VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 66
Текст из файла (страница 66)
3 66. Диссипативные процессы в магнитной гидродинамике В обычной гидродинамике диссипативные процессы определяются тремя величинами . двумя коэффициентами вязкости и коэффициентом теплопроводности. В магнитной гидродинамике это число значительно возрастает: как ввиду появления новых величин электрической природы, так и вследствие наличия в каждой точке выделенного направления — направления Н, чем нарушается изотропия жидкости. Мы ограничимся, однако, простейшим случаем, когда все кинетические коэффициенты можно считать постоянными вдоль среды, в частности не зависящими 334 мАГнитнАЯ ГидгодинАмикА ГЛ. Ч1Н от величины и направления магнитного поля.
Тогда к обычным коэффициентам вязкости г), 1', и теплопроводности Аг добавляется всего одна величина — электрическая проводимость 1Г ). 11 Предположение о независимости кинетических коэффициентов от магнитного поля подразумевает выполнение определенных условий, существенно сужающих область применимости уравнений по сравнению с уравнениями магнитной гидродинамики идеальной жидкости. Именно, длина пробега носителей тока должна быть мала по сравнению с радиусом кривизны их траектории в магнитном поле; другими словами, частота столкновений должна быть велика по сравнению с ларморовской частотой носителей тока.
Это условие нарушается в слишком разреженной среде или в слишком сильном магнитном поле ). При учете вязкости и электропроводности уравнение (65.2) заменяется полным уравнением (63.7), (66.1) — = гой [чн[+ — ЛН, д4 4ло а магнитогидродинамическое уравнение Эйлера (65.4) заменяет- ся уравнением Наине МСтокса — + (ч~)ч = — -ЧР+ чан+ — (~+ 21 ~7Жчч— де Р р р 3 — — [Н Го1 Н).
(66.2) 4кр Отметим, что уравнение (66.1) не содержит вязкости: поэтому свойство «вмороженности» силовых линий при ГГ -+ оо остается и в вязкой идеально проводящей жидкости. Уравнение адиабатичности (65.6) заменяется уравнением переноса тепла. В обычной гидродинамике оно гласит рТ ( — ' + чг7НА = аъ "* + Г))ч (АГ~7Т) д4 дхь (см. У1, 3 ф9).
Выражение в левой части равенства представляет собой количество тепла (отнесенное к 1 сма), выделяющееся в 1 с в движущемся элементе жидкости. Выражение же в правой части равенства есть энергия, диссипируемая в том же объеме за то же время. Первый член в нем связан с вязкостью; а,'ь есть ) Связь между током и злектрическим полем в термодинамически неоднородной, но изотропной в каждой точке среде содержит еще и термоэлектрический коэффициент о (1 26). Но если этот коэффициент постоянен, он выпадает из уравнений движения.
) Вопрос об уравнениях магнитной гидродинамики для плазмы при наруп1ении этих условий рассмотрен в другом томе етого курса — см. Х, 8 38, 59. вязкий тензор напряжений п,ь — — г1 ( — '+ — — -бгь61чч г + Яьг11чч. /да, дал 2 1,д*, д*, 8 * Второй же даот диссипацию, связанную с теплопроводностью. В проводящей жидкости сюда должно быть добавлено джоулево тепло. Отнесенное к единице объема, оно равно — (го1 Н) . а 16л.га Поэтому уравнение переноса тепла в магнитной гидродинамике гласит рТ ( — +чЧ ~ = о ь ' + лгЬТ+ (го1Н) . (66.3) В тензоре плотности потока импульса добавляется вязкий тензор напряжений: Пгь = Ригиь + Рб1ь — агь — — 1 Н/Нь — -Н игл) .
(66.4) 1 / 1 2 Плотность же потока тепла дается теперь выражением с1 = рч [' —" + гв) — (чп') — лггчТ+ — [Н[чН1[ — [Н го1 Н[ ~2 / 4к ' 16к~а (66.5) (где (ча') вектор с составляющими о,'ьсл). Здесь добавляются члены, связанные как с вязкостью и теплопроводностью, так и с электрической проводимостью; последний получается при подстановке в вектор Пойнтинга напряженности Е из (63.2): Е = 1 — — [чН[ = — го1Н вЂ” — [чН',. а с 4ка с (66.6) Уравнения несколько упрощаются, если движущуюся жидкость можно считать несжимаемой. Уравнение непрерывности сводится тогда к г11ч ч = О, а в уравнении (66.2) исчезает предпоследний член.
Выпишем еще раз соответствующую систему уравнений (в уравнениях (66.1), (66.2) удобно при этом преобразовать члены гоФ [чН[ и [Н гоФ Н) с помощью известных формул векторного анализа): (66.7) (66.8) 61чН = О, с11чч = О, — + (ч~7)Н = (Нч)ч+ ЬН, дг 4ка — "+ (чЧ)ч = — — T (Р+ — ) + (Н17)Н+ матч дг р ~ 8к/ 4кр (66.9) 6 66 диссиплтввныв пгоцкссы в млгвитвой гвдгодивлмикк 335 ЗЗ6 МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА ГЛ. Ч1Н (м = ц/р .
