VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 59
Текст из файла (страница 59)
При 1А = 1 можно написать ) Н1 = Нз. (58.8) (гоСН)н (гоСН)м (58.9) ) Для обычных диа- и парамагнитных тел д очень близко к 1 и учет д в следующих ниже формулах был бы не имеющим смысла превышением точности. Заметно отличные от 1 значения д могут существовать у ферромагнитных металлов, магнитные свойства которых (в достаточно слабых полях) можно описывать с помощью большой постоянной проницаемости. У этих веществ, однако, уже сравнительно рано наступает дисперсия д (появление зависимости ее от частоты ы), сопровождающаяся уменьшением д практически до И Имея в виду зти обстоятельства, ниже в этой главе мы полагаем д = П В силу уравнения (58А) имеем с)(у1 = О; граничное условие к последнему уравнению: уп = О на поверхности проводника. В электрически изотропном проводнике отсюда следует (в силу 1 = (О = ОЕ), что на границе и Еп' = О, где индекс (г) отличает поле внутри проводника (в общем же случае анизотропного проводника нормальная компонента поля в нем на границе, вообще говоря, отлична от нуля).
Граничное условие (58.8) недостаточно для полной формулировки задачи, если проводник представляет собой составное тело, состоящее из участков с различными проводимостями. На границах раздела этих участков наряду с непрерывностью Н необходимо учесть также и условие непрерывности ЕИ для магнитного поля это условие означает, что КНАЗИОТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. ЧП Предположим, что проводник помещен в магнитное поле, источники которого в некоторый момент времени выключаются. Поле в проводнике (и вокруг него) не исчезнет при этом мгновенно, а ход его затухания со временем определяется уравнением (58.6).
Для решения такого рода задач надо, следуя общим методам математической физики, поступить следующим образом. Ищем решения уравнения (58.6), имеющие вид Н = Н (х,у,е)е с постоянными у . Для функций Н (х,у, е) получим уравнения г )Н =-уН. (58.10) 4хо При заданной форме проводника эти уравнения имеют отличные от нуля решения (удовлетворяющие необходимым граничным условиям) лишь при определенных у, составляющих набор его собственных значений. Все эти значения вещественны и положительны ), а соответствующие им функции Н (х,у,е) составляют полную систему взаимно ортогональных векторных функций. Пусть распределение поля в начальный момент времени дастся функцией Нс(х, у, е).
Разлагая ее по системе функций Н Не(х,у,х) = ~г с Н (х,у,е), мы получим решение поставленной задачи о затухании поля в ви е т 4гго.1 /с . (58.12) ) В этом легко убедиться следующим образом. Для того чтобы избежать необходимости учитывать граничные условия на поверхности тела, исходим из уравнения (58.5), в котором можно представить ссбс, что о обращается в нуль вне тела непрерывным образом. Умножив уравнение 4гг гос Н„, — — т Н = — гог сг и с обеих сторон на Н" и проинтегрировав по всему пространству, получим — т,„) )Н (~ НЪ' = / Н" гог Нг' = / — )гоСН )~ Лг, сг / о у о откуда вещественность н положительность т очевидны.
д Н(х,у,е,1) = ~сне " ~Нн,(х,уГК). (58.11) Скорость затухания поля определяется в основном тем членом этой суммы, который соответствует наименьшему из у пусть это будет уг. Время затухания поля можно определить как т = 1/~ь Порядок величины этого времени очевиден из самого уравнения (58.10). Поскольку ГАН Н/1з (где 1 размеры проводника), то 297 ГЛУВИНА ПРОНИКНОВЕНИЯ МАГНИТНОГО б!ОЛЯ й 59. Глубина проникновения магнитного поля в проводник Рассмотрим проводник, помещенный во внешнее переменное магнитное поле с заданной частотой и(.
Магнитное поле, проникая внутрь проводника, индуцирует в нем переменное электрическое поле, а последнее в свою очередь вызывает появление токов (так называемые токи Фуко). Общее представление о характере проникновения поля в проводник можно получить, уже исходя из указанной выше аналогии между уравнением 158.6) и уравнением теплопроводности.
Из теории теплопроводности известно, что величина, удовлетворяющая такому уравнению, за интервал времени 1 распространяется в пространстве на расстояние порядка х((~7. Поэтому мы сразу можем прийти к заключению, что магнитное поле проникает в глубь проводника на расстояние б порядка величины То же самое относится, конечно, и к индуцируемым им электрическому полю и токам. В переменном поле с частотой Вб зависимость всех величин от времени дается множителем е 'и!. Уравнение (58.6) принимает при этом вид 159.1) Рассмотрим два предельных случая.
Если глубина проникновения с велика по сравнению с размерами тела (малые частоты), то в первом приближении можно заменить правую часть уравнения (59.1) нулем. Тогда распределение магнитного поля в каждый момент времени будет таким, каким оно было бы в стационарном случае при заданном значении внешнего поля вдали от тела. Обозначим это решение как Н,; оно не зависит от частоты (точнее, содержит ее лишь во временном множителе е ™). Индуцированное же электрическое поле появляется лишь в следующем приближении по ы, так как в стационарном случае оно вообще отсутствовало бы.
