VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 64
Текст из файла (страница 64)
В постоянном магнитном поле изменение потока может быть связано только с перемещением контура. Если контур движется так, что все его точки перемещаются вдоль силовых линий поля, Ы Л. д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том 'т'Ш 322 КНАЗНСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ НОЛЕ ГЛ. НП го1К = — — —, 1дВ с дг' ГОРН = — 3 = (К+ -[чВ1), бгчВ = О. [63.5) Выразив из второго уравнения К через Н и подстанив в первое, получим дв С !' ГО» Н'à — — го1 [чВ[ = — — го1 ( дг 4Е с [63.6) В однородном проводнике с постоянными проводимостью и и магнитной проницаемостью д — — гоС [чН'! = — ГАН, ббн Н = О. [63.7) д» ' 4К!Тл Эти уравнения обобщают тс, которые были получены в 3 58. Следует, однако, указать, что если имеется всего один проводник, движущийся как целое [не деформируясь) во внешнем магнитном поле, то решение задачи значительно упрощается при использовании системы координат, жестко связанной с телом.
В этой системе проводник неподвижен, а внешнее поле меняется со временем по заданному закону, так что мы возвращаемся к типу задач о токах Фуко, рассмотренных в 3 59. Возможность такого перехода связана, однако, не с галилеевским [или эйнгптейновским) принципом относительности, так как новая система координат, вообще говоря, неинерциальна. Эквивалентность обеих задач есть следствие отмеченной выше независимости электромагнитной индукции от причины, вызывающей изменение магнитного потока. В ней можно убедиться и чисто математическим путем. Для этого раскроем выражение го1 [чВ1! учитывая прн этом, что ОгнВ = О, а при движении тела как целого также и 6гнч = О [это равенство выражает собой весжимасмость тела). никогда не пересекая их, то поток поля через контур не меняется.
Это обстоятельство является очевидным следствием того, что магнитный поток через всякую замкнутую поверхность равен нулю, а поток через Ебоковую» поверхность, описываемую движущимся контуром, в этом случае равен нулю тождественно [так как на вей В„= О).
Таким образом, можно сказать, что для возникновения индукционной электродвижущей силы проводник во всяком случае должен пересекать при своем движении магнитные силовые линии. Электромагнитное поле в движущихся проводниках определяется системой уравнений; 323 ДВИЖЕНИЕ ПРОВОДНИКА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Тогда левая часть уравнения (63.6) примет вид (63.8) — + (н~) — (В~)ч. Но зта сумма есть не что иное, как производная от В по времени, определяющая изменение В по отношению к вращающемуся телу. Действительно, сумма первых двух членов есть «субстанциональная» производная по времени ОВ/пс, дающая изменение В в точке, перемещающейся со скоростью ч.
Третий жс член учитывает изменение ориентации В по отношению к телу: он равен нулю при чисто поступательном движении (е = сопзй) и равен — 1йВ1 при вращении тела (т = 1йг1., где й угловая скорость). В заключение Етого параграфа рассмотрим своеобразное явление (униполлрную индукцию), возникающее при вращении намагниченного проводника.
Оно заключается в том, что если при помощи двух скользящих контактов (А и В на рис. 39) присоединить к вращающемуся магниту неподвижный провод, то по последнему потечет ток. Нс представляет труда вычислить злектродвижушую силу, создающую этот ток. Для зтого проще всего перейти к системе координат, вращающейся вместе с магнитом. Если й угловая скорость вращения магнита, то в новой системе провод вращается с угловой скоростью — Й (а магнит неподвижен). Таким образом, мы имеем теперь дело с проводником, движущимся в за- Я данном постоянном магнитном поле В, созда- С А наемом неподвижным магнитом; искажением поля самим проводником мы пренебрегаем.
Согласно формуле (63.3) злектродвижущая сила, действующая между концами провода, В дастся интегралом й' = — ~ 1ЕВ) д1 = — ~ иВ[Ей',) д1, (63.9) АСВ АСВ Рис. 39 взятым вдоль длины провода. Эта формула и решает поставленную задачу. Задачи 1. Определить магнитный момент проводящего шара (с д = 1), равномерно вращающегося в однородном постоянном магнитном поле; определить действующий на шар момент сил.
