VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 58
Текст из файла (страница 58)
рис. 35). 1О Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том ЧИ1 со знаками — и + соответственно на СР и ВА. Значение ~о определяется из условия (57.5) и равно 1.о = — (-„— ") (57.8) где введено обозначение Ь = У17Н,. Форма слоя, т, е, уравнение граничной силовой линии, получается интегрированием соотношения дв = — 51ю/71 по вещественным ~: 290 ГЛ.Р~ СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ Период слоистой структуры а связан с толщинами а, и а„зи п-слоев равенствами а = а, + а„, аУ1 = а„Н,. Второе из вих является следствием непрерывности магнитного потока, проходящего целиком в и-слоях. Отсюда а, = а(1 — 6), а„= Ьа. Период а определяется условием минимальности полного термодинамического потенциала пластинки.
Наличие поверхностного натяжения на границе и- и з-фаз приводит к члену (57.10) а 8к в термодинамическом потенциале, отнесенном к 1 см поверхности пластинки. Здесь 1 — толщина пластинки, а коэффициент поверхностного натяжения обозначен как Н2ье/(8х) (Ь имеет размерность длины). При вычислении этой части энергии закруглением слоев вблизи поверхности пластинки можно, конечно, пренебречь. Энергию выхода слоев к поверхности пластинки можно представить в виде суммы двух частей. Во-первых, само по себе увеличение объема и-слоев по сравнению с объемом, который они имели бы при сохранении плоскопараллельности на всем протяжении, приводит к дополнительной энергии Фэ = — / — '(У вЂ” д) дя ау 8х о (57.11) н 1н, осо (множитель 4 учитывает наличие четырех углов таких, как В и С на рис.
35 с обеих сторон каждого из 1/а В-слоев). Во-вторых, выход слоев к поверхности пластинки меняет энергию системы во внешнем поле, т. е. энергию — ФЯ/2. Магнитный момент пластинки обусловлен токами на поверхностях з-слоев. При скачке тангснциальной компоненты индукции от Н до 0 поверхностная плотность токов е = ~ОН/(4я). Поэтому на единицу длины оси е на каждую граничную поверхность В-слоя приходится магнитный момент — 1 — "ю~ и = Л*'~гр1ь 4Х осв Если бы слой не выходил к поверхности, отрезок ОС отсутствовал бы, а на СР было бы везде у = У.
Поэтому избыток магнитного момента для каждого из четырех углов равен 291 1 57 СТРУКТУРА ПРОМК?КУТОЧНОГО СОСТОЯНИЯ Соответственно, избыточная знергия ~1'дх — — у н о ОС1? И4 Фз = — —— 2 а ~н, 1 ( — УЙ*+?и ) ? 1 нуи?1. И?121 ст? ос Ф = — ' ~ — + а1(6)) . (57.13) Условие ее минимальности дает Ы 1(Ь) (57.14) Интегралы в (57.11), (57.12) могут быть вычислены до конца 1), и для функции 1 (6) получается следующее выражение: ):(6) 1 1г(1 + 6)41 (1 + 6) + (1 6)41 (1 — (1+6 ) 1п(1+62) — 46~1п861.
(57.15) Предельные выражения втой функции; 1оой5) 7(6) = — 1п — ' при Ь « 1; ДЬ) = (1 — 6) при 1 — Ь « 1. (57.16) На рис. 36 изображен график функции О,5 5 ПЬ) Отметим, что в и-слоях вблизи поверх- Р с.36 ис. 36 ности пластинки магнитное поле может быть существенно меньшим, чем Н,, т. е. здесь имеет место ситуация, соответствующая изображенной на рис. 33 а 2). Ее ) См.
Рагнп?' А., Раипиег Е. О Р1?ув. Веу. В. 1972. у'. 5. Р. 1850. ) Так, при Ь = 1?2 поле на поверхности в средней точке и-слоя составляет всего 0,73Н„, а при Ь вЂ” ? 0 стремится к 0.,65Н,. Координаты х и у, выраженные через ~, пропорциональны а. Позтому все интегралы в Ф1 + Ф2 пропорциональны о, так что 2 зта часть термодинамического потенциала пропорциональна а.
Сумма же Ф1 + Ф2 + Фз имеет, следовательно, вид 292 ГЛ.У! СВВРХПРОВОДИМОСТЪ термодинамическая невыгодность компенсируется в данном случае знергией поверхностного натяжения, препятствующей дальнейшему уменьшению толщины слоев. Как уже указывалось, при увеличении толщины пластинки должно наступить разветвление слоев. Это приводит, в свою очередь, к изменению зависимости периода структуры а от г; в предельном случае многократного разветвления ос э)~73.
