VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Диссипация ввергни о = — 1/ — ф /н /' Ф. Е9.1Е Отметим, что при больших частотах она оказывается пропорциональной „/й. Диссипация знергии может быть выражена и через полный магнитный момент 4е, приобретаемый проводником в магнит- ) Еслн какие-либо две величины а(Ь) н 6(Ь) пишутся в комплексном ннде (пропорцнональном е '"'), то прн образовании нх произведения надо, разумеется, сначала отделить вещественную часть. Но если нас интересует только среднее (по времени) значение етого пронзведення, то его можно вычислить как 1 — Ве(аЬ*).
2 Действительно, члены, содержащие множители е™ ~, прн усреднении обращаются в нуль, н потому имеет место равенство 1 1 4 — (а+ а")(Ь+ 6" ) = — (аЬ* + а*Ь). 4 В частности, В можно вычислить как вещественную часть «комплексного вектора Пойнтннга» согласно (с1 Я = Ке ~ — — (ЕН") ) . '(4к г (69.9а) (по времени) знергия Я, диссипируемая в проводнике в 1 с, равна Я = ~ 1'ЕЖ' = / ОЕ2 с(К Ее можно вычислить и как среднее количество знергии поля, втекающей в 1 с извне внутрь проводника, т. е. как интеграл О = ~ В (ф = — ' ~ [ЕН] фф, (59.9) взятый по поверхности проводника ). Мы видели выше, что в предельном случае й» 1 амплитуда магнитного поля внутри проводника не зависит от частоты, а амплитуда злектрического поля пропорциональна оз.
Позтому диссипация знергии Я при малых частотах пропорциональна ш . В случае же д « 1 магнитное и злектрическое поля на поверхности проводника даются формулами (59.3) и (59.5) с е = О. Вектор Пойнтинга нормален к поверхности, а его среднее значе- 1 59 ГЛУБИНА ПРОНИКНОББНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ном поле. В периодическом поле магнитный момент тоже есть периодическая функция времени с той же частотой. Согласно формуле (32.4) изменение свободной энергии тела со временем дается производной —.Ф вЂ”, (К~ Ж' Аз внешнее однородное поле, в которое помещен проводник. Это выражение не дает еще непосредственно искомую диссипацию, так как энергия тела изменяется не только благодаря диссипации, но и благодаря периодическому ее мигрированию между телом и окружающим полем.
Если же произвести усреднение по времени, то последняя часть исчезнет и, таким образом, средняя диссипация энергии в единицу времени (59.11) -Ф; = Ъ'ац,Яы (59.13) где безразмерные коэффициенты ГГГБ(ГБ) зависят от формы тела и его ориентации во внешнем поле (но не от его объема 1Г); .Ф и АЗ в этой формуле предполагаются написанными в комплексном виде, так что и величины а,ы вообще говоря, комплексны. Тензор 1Га,ь можно назвать тензором магнитной поляризуемости тела как целого. Этот тензор относится к категории величин, известных как обобщенные восприимчивости, и обладает всеми их свойствами.
В частности, он симметричен (см. У, 9 125): ОЪ = ГГЫ. (59.14) Воспользовавшись этим свойством, можно написать ФАз* = Ъ'ГГ,АЯ,*Я~ — — — ГГГА(9,"Яь + ЯЯ~) = 1ГГГш Ке (АЪузь). Если, кроме того, написать комплексные величины ГГ,Ъ в виде / Л ГГГА = ГГГь+ 1ГГ;ы то для диссипации энергии (59.12) получим ГА = — Блт;'ь~, Ве (Я,Я~). (59.15) Если ФК и АЗ выражены в комплексном виде, то»З = — гых1 и Я можно вычислять как Я = — — Ве 1иы Ф'Ау*) = — 1Гп 1 ФАЗ*1.
(59.12) Компоненты магнитного момента Ф являются линейными функциями внешнего поля; 302 кВАзнстАцнОнАРнОе электРОмАгнитнОе пОле Гл. уп Таким образом, диссипация энергии определяется мнимой частью магнитной поляризуемости тела. Мы видели выше, что при малых частотах с„пропорциональна оз2, а при болыпих ЕУш. Отсюда следует, что величины сг,"~ в этих двух предельных случаях пропорциональны соответственно со и от '(з. Убывая как при ш — у О, так и при оз — + Оо, они проходят в промежуточной области через максимум.
Магнитный момент проводника в переменном магнитном поле создается в основном возникающими в теле токами проводимости; он отличен от нуля даже при (А = 1, когда статический момент обращается в нуль. Последний должен получаться из Ф(со) в пределе при и — + О. Отсюда следует, что вещественная часть магнитной поляризуемости а',„стремится при со -+ 0 к постоянному значению (к нулю при (А = 1), соответствующему намагничению в постоянном поле.
В пределе же ы -+ оо, когда магнитное поле не проникает внутрь тела, величины сс',.ь стремятся к другому постоянному пределу, соответствующему статическому намагничению сверхпроводника той же формы. Задачи 1. Определить магнитную поляризуемость изотропного проводящего шара радиуса а в однородном периодическом внешнем поле. Р е ш е н и е. Поле НШ внутри шара удовлетворяет уравнениям ЬНСО+Ь Ноа =О, бСРНО~ =О, й= —. 6 Ищем его в аиде НСО = гоС А, причем А удовлетворяет уравнению ЬА + + Е~А = О; поскольку Н вЂ” аксиальный вектор, А — полярный. Ввиду симметрии шара единственным постоянным вектором, от которого может зависеть искомое решение, является напряженность внешнего поля Уз.
