VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 67
Текст из файла (страница 67)
е. обычное пуазейлево течение. Если же С» 1, то и = 00 ~1 — ехр ( — ) ~ Р = Увеличение магнитного поля делает профиль скоростей более плоским на болыпей части сечения и уменыпает среднюю скорость движения (при заданном градиенте давления); основное падение скорости происходит в пристеночных слоях с толщиной б. (67.7) Далее, х-компоненты уравнений (66.8), (66.9) дают (67.1) г1 с й г1Н, АР г) — + — * = сопв1 =—— 4 г Граничные условия на твердых поверхностях требуют равенства нулю скорости вязкой жидкости, а также непрерывности тангенциальвой составляющей напряженности магнитного поля; И=О, НИ=О при и=~а, где 2а — расстояние между твердыми плоскостями, а плоскость я = О расположена посередине между ними.
Удовлетворяющее зтим условиям решение уравнений (67.1), (67.2) есть сЬ (аггб) — сЬ (г/Б) б с )Гч сЬ (аггб) — 1 й ~' гг (67.3) 4гг; — (г/а) ЯЬ (аггб) — НЬ (гггб) ~а — 00 Чг ГГГ) с сЬ (аггб) — 1 Постоянная гго есть скорость жидкости в средней плоскости я = О. Ее связь с градиентом давления можно получить, подставив (67.3) в (67.2). Средняя (по сечению) скорость жидкости 339 РАВНОВЕСНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ Движение жидкости приводит к появлении электрического поля в направлении оси у.
В силу стационарности движения гойЕ = О, откуда Еу — — сопз1. В жидкости текут токи с плот- ностью уу = о (Еу — -Я) . Но полный ток через сечение жидкости должен быть равен нулю; действительно, поскольку в то же время уу — — (с/4х)(го1 Н)у, то Поэтому имеем а ~ уу де = 2аггŠ— — У1 ~ п де = О, с откуда (67.8) Е, =-Я. с 3 68. Равновесные конфигурации Равновесие идеально проводящей жидкости (будсм говорить здесь для определенности о плазме), покоящейся в постоянном магнитном поле, описывается уравнениями ~Р = -'ЦН), (68Л) с гойН, (68.2) 4и ЖУН = О. (68.3) Первое из них уравнение (65.4), в котором положено у = О и введена, для наглядности, плотность электрического тока, связанная с магнитным полем уравнением Максвелла (68.2). Мы рассмотрим в этом параграфе некоторые общие свойства равновесных конфигураций, являющиеся следствием этих уравнений, совершенно не вдаваясь в сложные и многообразные вопросы об их устойчивости ). Умножив уравнение (68.1) скалярно на Н или на 3, найдем, что (Н~7)Р = О, (3Ч)Р = О, (68.4) ) Основные результаты, относящиеся к этому вопросу (в рамках магнитной гидродинамики), можно найти в статье Б.В.
Кадамцева «Гидромагнитная устойчивость плазмы» в сб. «Вопросы теории плазмым В. 2. — Мл 19бЗ. 846 мАГнитнАя ГидгодинАмикА ГЛ. Ч!П т. е. равны нулю производные давления вдоль магнитных сило- вых линий и вдоль линий тока. Другими словами, те и другие лежат на поверхностях Р(х,у, г) = сопв1: (68.5) — '" = О, Пьь = Рбгь — — (Н,НА — -Н~б;ь)~, (68.6) дхь 4х Ч 2 если исходить из уравнения движения, записанного в виде уравнения сохранения импульса (65.7), (65.8).
Умножив зто уравнение на хы проинтегрируем его по некоторому обьему, ограниченному замкнутой поверхностью. Преобразовав интеграл по частям и заметив, что дхь/дхг = бгы получим ) ~ Пн Г1$' = ~ Пвйхь ф;. (68. 7) После подстановки выражения Пгй из (68.6) зто равенство при- нимает вид ) (ЗР+ — )зг=у((Р+ — ) — ~ П )Ж и8.8) (8. СЬапг)гаге)сваг, Е. Регги', 1953).
