VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Р е ш с в и е. Искомые частоты определяются из условия бес [г.ь ~ = г„г„- г,'г = О, где Iы . /ы гы Яп = — г( — бг — ), Игг = — г( — 7г — ), 2гг = — — 7гг ( сг ыСг ) ' (сг ЮСг) сг Вычисление дает г бгСг -Ь бгСг т [(бгСг — бгСг) -Ь 4СгСгбгг~ ы,г — с 2сгсг(Ь й — бгг ) Если сопротивления Л отличны от нуля, то все «частотыв имеют мнимую часть, т. е, электрические колебания затухают. Обратим внимание на то, что уравнения (62.6) формально совпадают с механическими уравнениями движения системы с несколькими степенями свободы, совершающей затухающие малые колебания. При этом роль обобщенных координат играют заряды еа, роль обобщенных скоростей —. токи,7„= еа.
Функция Лагранжа системы есть 318 КВАЗИОТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. ЧП Обе частоты вещественны, что является следствием пренебрежения Вг и Вг. При Ьгг — э О частоты ггг и гэг стремятся к значениям с/г/ТгСг и с/э/ТгСг, соответствующим раздельным колебаниям в каждом из контуров. 2. То же для цепи из параллельно соединенных сопротивления 77, емкости С и самоиндукции г . Р е ш е н и е.
Импедансгя трех ветвей цепи равны г г,= —, МС гяв Яэ = — — б, сг а токи в них связаны соотношениями У,+У,+У,=О, гУ,=гУ,=юг. Отсюда находим уравнение 1 1 1 — + — + — =О, г, г, г, решение которого дает г с 1 2ДС бС 4ДгСг ' ./ы 1 '1 ./ы 1 Яг = -г ~ — бг — — ), Яг = -г ( — /г —— ~,сг МСг) ' (,сг МСг) ' как это показано на рис. 37.
Найти область частот колебаний, которые могут распространяться вдоль цепи без затухания '). Р е ш е н и е. Токи г определим как контурные токи в каждой из ячеек цепи (рис. 37). Уравнение Кирхгофа для О-го контура гласит: Ягг + Яг(2г — г г — г эг) = О. Это есть линейное разностное уравнение (по целочисленной переменной О) с постоянными коэффициентами. Ищем его решение в виде г = сопэС д и для параметра д получаем ха- рактеристическое уравнение д — ~2+ — ) 4+1 = О. (1) г лг г,) Рис. 37 Пусть — 4 < Яг/Яг < О, чему соответстнуют значения ьг~, лежащие между меныпей и большей из величин сг(4/Сг + 1/Сг ) 4бг -~ бг ') Условие применимости квазистационарной теории к такой периодической цепи заключается в малости размеров отдельной ее ячейки по сравнению с «длиной волны» с/гг, 3.
Рассмотреть распространение электрических колебаний по цепи, составленной из бесконечной последовательности одинаковых ячеек, содержащих импедансы 319 ДВИЖЕНИЕ ПРОВОДНИКА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Тогда уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня с модулями ~й~ = 1. Это значит, что при переходе от одной ячейки цепи к следующей амплитуда тока не убывает, т. е, электрические колебания распространя- ются по цепи без затухания. Если обозначить в ятом случае о = е' (1— ы длина одной ячейки цепи), то й играет роль »волнового вектора» распро- страняющихся вдоль цепи колебаний. Скорость же распространения можно вычислить по общим правилам как производную и = »1»»/дй.
Если же ы лежит вне указю~ных пределов, то уравнение (1) имеет два вещественных корня с1 и ом поскольку п1п» = 1, то один из них (пусть о») по абсолютной величине меньше, а другой (ц») болыпе 1. Легко видеть, что зто означает невозможность незатухюощего распространения колебаний вдоль цепи. Для уяснения причины етого рассмотрим цепь большой, но конечной длины.
Начальный колебательный импульс вносится в начале цепи, а на конце цепь тем или иным способом замкнута, Математически замкнутость конца цепи описывается определенным граничным условием, с помощью ко- торого в общем решении — (А — 1 — (А — 1 » = с1о, + с»о» (А — «координата» конца цепи) определяется отношение козффициентон с» /сю которое при написанной форме решения будет порядка 1. Но тогда по меРе УвеличсниЯ А — О втоРой член (в котоРом ~йз ~ ( 1) быстРо станет очень малым по сравнению с первым. Таким образом, почти по всей длине цепи, за исключением лип|в малого ее участка вблизи конца, решение имеет вид — (А — 1 »„= с»п, в котором ~1 ~ убывает по направлению от начала цепи к ее концу.