Обозначим через 1 сферически симметричное решение скалярного уравнения Ь е~ =О; яш 'Ат Тогда полярный вектор А, удовлетворяющий векторному уравнению ЬА + к~А = О и зависящий линейно от акснального постоянного вектора АЗ, мОжно написать в виде А =,атос((9) (~3 — постоянная). Таким образом, ищем НСО в виде Н = б гоС гоС ( Я) = ~3 ( — + Й у) уэ — д ~ — + и у) пЯН), ш т т где и — единичный вектор в направлении г (вторая производная 1 исключена с помощью уравнения Гсу -т Е~у = О). Поле Нн~ вне шара удовлетворяет уравнениям гоС Н ОО = О, гйу Н ОО = О.
Ищем его в виде Ноо = — Кгаб Со + Ау, причем у удовлетворяет уравнению Ьу = О, а на бесконечности обращается в нуль. Такая функция л, зависящая 303 5 59 ГлуБинА НРОникнОБения мАГнитнОГО пОля линейно от постоянвого вектора уу, имеет вид 1 ЯР = — О У'Уз УГ (1Г = 4ха~/3). Таким образом, ищем Нрй в виде Н " = )гояу (ЯЧ-) + уз = — [Зп(пуз) — уз]+ уу.
т Оченидно, что ау'41 есть магнитный момент шара, так что у'Π— его магнит- наЯ полЯРизУемость (в силУ симметРии шаРа тензоР О,ь своДитсЯ к скалЯРУ: О,А = Об,ь). На поверхности шара (г = а) непрерывны все компоненты Н. Приравняв отдельно компоненты> параллельные и перпендикулярные к и, получим два уравнения для определения а и 13.
Для интересующей нас поляризуемости (отнесенной к единице объема) получаем 3 ( 3 3 а = О 4- 4«х = — — 1— + — ся8 ай~ 8х ~ азйт ай 3 ) Зб яЬ (2а/б) — Гйп (2а/б) 1 8х ) 2а сЬ (2а/б) — соя (2а/б) ) 9б~ ) а яЬ (2а/б) + я1п (2а/б) 1 16хаз ) б сЬ(2а/б) — соя(2а/б)) В предельном случае малых частот (б» а) 4 1 1' а 4ха~п~ы~ 105х (, б 105с4 Для больших же частот (б « а) 8х [ 2а~ 8х [ 2ау'2лж~1 а 9б 9с О 16ха 16хаН 2згта Предельное значение )го = — а /2 соответствует магнитному моменту я сверхпроводящего шара, а значение Ол можно было бы найти с помощью формулы (59.10), воспользовавшись формулой (54.3) для поля у поверхности сверхпроводящего шара. Напомним, что внешнее поле предполагается записанным в комплексном виде Уу = УЗее '", с произвольным постоянным комплексным вектором бс.
Тем самым в рассмотрение включены как «линейно поляризованноеь переменное поле с постоянным направлением, так и зллиптически или циркулярно поляризованные поля, вращающиеся в некоторой плоскости. 2. То же для проводящего цилиндра (радиуса а) в однородном периодическом магнитном поле, перпендикулярном к его оси. Р е ш е н и е. Задача является «двумерным аналогом» задачи 1; ниже все векторные операции являются двумерными операциями в плоскости, 305 э 59 ГЛУНИНА ПРОНИКНОВЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ Таким образом, продольная поляризуемость цилиндра в два раза меньше поперечной поляризуемости,найденной в задаче 2. 4. Определить наименьший нз коэффициентов затухания магнитного поля в проводя|цем шаре.
Р е ш е н и е. Среди решений уравнений (58.10) для шара имеются функции различной симметрии. Р!аиболее симметричным было бы решение, определяющееся заданием произвольного постоянного скаляра. Оно, однако, не может существовать по следующей причине. Такое решение было бы сферически-симметричным: Н = Н„(т) и в силу уравнения 1д ГВГН = — — (тН) = 0 т дт кс 71 4оаг 5. Плоская поверхность одноосного металлического кристалла вырезана таким образом, что нормаль к ней образует угол У с главной осью симметрии кристалла.
Определить поверхностный импеданс с учетом термоэлектрического эффекта (М.И. Каганов, В.М. Цукерник, 1958). Р е ш е в и е. Выбираем поверхность кристалла в качестве плоскости ху, ось г -- внутренняя нормаль к поверхности, и пусть главная ось симметрии кристнлла расположена в плоскости хг под углом У к оси г. Магнитное поле у поверхности кристалла пусть направлено вдоль оси у; Ну — Нее ™г; тогда и везде внутри металла оно направлено так же. Учитывая, что все величины зависят только от координаты (и от времени как е '" ), находим, что уравнения Максвелла (58.1), (58.4) принимают вид с 4х, — Н У с уу — — 1,=0, а также Е„' = О, откуда Еу — — 0 (штрих означает дифференцирование по г). Для учета термоэлектрического эффекта сюда надо добавить уравнение теп- лопроводностн С дТ(61 + Г11у ц = 0 или — иоСт+ 9, = О, (2) где т — переменная добавка к средней температуре (Т = Т -> т)., С вЂ” тсплоемкость единицы объема металла, ц плотность теплового потока:1 и ц связаны с полем Е и градиентом температуры соотношениями (26.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