Пусть плазма занимает некоторый конечный обьем, вне которого давление Р = О, и пусть вне ее нет никаких заданных источников поля (жестких проводников с током). Тогда вдали от плазмы поле убывает как 1/ГЗ, и если распространить интегрирование по всему пространству, то интеграл по поверхности обращается в нуль. Но интеграл от заведомо положительной величины ЗР+ Нз ((8х) не может обратиться в нуль.
Отсюда следует невозможность существования ограниченной в пространстве равновесной конфигурации, не поддерживаемой магнитным полем от анен|них источников; при наличии же таких источников правая часть равенства (68.8) сведется к интегралу по их поверхности и условие может, в принципе, быть удовлетворено (В.Д. 1Пафранов, 1957).
') Давление Р определяется уравнениями (68.1), (68.2) лишь с точностью до произвольной адаптивной постояннов. Позтому любая из магнитных поверхностей может быть поверхностью Р = О. ~) Этот вывод подобен известному выводу теоремы вириала — см. 11, З 34. их называют магнитными поверхнос ямы.
В принципе, каждая магнитная поверхность могла бы быть границей равновесной кОнфигурации 1). Уравнение равновесия (68.1), (68.2) можно представить также и в виде 341 РАВНОВЕСНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ Г)1у Н = — — (тН„) = О, Н„= ' "', тйт т она обращалась бы в бесконечность при т -+ О. Тоже самое относится к у, в силу уравнения с)1у2 = О, автоматически следующего из (68.2).
Равенство (68.2), написанное в компонентах, дает с4Н, . с 4 — — — 22 = — — (тН, ). 4х 4т 4хт й. Из второй формулы имеем 22(т) и= 3(т) = ~ у, 2хтг1т. (68.9) е После зтого уравнения (68.1) принимает вид ЦР 1 ~У2(т) 1 4Н2 (68.10) 4т 2ксзтз йт 8х йт Здесь возможны два существенно различных частных случая. В одном из них (его называют е-пинчелг) Н, = О, у = О.
Умножив уравнение (68.10) на т2 и проинтегрировав его по т от 0 до радиуса шнура а (с граничным условием Р(а) = 0), получим условие равновесия в виде а ~ Р(т) . 22гтг1т = 2с2 а где,У(а) — полный ток вдоль шнура ()4Г. ВеппеИ, 1934).
Удержание равновесной конфигурации осуществляется в атом случае полем продольного тока. В другом случае (тэта-пинч )): Нр — — О, ух = О. Из (68.10) имеем в этом случае Р+ —" = —, (68.12) где у) продольное магнитное поле вне шнура. Удержание плазмы осуществляется здесь внешним продольным полем. (68.11) ) От английского слова 4о р1псЬ вЂ” сжимать. м ) Название происходит от угла в цилиндрических координатах, часто обозначаемого буквой й, Рассмотрим простейшую неограниченную конфигурацию-- нсограничевно длинный цилиндрический плазменный шнур (или пинч )), однородный вдоль своей длины; в цилиндрической системе координат т, у, г с осью г вдоль оси шнура все величины в нем зависят только от радиальной координаты т.
Радиальная компонента Н, должна быть равна нулю; в противном случае в силу уравнения 342 МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА ГЛ. Ч1П В произвольной ограниченной в пространстве аксиальносимметричной конфигурации радиальные компоненты Н, и 1, могут быть отличны от нуля (в тороидальной конфигурации). Кроме того, все величины могут теперь зависеть не только от т, но и от ж Уравнения (68.1)-(68.3), записанные в компонентах, принимают вид с —; 1Н,— 1 Н =с —, 2Н =2'Н., (6813) дт' ' ' дс' у, = — — (ГНр), 2~, — — — ( —" — — '), (68,14) с а . ган„ан,1 4лтдт 4л (, дс дт ) 1а ан, — — (тН„) + — ' = О. тдт дс с дН, 3» = 4л дс 1 а1Р Нт— 2лт дг 1 а~ 2Г 2лт дл 1 аэ1 2лт дт 1 д.1 2лт дт (68.17) Эти выражения показывают, что градиенты у1 и д ортогональны соответственно магнитной силовой линии и линии тока.