Р е ш е н и е. Пусть в неподвижной системе координат (с осью л Вдоль вектора угловой скорости й) внешнее поле имеет составляющие у1, О, я,. В системе координат (, Ш я, вращающейся вместе с шаром, составляющие поля: Яс = Я совйй Ял — — — Я я1пйй Я или, в комплексном виде., 11* 324 Гл. чп кнАзнстАцнОнАРнОе электРОмлгннтнОе пОле Таким образом, вдоль осей 8 н и действует переменное поле с частотой й н индуцируемый им магнитный момент -АЕ = Ъ'Ке(асс) = г'УЗ (О соя й1-~-О я1пй1), Мч = Ъ'Ке(обч) = '»'У1 ( — О гйпй1+ О соей1), где»'а — комплексная магнитная поляризуемость шара, определенная в задаче 1 3 59.
Вдоль же оси х магнитное поле постоянно н потому не создает (прн д = 1) магнитного момента. Составляющие магнитного момента относительно неподвижной системы координат: Ф' = Ра'Я» й» = Ъ'ОЛУ1„ А;=6. Таким образом, а этой задаче а' н ал определяют составляющие магнитного момента шара соответственно в плоскости векторов й, уз и перпендикулярно к ней. Действующий на шар момент снл К = (й'»з). Его составляющие относительно неподанжных осей: Х,= — ИО Я,. Использованное здесь сведение задачи о вращающемся н поле шаре к задаче о неподвижном шаре в переменном поле вполне естественно н свете замечания, сделанного в конце решения задачи 1 3 59. Обратим внимание на интересный аспект этой аналогии: прн увеличении частоты ы переменного магнитного поля оно «выталкивается» из шара — в пределе и — » оо все силовые линии «обтскают» шар, не проникая внутрь его; таким же образом из быстро вращающегося шара выталкивается магнитное поле, перпендикулярное к ося вращения.
2. Определить электродяижушую силу униполярной индукции, возникающую между полюсом и экватором (см. рнс. 39) однородно намагниченного шара, равномерно вращающегося вокруг оси, совпадающей с направлением намагннчения. Р е ш е н и е. При вращении шара вокруг направления его намагничения создаваемое им поле постоянно: учитывая также, что внутри шара нет токов, найдем из (63.6), что гос(РВ) = О. Поэтому интеграл от [РВ) по замкнутому контуру ОАСВО (рис. 39) обращается в нуль и, следовательно, интегрирование по пути АСВ в формуле (63.9) можно заменить интегрированием по пути АОВ, проходящему внутри шара. Интеграл вдоль отрезка АО оси вращения обращается в нуль ввиду совпадения направлений й и г, а интегрирование вдоль радиуса ОВ дает (с учетом совпадения направлений В и й анутри шара): Войа 4 = — ) Войт пг = 2с (а — радиус шара, Во — магнитная индукцня в нем). В однородно намагниченном шаре (в отсутствие приложенного внешнего поля) связь индукции с намагниченном определяется ураанениями Ве -~- 2Н = О (ср.
(8.1)) и Во— — Н = 4кМ, откуда Вс = 8хМ/3. Вводя полный магнитный момент шара »к,получим окончательно й.й' ас 3. Определить полный заряд, протекающий по линейному замкнутому контуру при изменении (по любой причине) магнитного потока через него от одного постоянного значения (Ф~) до другого (Фэ). 325 НОЗБУЖДЕНИЕ ТОКА УОКОРЕННЕМ 1 ( 341 = — (Ф1 — Фя).
сгг й 64. Возбуждение тока ускорением Рассматривая в предыдущем параграфе движение проводника, мы пренебрегли возможным влиянием ускорения (если таковое имеется). Между тем ускоренное движение металла эквивалентно появлению дополнительных инерционных сил, действующих ва электроны проводимости.