кинематическая вязкость). Что касается уравнения (66.3), то для решения задач о движении несжимаемой жидкости оно ве нужно, если только мы не интересуемся специально распределением температуры в ней. В обычной гидродинамике вводится, как известно, число Рейнольдса, характеризующее роль вязких членов в уравнениях движения по сравнению с конвекционными: Е = и1/м, где 1 и и 1/т — характерные параметры длины и скорости для данного движения жидкости. Наряду с этим числом, в магнитной гидродинамике можно ввести магнитное число Рейнольдса (66.10) Р ™ 411 а характеризующее роль члена с проводимостью в уравнении 66.1).
Этот член аналогичен члену НЬч в уравнении Навье— токса, и величина и„, играет роль якозффициента диффузии» магнитного поля. При В» 1 может оказаться возможным пренебрежение этим членом. Однако, вопрос о том, в каких случаях фактически можно пренебречь диссипативными процессами в жидкости, нс имеет общего ответа, так как соответствующие условия существенно зависят от конкретного характера движения; например, они совершенно различны для стационарных и нестационарных движений. В обратном предельном случае плохо проводящей жидкости, В « 1, система магнитогидродинамических уравнений допускает существенное упрощение (С.И. Брагинский, 1959). Дело в том, что в этом случае возмущение магнитного поля движением жидкости мало.
Если невозмущенное поле Уз не зависит от времени (что и предполагается ниже), то его изменение Н' в движущейся жидкости можно оценить из сравнения двух членов в правой части уравнения (66.1); го$ [чУ)] Н~ЬН, откуда Н' В уэ и при В. « 1 действительно Н' « уэ. Пренебрегая этим изменением, можно считать магнитное поле Н совпадающим с тем (У1), которое было бы создано внешними источниками в пустоте. При этом, ввиду постоянства АЗ, имеем ГДЕ = — с лдУз/д~ = О, т. с, электрическое ноле потенциально: Е = — ~Э». Уравнение для потенциала 1Р можно получить из равенства Г11ч) = О, удовлетворяющегося тождественно при пренебрежении током смещения (т.
е. в силу уравнения го1 Н = = 4х1/с). Подставив сюда плотность тока в виде 1 = о ( — 'ч'1Р+ — [ЧУ1[) 337 мАГнитоГидгодинАмическое течение и заметив, что для невозмущенного поля го1 у1 = О, получим (при и = сопе$) уравнение Ьу = -9го1 т. (66.11) с Вторым уравнением является уравнение Навье-Стокса — + ~ чЧ~'ч = — — Ч Р + РЬч + 1' д~ Р (66.12) (выписываем его для несжимаемой жидкости), в котором объем- ная плотность сторонник сил (66.13) Уравнения (66.11) — (66.13) и составляют искомую систему.
3 67. Магнитогидродинамическое течение между параллельными плоскостями Поучительный пример магнитогидродинамического движения вязкой проводящей жидкости представляет стационарное течение в пространстве между двумя параллельными твердыми плоскостями, причем в перпендикулярном плоскостям направлении приложено однородное магнитное поле уу (Х Нагйпапп, 1937). Это движение простейший аналог пуазейлсвого течения в обычной гидродинамике.
Естественно предположить, что скорость жидкости имеет везде одинаковое направление (которос выберем в качестве оси х); она зависит только от координаты е в направлении, перпендикулярном к твердым плоскостям. То же относится и к возникающему благодаря движению жидкости продольному полю Н,. Давление же Р зависит также и от х, так как в направлении движения имеется градиент давления, поддерживающий стационарное течение.
Уравнение о1Р ч = О выполняется тождественно, а из уравнения О1т Н = О следует, что Н, = сопе$ = Я. В силу е-компоненты уравнения (66.9) сумма Р+ — * 8К является функцией только х. Поскольку в то же время Не от х не зависит, то градиент давления йР(йх мог бы быть функцией только х, а фактически (ввиду однородности вдоль оси х) равен постоянной величине — А Р(1 (ЬР падение давления на длине 1).
338 мАГнитнАН ГидРОдинАмикА ГЛ. ЧГП (67.2) а 1 г' 1АРоб 7 а 6'г В = — ) иг1и = — (0$)г — — — ) 2а 1 ц д а — а (67.4) Критерием степени влияния магнитного поля на течение жидкости по сравнению с влиянием вязкости оказывается ве- личина (67.5) (ее называют числом Гаргаманна). При С « 1 получается г; г Ег Во (1 — — ), (67.6) а ' 1 зч' т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