Вспомнив сказанное в начале параграфа о поверхностях (68.5)1 заключаем отсюда, что величины у1 и д постоянны на магнитных поверхностях, а тем самым каждые две из величин 111, д, Р могут быть выражены в функции только от третьей. В частности, Р = Р®., д = д(Ф). (68.18) Очевидное (уже из векторной записи (68.1)) следствие этих уравнений; если плотность тока распределена пзимдтально (~„= 1, =О, 1 ~0), то магнитное поле меридионально (Нт — — 0). Если же магнитное поле азимутально, то можно сделать и более сильное утверждение: плотность тока нс только мсридиональна, но и вся равновесная конфигурация может быть только я-пинчем (ут = О, Нт и у, не зависят от в); в этом легко убедиться, исключив Р из первых двух уравнений (68.13) и воспользовавьпись затем остальными уравнениями.
Систему уравнений (68.13)-.(68.15) можно свести всего к одному уравнению (В.Д. Шафранов, 1957; Н. Стад, 1958). Для этого введем величины т 1)1(т,я) = ~ Н, 2лтдт, Л(т,в) = ~ у, 2лтдт (68.16) О о магнитный поток и полный ток через круг радиуса т, перпендикулярный к оси и. Из этих определений и уравнений Г11ч Н = 0 и Г11ч 1 = 0 находим меридиональные компоненты поля и плотности тока: 343 РАВНОВЕСНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ Азимутальные компоненты поля и тока выражаются через Г11 и 1 с помощью уравнений (68.14) 27 . с (дУ' 1дф+дИ) (6819) ст 8л'т 1, дт' т дт дс~ l Наконец, подставив полученные выражения в первое из уравнений (68.13), найдем искомос уравнение д~4~ 1 д4 д~4~ 8 2ЙР 8л 31~ — — — — + — = — 16л г — — — —.
дт' т дт дс~ с~ (68.20) Задаваясь конкретной (произвольно выбранной) зависимостью Р(ф) и у'(ф) и решив зто уравнение, получим некоторую, в принципе возможную равновесную конфигурацию; распределение поля и токов в ней определяется формулами (68 17) и (68.19), а магнитные поверхности даются равенствами ф(г, е) = сопе1. Для иллюстрации приведем выражение — = — (6Л + т )е + (т — В ), (68.21) ~с 2 8 являющееся решением уравнения (68.20) при Г1Р(сЬР = сопв$ и Г112/Г1ф = сопв1; ГРС, а, 6, Рс постоянные, причем 16л — = — пт)е, — — = — ОРГ т)ш 8ЕР 8л АУ дФ ' с2 суй Это решение описывает тороидальную конфигурацию, состоящую из вложенных друг в друга тороидальных магнитных поверхностей тР = соп81; любая из них может быть принята за границу плазмы, Р = О. Самая внутренняя поверхность вырождается в линию в окружность т = 1т', е = 0 (зту линию называют магнитной осью).
Вблизи магнитной оси — — — 1с (6+ 1)е + — 1с (а — 1)(т — 1с) . 4~а 2 2 Так, если 6+1 >О, а) 1, то сечения магнитных поверхностей вблизи оси зллипсы. При удалении от оси ф возрастает, а давление падает. Снаружи от поверхности с Р = 0 (граница плазмы) необходимое для поддержания равновесия магнитное поле определяется уравнением (68.20) без правой части, с граничными условиями непрерывности функции Г11 и ее нормальной производной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
