VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 68
Текст из файла (страница 68)
мАГнитнАЯ ГидгодинАмикА ГЛ. Ч1П й 69. Магнитогидродинамические волны Рассмотрим распространение малых возмущений в однородной проводящей среде, находящейся в однородном постоянном магнитном поле Нс. При этом будем рассматривать жидкость как идеальную, т.
е. пренебрежем всеми процессами диссипации в ней ). Исходим из системы магнитогидродинамических уравнений (65.1) [65.4). Уравнение же адиабатичности [65.6) означает лишь, что если невозмущенная среда однородна, то и в возмущенной среде будет з = сопн11 т. е. движение изэнтропично. Полагаем Р=Рс+Р', Н=Н +Ь, Р=ро+Р, где индексом О отмечены постоянные равновесные значения величин, а Ь, р', Р' их малые изменения в волне. Малой того же порядка является и скорость и, равная нулю в равновесии.
Ввиду изэнтропичности движения изменения плотности и давления связаны друг с другом равенством 2 Р = "ср где и~~ — — [дР11др), квадрат обычной скорости звука в данной среде. Пренебрегая в уравнениях (65.1) — [65.4) малыми величинами порядка выше первого, получим следующую систему линейных уравнений: с)1н Ь = О, — = гоС[ЧЬ1, Р + р с)1н и = О, д11 др' дс ' дс ' 69 — ч = — "— енр' — — [Н го~ Ь[. дс р 4пр Здесь и ниже для краткости обозначений индекс О у равновесных значений величин опускается. Ищем решение этих уравнений в виде плоской волны соей"г "с).
Тогда система [69.1) сводится к системе алгебраических уравнений — а1Ь = [1с[ЧН1, о1р' = р1сн, [69. 2) — а1н + — р 1с — — [Н [1сЬ1) р 4кр [равенство жс 1сЬ = О, следующее из с)1ЧЬ = О, выполняется автоматически и может отдельно не рассматриваться). ') Условие допустимости такого пренебрежения состоит в малости коэффициента затухания волн, который вычислен в задаче к этому параграфу. 345 МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИБ ВОЛНЫ иЬ, = -о,Н„ио, = — * Ь„ 4кр и. иЬР— — о, Но — оцН„иод — — — ' Ью 4кр (69.3) (69.4) (и — — ')о,= "Ь„. Мы разбили здесь уравнения на две группы, из которых первая содержит только переменные Ь„о„а вторая только Ью о„ ою Отсюда следует, что возмущения зтих двух групп переменных распространяются независимо друг от друга.
Что касается возмущений плотности (а с нею и давления), то они распространяются вместе с возмущениями Ью о, ою будучи связаны с о соотношением (69.5) Условие совместности двух уравнений (69.3) дает и= * =ил )и.( Рг4кр (69.6) (ниже будем считать, что Н, > О и опускать знак модуля). В этих волнах испытывает колебания компонента Ь, магнитного поля, перпендикулярная к направлению распространения волны и направлению постоянного поля Н.
Вместе с Ь, колеблется скорость ого связанная с Ь, посредством (69.7) Связь между аг и к (закон дисперсии), даваемая формулой (69.6), существенно зависит от направления волнового вектора ы= Нк. 1 ог4кр (69.8) Физической же скоростью распространения волн является групповая скорость производная дго,г'дк.
В данном случае она равна (69.9) дВ Ог4кр Первое из уравнений (69.2) показывает, что вектор Ь перпендикулярен к волновому вектору, направление которого выберем в качестве оси х. Плоскость же, проходящую через й и Н, выберем в качестве плоскости ху. Кроме того, введем фазовую скорость волны и = го,г'Ь. Исключив р' из третьего уравнения с помощью второго и переписав уравнения в компонентах, получим следующую систему: мАГнитнАН ГидРОдинАмикА ГЛ.