Следует подчеркнуть, что зто затухание не имеет характера дисснпативного поглощения 1для которого нет причин ввиду отсугствия сопротивлений в цепи); оно может быть наглядно описано как результат отражений колебательного импульса от каждой последующей ячейки цепи. й 63. Движение проводника в магнитном поле Вовсем предыдущем изложении молчаливо подразумевалось, что проводники в электромагнитном поле покоятся (относительно системы отсчета К, в которой определены все величины Е, Н и т.
д.). В частности, и связь 1 = пЕ между током и полем справедлива, вообще говоря, лишь для неподвижных проводников. Для определения связи между током и полем в движущемся проводнике перейдем от системы отсчета Л к другой системе, .К', в которой проводник (или его отдельный участок) в данный момент времени покоится. В этой системе имеем 1 = ГГЕ', где Е' -- напряженность электрического поля в К'. Но согласно известной формуле преобразования полей Е' выражается через поле в системе Л через ) Е' = Е + — [ИВ1, (бЗ.1) ') См. 11, З 24. Микроскопические значения напряженностей электрического и магнитного полей заменены их усредненными значениями е = Е, Ь = В, 320 гл.
чп кнАзнстАциОнАРнОе злектРОмАгнитнОе НОле где т —. скорость системы Л' относительно системы Х, т. е. в данном случае скорость проводника [которую мы предполагаем, естественно, малой по сравнению со скоростью света). Таким образом, находим 1 = О. (Е + — [ЕВ1) .
[63. 2) Это и есть формула, определяющая связь между током и полем в движущихся проводниках. По поводу ее вывода надо сделать еще следующее замечание. Произведя переход от одной системы отсчета к другой, мы преобразовали поле, но оставили величину 1 неизменной. Преобразование плотности тока привело бы, при и « с, к появлению добавочных членов высшего порядка малости. В формуле же [63.2) второй член, появившийся в результате преобразования поля, вообще говоря, не мал по сравнению с первым, хотя и содержит множитель п/с.
Так, если электрическое поле само обусловлено электромагнитной индукцией от переменного магнитного поля, то его порядок величины содержит лишний множитель 1/с по сравнению с магнитным полем. Диссипация энергии в проводнике при протекании в нем заданного тока не может, разумеется., зависеть от движения проводника. Поэтому плотность выделения [в 1 с) джоулева тепла в движущемся проводнике, выраженная через плотность тока, дается той же формулой у /гг, как и в неподвижном проводнике. Но вместо произведения 3Е теперь имеем 1) ~— =3 (Е+ -[тВ)) .
Таким образом, в движущемся проводнике сумма Е+ [ЕВ[/с играет роль «эффективной» напряженности электрического поля, создающей ток проводимости. Поэтому элсктродвижущая сила, действующая в замкнутой линейной цепи С, дается интегралом с=у [е;--'[ я]) а. багз.з1 с Преобразуем его следующим образом. Согласно уравнению Мак- ) Из атой формулы видно, что дополннтельнос тепло, ныделяющесся (н те- ченне времени бс) я проводнике прн его движении я магнитном поле, есть б1 — [ 1[РВ) ог' = — — / бп[1В) Лг, 1 . 1 с с где бп = чбс — смещение за время бк Эта нелнчнна равна н противоположна по знаку работе, произведенной за то же время над пронодннком объемны- мн силами Г = [1В)/с; тем самым разъясняется кажущееся противоречие, упомянутое на с. 193.
321 движение пРОВОдникА В мАГнитнОм пОле 1ОВ снелла го1 Е = — — — имеем с дс ф Е Г11 = ~ ГОС Е с11' = — — — ~ В с11', с Я Я или, обозначив через Ф магнитный поток через поверхность Я, опирающуюся на контур тока, ф Е Н1 ии — — ( — ) с Производная по времени с индексом у = 0 означает изменение магнитного потока, обусловленное изменением во времени самого магнитного поля при неизменном положении контура С.
Во втором же члене пишем ч = йю/Ж, где Г1п -. бесконечно малое смещение элемента контура. Тогда /' ~д в),й )'враг ат сй с с где Ж = [дп . д1) -- элемент площади «боковойи поверхности между двумя бесконечно близкими положениями С и С' контура тока, занимаемыми им в моменты времени 1 и 1+ Ж (рис. 38).
Поскольку полный магнитный поток через всякую замкнутую поверхность равен нулю, то ясно, что поток через боковую но- с верхность равен разности потоков через поверхности, опирающиеся на С и С . Таким с' образом, ф 1НВ~ д1 = — ( — ) с Рис. 38 где производная по времени означает изменение магнитного потока, связанное с перемещением проводника при неизменном поле. Складывая оба члена, получим окончательно 4' = — — —, (63.4) где производная по времени означает теперь полное изменение магнитного потока через движущийся контур. Таким образом, выражаемый формулой (63.4) закон Фарадея справедлив независимо по какой причине происходит изменение магнитного потока — или от изменения самого поля (о чем уже шла речь в 3 61, формула (61.13)) или от движения проводника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
