VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Тензоры р,ь = в,„' и нм симметричны; будем считать, что симметрия кристалла такова, чт™о и тензор сьь симметричен. При сделанном выборе (которое справедливо как вне, так и внутри шара) было бы Н = сопэг/т. Но зта функция не удовлетворяет условию конечности в центре шара.
Наименьшему значению у соответствует одно из решений, определяющихся заданием произвольного постоянного вектора. Вид этих решений совпадает, очевидно, с найденным в задаче 1, с той лишь разницей, что в поле НОО надо опустить постоянный член, так как на бесконечности должно быть Н = О. При этом к есть теперь вещественная величина (йг = 4коу/с ), а вектор Н играет роль произвольного постоянного вектора. Из граничного условия Н01 = Най при т = а получаем два уравнения, исключая из которых О и д, найдем Гйп ка = О.
Наименьший отличный от нуля корень этого уравнения есть ка = к, так что наименьшее значение т есть Зоб кВАзнотАциОнАРнОе злектРОмАгннтнОе!2оле Гл. чн осей е, у, 2 имеем р = р1 21п д+ рт сов д, 2 г р 2 — рв — О, р„г — — рг, р„= р1 савв д -~-рз вш д, р, = (р1 — р! ) в1пдсовд, где р1, рт — главные значения тензора р,в вдоль оси кристалла и в пер- пендикулярной к ней плоскости; аналогичные формулы имеют место для тензоров н22, оы.
С зтими тензорами имеем из (2б.12) Ев = Р„д, + ав,т, О, = ТО!,1А — АГ,2т, Е, = р„,у, + а,„т . (3) (4) Исключив Нв из уравнений (1) — (3), получим Е -~- Ь~(Е -> Ег) = О, (1-~-а)Ет -~- Й ((Ь вЂ” а)Ет — аЕ ) = О, где введено обозначение Ет = †а ,т'и параметры 2 4кя! Тов с Ср а= с р, р„2г„4х22„ 2 Решение втой системы двух уравнений для полупространства (2 ) О), занятого металлом: Е = .4е ~22 + Ве!22 Е = — ( — — ',) *"'* — ( — — ',) ™", где !ь+ !! — Б~:,~.ь~ц* Ь2,2 = Ь Н 2(1+ а) Е, м А+В Приведем окончательные выражения импеданса в предположении а « 1 (как зто фактически имеет место для обычных металлов) в двух случаях: при граничном условии т = О (изотермическая граница): 1 э ) 2(1+ у'Ь)2] при граничном условии с = О (адиабатическая граница): а + (1 + 2ъ' Ь) 2(1+ ъ%)2 причем мнимые части Ь! и Ьв должны быть положительными. Связь между козффициентами А и В устанавливается из граничных условий для температуры., а формула (4) определяет поле Е, в металле (напомним, что непрерывность нормальной компоненты поля Е на поверхности проводника не требуется).
Для поверхностного импеданса имеем, согласно определению (59.7а) ! 307 скигьзтевкт причем Сс = (ыр„ю/8х)' (1 — 1) — импеданс без учета термоэлектрического пз эффекта. Параметр а, а с ним и поправка в импедансе обращаются в нуль при В = х/2 и 0 = О, т. е. когда главная ось кристалла лежит в плоскости его поверхности или перпендикулярна к ноя. Если поле Н направлено по оси х, то Е, = О, У, = 1', = О и градиент температуры не возникает. Поэтому ч„э = чо.
8 60. Скин-аффект Рассмотрим распределение плотности тока по сечению проводника, в котором течет отличный от нуля полный переменный ток. На основании полученных в предыдущем параграфе результатов мы заранее можем ожидать, что при увеличении частоты ток будет в основном концентрироваться вблизи поверхности проводника.
Зто явление называют скин-аффектом ). 11 Точное решение задачи о скин-эффекте зависит, вообще говоря, не только от формы проводника, но и от способа возбуждения в нем тока, т. е. от характера внешнего переменного магнитного поля, индуцирующего ток. Есть, однако, важный случай, когда распределение тока можно считать не зависящим от способа его возбуждения. Зто ток в тонком проводе, толщина которого мала по сравнению с его длиной.
При вычислении распределения тока по сечению тонкого провода последний можно считать прямолинейным. При этом электрическое поле параллельно оси провода, а магнитный вектор Н лежит в плоскости, перпендикулярной к оси. Рассмотрим провод кругового сечения. Зтот случай особенно прост в связи с тем, что вид поля вне провода заранее ясен. Действительно, в силу симметрии на поверхности провода Е = = соп81 (в каждый данный момент времени). Но при таком граничном условии уравнения с((ч Е = О, го1 Е = О в пространстве вне провода имеют решением лишь Е = сопн1 во всем пространстве.
По аналогичным причинам и магнитное поле вокруг провода будет таким же, каким оно было бы вокруг провода с постоянным током, равным данному мгновенному значению переменного тока. Внутри провода электрическое поле удовлетворяет уравнению 4хп дЕ сз я совпадающему с уравнением (58.6) для Н (оно получается путем исключения Н из уравнений (58.1) и (58.4) так же, как уравнение ') В более общем смысле о скнн-эффекте говорят во всех ситуациях, когда переменное электромагнитное поле (а с ним и нызываемые им токи) проникает лишь на относительно неболыпую глубину в проводник, 308 КНАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. РП (58.6) было получено путем исключения Е).
В цилиндрической системе координат с осью е вдоль оси провода поле Е имеет лишь е-компоненту и зависит только от координаты Г; для периодического поля с частотой ы получаем уравнение — — (г — ') + Й~.Е = О, 1Г = — = —, (60.1) Гдг ', дгl 6 6 где 5 есть введенная в предыдущем параграфе глубина проникновения (59.4). Решение этого уравнения, остающееся конечным при т = О, есть Е = Е, = сопз1 ,Уе(йг)е ' ' (60.2) (60.4) (,Уе функция Бесселя).
