемся законом сохранения энергии, представив его в другом виде. Разобьем мощность О'.У (й' и У вЂ” вещественные выражения) на два члена, из которых один представляет теперь изменение энергии магнитного поля вне провода, а другой полную энергию, потребляемую внутри провода (как на изменение энергии поля в нем, так и на выделение тепла).
Вторую часть можно вычислить как полный поток энергии, втекающий в 1 с внутрь проводника через его поверхность. Таким образом, получим .УО' = — ' + 2гга1 = — ',У вЂ” + — сЕНа1, ~1 У„Уг сЕУУ 1, 2сг 4к сг щ где Уе - внешняя часть самоиндукции провода, Ж и Н напряженности электрического и магнитного поля на его поверхности, а — его радиус, 1 — длина. Поле Н связано с током У соотношением Н = 2У/са.
Поэтому, разделив написанное равенство на,У, ) Их называют иногда активным и реактивным сопротивлениями. 312 ГЛ. ЧП кнАзистАциОнАРнОе электРОИАГнитнОИ пОле получим 4 = — 'Ь,— "+Е1. сс сМ Это уравнение линейно, и потому можно перейти к комплексному представлению величин. Тогда откуда При произвольных частотах сюда надо подставить Е и Н из (60.2) и (60.4): ес ь Н ай,7с (ай) (61 11) сс 2,7, (ае) (1Г = 1/(хаза)). При слабом скин-эффекте пользуемся разложениями (60.5); произведя вычисления с точностью до членов порядка (а/б) и отделив вещественную часть, получим Г'=е(1-,- — '(-;)'~=е(1~ — '(-,*) ~. Е131С В обратном случае сильного скин-эффекта с помощью выраже- ний (60.7) получим (61.12) с~ ~ а ~ с2 ( а~2.гтрк~ Из (6111а) видно, что можно полагать л' = Л при (сгшса2/с2)2 « 12. В то же время г" й ( ') (Ь, взято из (34.1)). Сравнив с предыдущим неравенством, мы видим, что область частот, в которой следует пользоваться выражением (61.5), не пренебрегая в нем самоиндукцией, зависит от отношения 1/а и сравнительно узка.
На практике, однако, паиболес важен случай, когда основным носителем самоиндукции в цепи являются включенные в нее катушки, обладающие повышенной, по сравнению с растянутым проводом, самоиндукцией (см. 2 34). В таких контурах область частот, в которой должна применяться формула (61.5) (т. с, уравнение (61.4) с постоянными Н и Ь), достаточно и|прока.
кОмплекснОе ООпготивление УУ,У + — У вЂ” = —— ее ~П е ~й Если перенести член с самоиндукцией в правую часть равенства, то зто уравнение запишется в виде г (61.14) где Ф = Ф, + У,У/с полный магнитный поток, как от внешнего магнитного поля, так и от собственного поля тока. В таком виде это уравнение выражает собой закон Ома для цепи в целом, т. с. равенство между ЛУ и полной злектродвижущей силой в цепи. Формулировка уравнения (61.14), как выражающего собой закон Ома, позволяет обобщить его на случай, когда с течением времени меняется также и форма самого проводящего контура.
При этом функцией времени будет и самоиндукция Ь и вместо (61.14) надо писать В,У = — — — (У,У) —— 1 ~1 1НФ, ее ее е М (61.15) При выводе же из закона сохранения энергии необходимо бьшо бы учитывать еще работу, затрачиваемую на деформацию проводника. Если имеется несколько расположенных вблизи друг от друга контуров с токами .Уе, то для каждого из них роль Ф, в уравнении (61.14) играет сумма магнитных потоков от других контуров (и от внешнего постороннего поля, если таковое имеется). Магнитный поток, создаваемый током,УВ через контур тока,У, есть У В,УВ/с, где А е -- коэффициент взаимной индукции обоих контуров. Поэтому получаем следующую систему уравнений для 1эассмотрим контур, находящийся во внешнем переменном магнитном поле Н„которое может иметь любое происхождение.
Обозначим через Е, электрическое поле, которое индуцировалось бы переменным полем Н, в отсутствие проводников. Как Н„так и Е, очень слабо меняются на протяжении толщины тонкого провода (в противоположность собственному полю текущих по проводу токов). Поэтому можно рассматривать циркуляцию Е, по контуру тока, не уточняя, где именно внутри провода этот контур проведен. Эта циркуляция есть не что иное, как злектродвижущая сила Х, индуцируемая в контуре переменным внешним магнитным полем. Согласно интегральной форме уравнения Максвелла имеем О = ~ Ееп1 = д ~ Непа = — — ~ (61.13) где Ф, поток внешнего поля через рассматриваемый контур. Подставив зто выражение в уравнение (61.4), получим З14 кВАзнстАциОнАРнОе электРОмьгннтнОе пОле Гл.
Рп переменного тока в контурах: сл — ' с11 ь (61.16) г,ь,7 =г, ь (61.17) где величины (61.18) составляют матрицу мпеданса. Подобно (61 б) выражения (61.18) представляют собой первые члены разложения функций Я ь(ы) по степеням частоты. Отметим, что в этом приближении отсутствует взаимное влияние контуров на вещественную часть импеданса. Такое влияние осуществляется тем, что магнитное поле переменного тока в одном проводнике создает токи Фуко (а с ними и дополнительную диссипацию энергии) в другом проводнике. Для линейных проводников этот эффект ничтожен.