Фактические численные соотношения показывают, однако, что разветвление должно начаться сравнительно поздно ). ) Расчет модели с многократным разветвлением слоев — см. Ландау Л.Д. О 2КЭТФ. 1943. Т. 13. С. 377 (Собрание трудов, статья 47, «Наука», 1969). ГЛАВА ЧП КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ з 58. Уравнения квазистационарного поля До сих пор мы рассматривали постоянные электрические и магнитные поля, а уравнение Максвелла го1Е = — —— 1ДВ с д1 (58.1) Тогда распределение магнитного поля вне проводника в каж- дый момент времени можно описывать уравнениями статическо- го поля (58.2) йтВ=О, го1Н=О, пренебрегая всеми эффектами, связанными с конечностью скорости распространения электромагнитных возмущений. Разумеется, такое пренебрежение возможно лишь на не слишком больших (малых во сравнению с Л) расстояниях от тола (что во всяком случае достаточно для целей определения поля внутри него).
применялось (в 5 31) лишь со вспомогательной целью при выводе выражения для энергии магнитного поля. Характер переменных электромагнитных полей в материальных средах существенно зависит от рода этих сред и от порядка величины частоты поля. В этом параграфе мы рассмотрим явления, происходящие в массивных проводниках, помещенных во внешнее переменное магнитное поле. Мы будем предполагать при этом, что скорость изменения поля не слишком велика, будучи ограничена рядом условий, сформулированных ниже. Электромагнитные поля и токи, удовлетворяющие этим условиям, называют квазистациоиарными. Прежде всего, будем считать, что длина волны Л с/ю, соответствующая (в пустоте или диэлектрической среде, окружающей проводник) частоте поля ы, велика по сравнению с размерами тела 1: 294 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ.
ЧИ Г1олная же система уравнений поля внутри проводника складывается из уравнения (58.1) и уравнений с((РВ = О, (58.3) го1 Н = — 1, 1 = ОЕ (58.4) с (в электрически анизотропном . не кубическом -. кристалле надо писать 11 = а;ЬЬА). Второе из этих уравнений было выведено, строго говоря, для постоянных токов и магнитных полей. Поэтому необходимо указать критерий, позволяющий с достаточной точностью использовать зто уравнение для переменных полей.
В уравнении (58А) существенно, что связь тока с напряженностью электрического поля дается соотношением 1 = 1ГЕ с постоянным значением и, относящимся к стационарному случаю. Это имеет место, если период изменения поля велик по сравнению с временами, характерными для микроскопического механизма проводимости.
Другими словами, частота поля должна быть мала по сравнению с обратным временем свободного пробега электронов в проводнике. Для типичных металлов (при комнатной температуре) предельные допускаемые этим условием частоты лежат в инфракрасной области спектра1). Кроме того, однако, есть и другое условие, ограничивающее в данном случае применимость уравнений.
Уравнение (58.4) подразумевает, что связь между током и полем является локальной, т. е. что плотность тока в некоторой точке проводника определяется значением поля только в этой точке. Это, в свою очередьч предполагает малость длин свободного пробега электронов по сравнению с расстояниями, на которых заметно меняется поле.
К этому условию мы вернемся в 8 59. В уравнениях (58.1) и (58.4) Е есть напряженность индукционного электрического поля, возникающего благодаря переменности магнитного поля. По известному Н поле Е определяется непосредственно уравнением (58А). Уравнение же для Н получается путем исключения Е из (58.1) и (58.4): — — = -гот 4к дВ ГОГН (58.5) сз д1 и ) Для плохих проводников (например, полупроводников) применимость уравнения (88.4) требует соблюдения еще одного условия, которое может оказаться даже более сильным. У таких тел может иметь смысл одновременное введение прояодимости и диэлектрической проницаемости.
1егда в е дЕ правой части уравнения (88.4) добавляется член — — — и условие его малос дг сти по сравнению с 4хпЕ/с гласит: и/ы» е. У хороших же проводников— металлов — фактически и/ы 'л) 1 во всей области частот, для которых еще можно говорить о постоянной проводимости (см, также примеч, на с, 298), 295 8 58 УРАВНЕНИЯ КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ПОЛЯ В однородной среде с постоянными проводимостью сг и магнитной проницаемостью )А множитель 1/и можно вынести из-под знака го1, а согласно (58.3) имеем г)(н В = )Аг)(у Н = О.
Поэтому гос го1 Н = — гдН, и мы получаем уравнение 4х ОН с д5 (58.6) Вместе с уравнением г)(у Н = О оно составляет полную систему, достаточную для определения магнитного поля. Отметим, что уравнение (58.6) имеет вид уравнения теплопроводности, причем роль «коэффициента температуропроводности» зг играет с~ / (4чго 1А) . Граничные условия для магнитного поля ва поверхности проводника очевидны из вида самих уравнений: Вп, = Впз, Нп = Нвп (58.7) Выражение в правой части уравнения (58.4) не влияет на второе из этих условий в силу своей ограниченности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