По такому же закону распределена плотность тока 1 = о.Е. Магнитное же поле Нт — — Н находим по Электрическому согласно уравнению (58.1); — Н, = (ГО1Е)„=— (60.3) с дт Имея в виду, что,Уе(и) = —,У1 (и), получим Н = Н, = — 1 сонями,У1(йг)е с той же сонями, что и в (60.2). Эту постоянную легко определить из условия, что на поверхности провода должно быть Н = 2Х/са, где а — его радиус, а 1 — полный ток, протекающий по проводу.
В предельном случае малых частот (и/б « 1) на всем протяжении сечения провода можно ограничиться первыми членами разложения функции Бесселя: '=-- ~ --.в'-и;-)'1-- (60.5) "=-- ". ~ --в'--л'!-- Амплитуда Е, а с нею и амплитуда плотности тока, возрастает при удалении от оси пропорционально 11 + (гу'25)4). В обратном предельном случае больших частот (а/5» 1) на большей части сечения провода можно воспользоваться известной асимптотической формулой ,Уе(иу 21) — еО (60.6) А/и применимой при больших значениях аргумента функции Бесселя. Сохраняя лишь наиболее быстро меняющийся экспоненци- 309 кОмплекснОе сОпРОтивление альный множитель, получим Я, = сопе1.ехр [ — о г +г (о "— ы1)~, (60.7) 2кп Г а — г .
Iа — г Н„= сопе$ (1+1)~( — ехр ~ — — + г ~ — — ы1)~ . ы ~ 6 д Эти формулы, естественно, совпадают с формулами (59.3)— (59.5), которые при сильном скин-эффекте применимы вблизи поверхности проводника любой формы. В общем случае провода с некруговым сечением точный расчет скин-эффекта представляет значительно более сложную задачу, так как требует одновременного определения поля как внутри, так и снаружи провода. Лишь в предельном случае сильного скин-эффекта задача снова упрощается, поскольку поле вве провода может быть заранее определено как статическое поле вокруг сверхпроводника той же формы.
9 61. Комплексное сопротивление До тех пор,пока частота переменного тока достаточно мала, мгновенное значение силы тока э'(ь) в линейном контуре определяется значением электродвижущей силы О (ь) в тот же момент вромени, согласно О'(ь) = Вп Гг), где В сопротивление провода постоянному току. Но при произвольных частотах нет никаких оснований ожидать существования прямой связи между значениями О' и,у в один и тот же момент времени.
Можно лишь утверждать, что значение Г(ь) должно зависеть линейным образом от значений 4 (г) во все предыдущие моменты времени. Запишем символически эту связь в виде Г = 2 'й' или, для обратной связи, (61.2) где 2 .-- некоторый линейный оператор ). Если функции л (г) и 4'(г) разложены в интегралы Фурье, то для каждой из их моно- хроматических компонент (зависящих от времени посредством множителя е ™) результат действия оператора 2 сводится, в силу линейности последнего, к умножению на некоторую вели- ') Мы не останавливаемся здесь на обсуждении общих свойств этого оператора, так как они вполне аналогичны свойствам оператора ЕЗ которые будут подробно изложены в Э 77, 82.
ГЛ. ЧП КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ чину Я, зависящую от значения частоты: г=г( )х (61.3) Функция Я(со), вообще говоря, комплексна. Она называется комплексным сопротивлением или импедансом проводника. Из сравнения (61.3) с (61.1) ясно, что обычное сопротивление Л представляет собой нулевой член разложения функции Я(ю) по степеням ю.
Для определения следующего члена надо учесть наряду с Л также и самоиндукцию Ь проводника ). Рассмотрим линейный контур, в котором действует переменная электродвижущая сила 4 (ь). По определению последней работа, производимая в 1 с электрическим полем над движущимися в проводе зарядами, дается произведением 4'1. Эта работа частично переходит в джоулево тепло, а частично затрачивается на изменение энергии магнитного поля тока. По определению Л и Ь джоулево тепло, выделяющееся в проводе в 1 с, есть Л1в, а магнитная энергия тока есть 1,72~2св. Поэтому закон сохранения энергии выражается уравнением Й'о' = Ло ~ + — — = Л,1~ + — Ы— (9 2ся ся ~и или 4' = Л,У+ — Т вЂ”. (61.4) Оперируя с квадратичными выражениями (Й1, о~), надо писать величины 4' и Ь в виде вещественных функций.
Но после того как получено линейное уравнение (61.4), можно перейти к монохроматическим компонентам в комплексном представлении: 4' = йое "", о = 1ое ""'. Тогда уравнение (61.4) сводится к алгебраическому соотношению г=ю, г=Л вЂ” — ',ыТ,. (61.5) Отделив в соотношении .7 = 8/Я вещественную часть, получим ЛС = , '..
. ° ( ~ — ж). 'Г е = , , (о й чем определяется амплитуда тока и сдвиг фаз между током и электродвижущей силой. Вещественная часть выражения (61.5) совпадает с сопротивлением Л, определяющим диссипацию энергии в контуре. Легко видеть, что и в общем случае произвольной зависимости Я(со) ) Здесь и ниже мы понимаем под тс и Ь величины, относящиеся к постоянному току.
кОмплекснОк сопнотнвлкние имеется аналогичная связь между ВеЯ и диссипацией энергии (при заданной силе тока). Усреднив по времени мощность Ю,У,потребляемую в контуре при протекании в нем периодического тока,мы найдем ту ее часть, которая систематически затрачивается на покрытие диссипативных потерь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