Он может, однако, стать заметным при наличии расположенных вблизи них массивных проводников. Наконец, остановимся на вопросе о том, каким образом связаны полученные в этом параграфе уравнения переменных токов в линейных контурах с общими уравнениями переменного магнитного поля в произвольных проводниках. Проследим за этой связью на простейшем примере тока, возникающего в контуре при выключении действовавшей в нем до момента времени 1 = = 0 постоянной электродвижущей силы 4~. Из уравнения (61.4) имеем '): при 1( О, (61.19) ,7 = — ехр 11 — 1) при 1) О.
йо / сзЛ '~ К '1 б) ) Строго говоря, зти формулы непригодны для очень малых значений 1, когда в спектральном разложении функции существенны компоненты с болыпими частотами и потому нельзя пользоваться ураннением (61.4). Но за этот малый промежуток времени ток л успевает измениться лишь весьма незначительно, и поэтому формула (61.19) достаточно точно определяет величину тока в дальнейшие моменты времени. В сумму по О включен также и член с самоиндукцией (6 = а), а Оо есть злектродвижущая сила, создаваемая в а-м контуре источниками, посторонними по отношению к рассматриваемой системе токов. Для периодических (монохроматических) токов система дифференциальных уравнений (61.16) сводится к системе алгебраических уравнений: ЕМКОСТЬ В ЦЕПИ КНАЗИСТАЦИОНАРНОГО ТОКА Мы видим, что после выключения электродвижущей силы ток затухает со временем по экспоненциальному закону с декрементом (61.20) С точки зрения точной формулировки задачи зта у является наименыпей из величин у, получающихся в результате решения точного уравнения (58.10) для данного проводника.
Среди значений у для линейного проводника есть одно (наименьшее из всех), которое по порядку величины в 1п фа) раз меньше остальных; это и есть значение (61.20). й 62. Емкость в цепи квазистационарного тока В отличие от постоянного тока переменный ток может течь не только в замкнутой, но и в разомкнутой цепи. Рассмотрим линейный контур, концы которого присоединены к обкладкам конденсатора, находящимся на малом расстоянии друг от дру- га.
При распространении по контуру переменного тока обклад- ки конденсатора будут периодически заряжаться и разряжаться, тем самым играя роль «источников» и естоков» тока в разомкну- той цепи. Ввиду малости расстояния между обкладками конденсатора магнитную энергию тока можно по-прежнему положить равной Ы2/(2с2), где Т -- самоиндукция замкнутого контура, который получился бы из данного путем соединения обкладок коротким отрезком провода ). После этого единственное изменение в урав- нении (61.4) будет состоять в добавлении к падению напряжения на сопротивлении, ттп', разности потенциалов на обкладках кон- денсатора: е/С, где С емкость конденсатора, а ~е(1) заряды на его обкладках.
Таким образом, Й = ЛП'+ — '+ — —. С с»Ж Но сила тока 1 равна убыли заряда одной или приращению за- ряда другой обкладки: 1 = — "'. Ж Выразив в уравнении и через е, получим (62.1) Это и есть искомоо уравнение для переменного тока в цепи с емкостью. ') Б этом параграфе скин-аффектом пренебрегаем, 316 КВАЗНСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГННТНОЕ ПОЛЕ Гл. Тп 7р ) Вассе Оаь — 22) „ГА ° ( —,'- 1,)* $822 = ( — — — ) —, 162.3) чем определяется сила тока в цепи с приложенной извне элсктродвижущей силой о' = оосовааг.
Если жс о' = О, то ток в цепи представляет собой свободные электрические колебания. Частота 1комплексная) этих колебаний определяется условием Я = О, откуда 162.4) В зависимости от знака подкоренного выражения мы будем иметь затухающие (с декрементом Гьс2/2б) колебания или же чисто апериодически затухающий разряд. В предельном случае Л вЂ” + О имеем незатухающие колебания с частотой, выражающейся формулой Томсона: 162.5) ( ИГ.
ТЬотеоп, 1853). Уравнение (62.1) непосредственно обобщается на систему нескольких индуктивно связанных контуров с конденсаторами. Ток оа в и-м контуре связан с зарядами ~еа на обкладках соответствующего конденсатора: Не, оа Ж а вместо 162.1) имеем систему уравнений 12 Ь са Ж2 ~й С 162.6) Для периодических (монохроматических) токов эти уравнения сводятся к алгебраической системе ~ь г.ьуь = г., ь 162.7) Если о' -- периодическая функция времени с частотой ы, то уравнение 162.1) сводится к алгебраическому соотношению между о и зарядом е, или, что то же, между о' и током,7 = — и ~е.
Именно, имеем 7Я = о', где импеданс Я определяется согласно Я= — 2( — — — ). 162.2) Отделив в соотношении .7 = й'/Я вещественную часть, получим 317 ЕМКОСТЬ В ЦЕПИ КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ТОКА причем элементы матрицы Я Ь даются формулами таь баь (~а + С 1 г7аь. ыС,г сг (62.8) Собственные частоты системы токов даются условием совместности уравнений (62.7) при и', = О, т. е. условием равенства нулю определителя: беь~г.„~ = О. (62.9) .У = ~ йаЬеаеЬ вЂ” ~ — + ~ еаза 2сг ,ь а а (62.10) Роль кинетической и потенциальной энергии механической системы играют в ней соответственно магнитная и электрическая энергии системы токов, а величины е" соответствуют приложенным извне силам, возбуждающим вынужденные колебания системы. Величины же Ла входят в диссипативную функцию — ~аеа' а (62.
11) Уравнения (62.6) совпадают с уравнениями Лагранжа Ь д.2 д2 ды (62. 12) сьЬ де, де, де„ Задачи 1. Определить собственные частоты злектрических колебаний в двух ивдуктивво сяязаивых контурах, содержащих самоивдукции бг и 7 г и емкости Сг и Сг; сопротивлевиями гьг и Вг пренебрегаем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