Ч!П и не зависит от направления 1Г; направление распространения волны, понимаемое как направление ее групповой скорости, совпадает с направлением поля Н. Зги волны называют альвеновск ми (Н. А1)иеп, 1942), а скорость (69.6) — альвеновской скоростью. Обратимся к волнам, описываемым уравнениями (69.4); их называют магнитозвуковыми. Составив определитель уравнений (69.4) и приравняв его нулю, получим квадратное по и2 уравнение, корни которого; 2 р 11/21 и㠄— — — ~ +ив ~ ~~ +ио) — — ив~ ) . (69.10) 2 ~ 4ЯР л-.
) Таким образом, мы получаем еще два типа волн; волны, отвечающие знакам + и — в формуле (69.10), называют соответственно быстрой и медленной магнитозвуковыми. В предельном случае, когда Н «4ргрио, имеем ив ио, а из 2 2 уравнений (69.4) следует, что иг « и, Другими словами, быстрые магнитозвуковыс волны в пределе переходят в обычные звуковые волны, распространяющиеся со скоростью ис. Слабое поперечное магнитное поле в волне связано с и соотношением Ч,Нр йр -- —. ьр В том же предельном случае скорость медленной магнитозвуковой волны совпадает с альвеновской скоростью иА. При этом ар Н,=О, ир--— ЧГ4ЯР как и в волне первого типа, но только с другой поляризацией: векторы ч и Ь лежат в плоскости, проходящей через 1Г и Н, а не перпендикулярно к ней.
В несжимаемой жидкости (чему формально соответствует предельный переход ио — » оо) остается всего один тип волн альвеновскис с двумя независимыми направлениями поляризации. Закон дисперсии для этих волн дается формулой (69.8), а векторы ч и Ь перпендикулярны к волновому вектору и связаны соотношением (69.11) Тот факт, что при наличии продольного магнитного поля поперечные смещения жидкости распространяются в ней в виде волн, может быть наглядно истолкован. Ввиду лвмороженности» силовых линий, поперечное смещение частиц жидкости приводит к их искривлению и тем самым к растяжению и, в некоторых местах, сгущению. Но характер действующих в магнитном поле сил 347 мАГнитОГидРОдинАмичвскиа ВОлны (выражаемых максвелловским тензором напряжений) таков, как если бы магнитные силовые линии стремились сокращаться и в то же время отталкиваться друг от друга ).
Поэтому при их искривлении появляются квазиупругие силы, стремящиеся вновь выпрямить их, что и приводит к возникновению колебаний. Обратимся снова к формулам (69.4) и (69.10) и рассмотрим обратный предельный случай, когда Н» 42гриа~. Для ио имЕем тогда в первом приближении Н ио = Поскольку зто выражение не зависит от )с, то групповая скорость совпадает по величине с ий и направлена вдоль )с. Воктор т в этой волне перпендикулярен к Н (рис. 40) и его абсолютная величина связана с Ь = ~ЬР~ соотношением Ь о= Для и„имеем в этом случае Н, ь и и =ио —. Н' ъ„ При этом групповая скорость дь2 Н вЂ” = иа —.
Рис. 40 д1г Н Вектор и в этой волне антипараллелен Н, а по величине связан с Ь соотношением Н2 Н=Ь 4ярнеН„' При произвольном соотношении между Н и риа как ий, так и 2 2 и зависят от направления волнового вектора. При увеличении угла между )с и Н, ио монотонно возрастает, а и„монотонно убывает. Легко видеть, что всегда имеют место неравенства и„< иА < ио, ий > ио, и < ио (6912) Если )с '8 Н, то ий и и равны соответственно болыпсй и меныпей из величин иа и ий = Н(~/4чр. Если же )с ) Н, то имеем 2 Н ий = иа + 4яр (69.13) ) Действительно, пусть силовая линия совпадает с осью 2. Тогда продо22ьное напряжение П, (65.8) содержит отрицательный член — Н ((8я), а поперечные П„, П„„— положительный член Н 7(8п), 348 мАГнитнАН ГидРОдинАмихА ГЛ.