Если Ф ускорение проводника, а т — масса электрона, то зта сила равна — тй. Она оказывает на электрон такое же действие, какое произнело бы электрическое поле с напряженностью тй) е, где — е есть заряд электрона. Таким образом, эффективное электрическое поле, действующее на электроны проводимости в ускоренно движущемся металле, есть Е' = Е+ ™Ф. (641) е Соответственно для плотности тока имеем 1 = ОЕ' = О. (Е + ™вЂ” У') е (64.2) Выразим из (64.1) Е через Е' и подставим в уравнение 1 дН го1Е = — —— я (полагаем везде 1А = 1). Тогда 1дН т го1 Е = — — — + — го( й, сд1 е (64.3) Напишем у в виде суммы у = и + [Йг), где и .- скорость поступательного движения, а Й -- угловая скорость вращения тела.
Дифференцируя по времени, найдем Р е ш е н н с. Искомый полный заряд есть интеграл 1 э Ж, где э'(1)— возникающий е контуре нндукцнонный ток. С математической точки зрения этот интеграл представляет собой компоненту Фурье функции л(8) с частотой м = О. Поэтому он связан с такой же компонентой электродянжущей силы соотношением ~' г 41 = И(О) ( Ли (см. (б1.3)). Подставив 2(0) = В (11 — сопротивление контура для постоянного тока) н е' = — (1/с) 4Ф/ой получим 326 КНАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. ЧП ускорение Ф = и + [йе] + [йг] = и + [ий] + [й[йг]] + [йг]. Первые два члена не зависят от г и потому дают нуль при диф- ференцировании по координатам. Третий член может быть на- писан в виде [й[йг]] = — — йгасЦйг] 2 и потому его гое тоже обращается в нуль.
Наконец, гое [йг,'' = 2й. Таким образом, подставив Ф в (64.3), получим го1Е = — — — + — й р 1дН 2т' сдФ е или го1Е = —— 1дН' с д1 (64.4) где введено обозначение Н~ Н 2тсй е Поскольку й от координат нс зависит, то уравнение 4е. го1Н = — з' с (64.5) сохраняет свой вид, если выразить в нем Н через Н'. го1 Н' = — О.Е'. (64.6) с Исключив Е' из уравнений (64.4) и (64.6), мы получим для Н' уравнение ЬН! 4еа дН' се дФ (64.7) 2тс й е (64.8) совпадающее с уравнением, которому удовлетворяет Н в неподвижном проводнике. Вне тела поле удовлетворяет уравнению ЬН = 0 [длина волны предполагается большой по сравнению с размерами тела); такому же уравнению будет удовлетворять и Н'. Наконец, на поверхности проводника вместе с Н будет непрерывным и Н'.
Различно лишь условие на бесконечности: Н стремится к нулю, а Н' -- к конечному пределу — 2тсй/е. Таким образом, задача об определении переменного магнитного поля Н вокруг неравномерно вращающегося тела зквивалевтна задаче обопределении поля Н'вокруг неподвижного тела, находящегося в однородном внешнем магнитном поле с напря- женностью ВОЗВУЖДЕНИЕ ТОКА УСКОРЕНИЕМ 327 По решению Н' этой задачи искомое поле Нг') вне проводника получается вычитанием у). Возникающее таким образом магнитное поле, как и всякое переменное поле, индуцирует в самом проводнике электрические токи.
В одвосвязном теле эти токи проявляются в виде приобретаемого телом магнитного момента. В неравномерно вращающемся кольце эффект проявляется как возникновение электро- движущей силы (эффект Стюарта — Толмэна). Тот факт, что в формулу (64.8) входит сама угловая скорость, а не ее производная по времени, может дать повод к недоразумению. Поэтому напомним, что все рассмотрение, а с ним и указанный выше смысл величины (64.8), относится только к неравномерному вращению. Действительно, при постоянном й уравнение (64.7) с требуемым условием на бесконечности тождественно удовлетворяется значением Н' = у); тогда в силу определения (64.5) имеем Н = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