Этому соответствует тот факт, что, вычисляя Е по Н„согласно уравнению 158.4), мы получили бы нуль, так как ГО1 Й„= О. Поэтому для вычисления Е надо обратиться к уравнению 158.1), согласно которому ГО1 Е = !'"— Н„. 159.2) с Это уравнение вместе с уравнением Г11уЕ = 0 (следующим из (58.4) при постоянной вдоль тела (Г) полностью определяет распределение электрического поля. Отметим, что оно оказывается пропорциональным частоте ы. 298 КВАЗИОТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ.
ЧП вЂ” +Й~Н = О, дх' где 4япы . ТГ2япы ~. 1/ сз с Решение этого уравнения, обращающееся в нуль вдали от поверхности (е -+ ОО),пропорционально е' '. Учитывая также граничное условие при е = О, получим Н = Наехр ( — Я ехр ~г' (~~ — ы~)1, (59.3) ) В металлах фактически именно зто условие нарушается (при увеличении частоты) первым. Условие же ы « 1/т, где т время свободного пробега, может оказаться более сильным для полупроводников с небольшой проводимостью, Обратигися к обратному предельному случаю 5 «1 (большие частоты). Условие локальности уравнений поля, о котором упоминалось в 2 58, требует, чтобы б было все же велико по сравнению с длиной свободного пробега электронов проводимости ').
При о « 1 магнитное поле проникает лишь в тонкий поверхностный слой проводника. Для вычисления поля вне проводника можно пренебречь толщиной этого слоя, т. е. считать, что внутрь тела магнитное поле вообще не проникает. В этом смысле проводник в высокочастотном магнитном поле ведет себя так же, как сверхпроводвик в постоянном поле, и для вычисления поля вне его надо регпить соответствующую стационарную задачу для сверхпроводника той же формы. Исследование истинного распределения поля в поверхностном слое проводника можно произвести в общем виде, рассматривая небольшие участки поверхности как плоские. Речь идет тогда о решении уравнения (59.1) для проводящей среды, ограниченной плоской поверхностью, ввс которой поле имеет заданное значение, которое обозначим как Нее ™. Этот вектор получается указанным выше образом в результате решения внешней задачи и параллелен поверхности проводника. В силу граничного условия (58.8) магнитное поле в проводнике у его поверхности равно тому же Нее ™ Выберем поверхность проводника в качестве плоскости ху, причем проводящая среда заполняет полупространство я ) О.
Ввиду однородности условий задачи по направлениям т и у искомое поле Н зависит только от координаты е (и времени). Поэтому имеем йч Н = дН,)де = О, и так как на границе Н, = О, то и везде Н, = О. Согласно (59.1) имеем для Н уравнение 299 1 59 ГЛУБИНА ПРОНИКНОВЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ где глубина проникновения 5 определяется как 5= ', )с= — '. (59.4) Г2тпы ' 6 Электрическое же поле определится тессерь с помощью уравнения (58.4). Введя единичный вектор п в направлении оси Б, получим Е = — (1 — с)(Нп). (59.5) Отметим, что Е (б/Л)Н. Если поле Нее сьл линейно поляризовано, то надлежащим выбором начала отсчета времени можно добиться вещественности Не. Выберем тогда направление этого вектора в качестве направления оси у.
Отделив в (59.4) и (59.5) вещественную часть, получим Ну = Н = Нее '7 сов (-' — осС), )С 4кп (4 4/ (59.6) Вместе с электрическим полем по такому же закону будет распределена плотность токов Фуко 1 = оЕ. Соотношение (59.5) в рассмотренном случае справедливо для поля во всем полупространстве Б ) О. В более общих случаях соотношение вида Ес = с,(Нсп] (59.7) справедливо, вообще говоря, лишь на самой поверхности проводника для тангенциальных к ней составляющих полей (поскольку эти составляющие непрерывны на поверхности, то соотношение (59.7) относится к полю по обе стороны поверхности).
Коэффициент с, называют поверхностным имнедансом проводника (к более общим аспектам этого понятия мы вернемея в 9 87) '). В данном случае (1 — с). (59.8) Возникновение токов Фуко сопровождается диссипацией энергии поля, выделяющейся в виде джоулсва тепла. Средняя К =4 л[Н п)л (о9.7а) (а, Сэ — тензорныс индексы и плоскости, перпендикулярной п). Отметим, что на этот тензор могут оказывать влияние тепловые потоки, возникающие в силу термоэлектрического эффекта (см, задачу 4), ') Б электрически анизотропных средах поверхностный импеданс янлястся двумерным тензором; кнАзистАциОнАРнОе электРОмагнитнОН пОле Гл. Рп ние Я = — — ~Не~', причем изменение Не вдоль поверхности определяется указанным выше образом решением задачи о поле вне сверхпроводника той же формы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