Ч!П дч Н. аЬ д2 ЧГ4хр дх т. е. точные уравнения автоматически сводятся к линейным уравнениям, описывающим плоскую волну с фазовой скоростью (69.6), причем ч и 12 связаны соотношением (69.11); профиль волны, т. с. зависимость 12(х — иАЬ), произволен. Для х-компоненты уравнения (65.4) имеем — — + 12 — =О, р дх 4хр дх откуда 52 Р+ — = сопвФ, (69.14) 8х чем определяется ход изменения давления в волне. Другой случай .- простая волна, распространяющаяся перпендикулярно к магнитному полю (С.А.
Каплан, К.Н. Стаиюкович, 1954). Пусть поле направлено вдоль оси у; ось х по- прежнему в направлении распространения волны. Тогда Нх = О, Н„= Н и уравнение йч Н = О удовлетворяется автоматически. Уравнения же (65.2). (65.4) дают дН д(УРН) дЬ дх др+ д( *р) (69.16) дЬ дх дН2 (69.17) дЬ дх 8лр дх р дх Из первых двух уравнений следует, как легко убедиться, что отношение Н(р = Ь удовлетворяет уравнению — +н,— = О дЬ дЬ дГ дх (69.15) а иА и им обращаются в нуль, т. е. остаются лишь быстрые магнитозвуковые волны.
Наконец, рассмотрим два точных решения уравнений магнитной гидродинамики в виде плоской волны произвольной (не обязательно малой) амплитуды. Одно из них — плоская альвеновская волна в несжимаемой жидкости, распространяющаяся со скоростью иА, т. е. являющаяся функцией х и Ь только в комбинации х — иАЬ. Действительно, обратимся к точным уравнениям (65.1) — (65.4).
Уравнение непрерывности (65.3) в несжимаемой жидкости сводится к йчч = О, откУда их = сопвФ; без огРаничениЯ общности можно положить ьх = О, что своДитсЯ к вацнежаЩемУ выбоРУ системы отсчета. Из УРавнениЯ же йчН = О слеДУет, что Нх = сопвЬ. Обозначив поперечные компоненты Н через 12, получим из уравнений (65.2) и (65.4) — =Н,— ", д2 д2 ' 349 МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ или дЬ/Ж = О, где полная производная означает изменение величины при перемещении данного злсмента жидкости. Отсюда следует, что если в начальный момент отношение Ь было постоянно, то и в дальнейшем будет Ь = сопз1. Подставив Н = рЬ в третье уравнение, получим 62 — *+ н — ' = — — — ) Р+ — р~) . (69.18) д1 дт рдт г, 8к Таким образом, магнитное поле исключается из уравнений, и задача сводится к решению уравнений (69.16) и (69.18).
Но зти уравнения отличаются от уравнений одномерного движения в обычной гидродинамике лишь изменением уравнения состояния газа; вместо истинного уравнения Р = Р(р) (при заданной энтропии а) надо пользоваться уравнением 8к Это обстоятельство позволяет перенести на рассматриваемый случай магнитогидродинамического движения все результаты обычной гидродинамики. В частности, переносятся формулы точного решения для одномерных бегущих волн (риманово решение простые волны; см. Ъ'1, 8 101), причем роль скорости звука в них будет играть и = = не+ — р= по+ в соответствии с формулой (69.13).
Задача Определить коэффициент поглощения альвеновской волны (предполагая его малым) в несжимаемой жидкости. Р г ш е н и е. Козффициент поглопгения волны определяется как м 7 24 где Я среднее (по времени) значение знергии, диссипируемой в 1 с в 1 смз, а д средняя плотность потока энергии в волне; амплитуда волны убывает по мере ее распространения пропорционально е т*. диссипация гч дается правой частью уравнения (66.3); в несжимаемой жидкости для волны, распространяющейся вдоль оси т (соответственно чему п, = 0), имеем В плотности же потока знергии (66.5) малые диссипативные члены опускаем и имеем 1 4 = — — Н,, 1тч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
