VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 70
Текст из файла (страница 70)
е'(~' и исключив ~,ис,из, из написанных трех уравнений,получим уравнение, определяющее возможные значения ел (ы — 1счс) + (ы — 1счз) = (1спс) + (1спз) . Это квадратное уравнение не имеет комплексных корней, если 2(1спс) + 2(1спз) — (1сч) > О 12* 356 мАГнитнАЯ ГидРОдинАмикА ГЛ. Чги ИЛИ [2ицига + 2иггигв — Н;НЬ)й,йа > О, где и = чг — ч1 скачок скорости на разрыве. Эта квадратичная форма положительна, если положительны след и определитель тензора второго ранга, стоящего в квадратных скобках.
Отсюда получаются искомые условия устойчивости ) Н, + Н~~ > 2гсрп, [Н1Нг1 > 2яр([Нгч) + [Нгч1 ). (71.14) Фактически, однако, благодаря наличию у жидкости малых, но все же конечных вязкости и электрического сопротивления тангенциальный разрыв не будет оставаться таковым в течение неограниченно долгого времени, даже если условия (71.14) выполнены. Хотя турбулентность при этом и не возникает, но вместо резкого разрыва получается постепенно расширяющаяся переходная область, в которой скорость и магнитное поле плавно меняются от одного своего значения к другому.
В этом легко убедиться на основании уравнений движения (66.8), (66.9), сохранив в них диссипативные члены. Выберем направление нормали к разрыву в качестве оси х. Предполагая все величины зависящими только от координаты х (и, возможно, от времени), напишем поперечные составляющие этих уравнений: дН сг дгн д8 4хг дхг ' дч, д'ч, — = 1/— д~ дт' (71.15) 5 - (мг)~7~, бн - ( — ) [71.16) ') Если плотности несжимаемых сред с двух сторон разрыва различны, то в этих условиях р заменяешься на 2ргрг)(рг + дг) (жидкость предполагаем несжимаемой). Если предположить движение стационарным, то левые части этих уравнений заменяются нулями. Но тогда единственное решение, остающееся конечным при х -+ хоо, есть просто Нс = сопэ1, чс = сопэ1, в противоречии с предположением о наличии скачка значений этих величин.
Таким образом, тангенциальный разрыв не может иметь стационарной ширины (как ее имеет, например, слабая ударная волна). Уравнения (71.15) имеют вид уравнения теплопроводности. Как известно из теории теплопроводности, разрыв величины, описываемый этим уравнением, с течением времени размывается в переходную область, ширина которой растет пропорционально квадратному корню из времени. Ввиду различия коэффициентов в двух уравнениях (71.15), ширины б„и бп областей изменения скорости и поля будут различны: 358 МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА ГЛ. Ч1Н собой. Отсюда в свою очередь следует коллинеарность Нп и НГ2, т, е, векторы Нм Н2 и нормаль к поверхности разрыва лежат в одной плоскости в противоположность тангенциальным и альвеновским разрывам, в которых плоскости Нм и и Н2, и, вообще говоря, не совпадают.
Этот результат справедлив и в случае Н„= О, когда из (70.5) следует, что ЪГНп = Р2НГ2 (этот случай будет более подробно рассмотрен в конце параграфа). Скачок ч12 — чп расположен в той же плоскости, что и Нм Н2. Не ограничивая общности, можно считать, что и сами векторы ч1 и ч2 лежат в той же плоскости, так что движение в ударной волне является по своей природе плоским.
Более того, легко видеть, что путем соответствующего преобразования системы координат, можно (при Нп ф О) добиться того, чтобы с обеих сторон поверхности разрыва векторы ч и Н были коллинеарны. Для этого надо перейти к новой системе координат, движущейся относительно первоначальной со скоростью ът Д~ тъ Чà — — хзг = Ч1 — — хзг и.
и„ (значения этой величины с обеих сторон разрыва одинаковы в силу граничного условия (70.5)). В следующих ниже формулах мы, однако, не будем предполагать этого специального выбора системы координат. Выведем соотношение, играющее для ударных волн в магнитной гидродинамике роль адиабаты Гюгонио обычной гидродинамики. Исключив (чг) из двух уравнений (70.4), (70.5), получим соотношение и' З 1 " Н1) — 1Н1) (72.2) мы пишем здесь НГ вместо Нн имея уже в виду коллинеарность Нп и Н12 ').
Для того чтобы исключить ч1 из уравнения (70.2), переписываем его тождественно в следующем виде; 2 (и) + — (И ) + — ° ч, — — "Не) + 2 2 (~, 4пу' Третий член обращается в нуль в силу уравнения (70.4) и, таким образом, ч1 выпадает. В последнем члене подставляем у из 2 ') При атом, однако, векторы Н11 и Н11 могли бы быть направлены как в одну и ту же, так и в противоположные стороны, и в этом смысле Нп и Е111 могли бы иметь как одинаковые, так и различные знаки.
Лишь в дальнейшем (з 73) мы увидим из других соображений, что фактически зти знаки должны быть одинаковыми. 359 1 72 УДАРНЫК ВОЛНЫ (72.2), а в первом —. из (70.3), т. е. 2 Р2 Р| + 1Нрг Нй)/8л У'1 — 12 (72.3) После простых вычислений получим тогда окончательно (К2 — 61) + — (Р2+Р1 ) Я вЂ” "У1 )+ (172 — р~ )(Н12 — Н21) = О. (72.4) 1 1 2 2 16л Это и есть искомое уравнение ударной адиабаты в магнитной гидродинамике. Оно отличается от обычного уравнения третьим членом. Выпишем здесь еще раз также уравнение (70.4); Н„ У12 — Ум = — "(Н12 — Н11), 4л2 (72.5) определяющее скачок у2 по скачку Нн Уравнения (72.2)-(72.5) составляют полную систему уравнений, описывающих ударные волны. Ниже мы условимся приписывать индекс 1 той среде, в сторону которой волна распространяется; другими словами, сам газ проходит со стороны 1 перед ударной волной на сторону 2 позади нее.
Напомним также, что мы условились пользоваться системой координат, в которой данный элемент поверхности разрыва покоится, а газ движется через него. В обычной гидродинамике справедлива теорема Цемплена (см. Ч1, 8 87), согласно которой в ударной волне давление и плотность увеличиваются: (72.6) 1 2 > Р1 ~ Р2 > Р11 другими словами, ударная волна . — волна сжатия. При этом пред- полагается, что (72.7) А (К2 К1) = 1 ( (Р2 Р1) 1 /д2$''1 2 2 ~дР'(. — ~ — ) (Р2 — Р1ИН22 — Н11); (72.8) 1 /д$'"1 2, 16л дР А хотя это неравенство не термодинамичсское, оно выполняется практически всегда. Теорема Цемплена является следствием закона возрастания энтропии.
Легко видеть, что теорема Цемплена остается справедливой и в магнитной гидродинамике для ударных волн слабой интенсивности при одном только условии (72.7). В слабой ударной волне скачки всех величин малы. Разложив уравнение (72.4) по степеням скачков давления и энтропии, получим 360 МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА ГЛ. ЧН) первый член отвечает обычной гидродинамике (см. Ъ'1, ~ 86). Поскольку — (дЪ'(дР), > О согласно одному из термодинамических нсравенств2 то согласно требованию Н2 — в) > О из (72.8) следует неравенство Рэ > Р) и, соответственно, $Гт < ч21. Если помимо (72.7) положителен также и коэффициент теплового расширения, (дЪ',)дТ)р > О, то теорему Цемплена в магнитной гидродинамике можно доказать сведением к доказательству в обычной гидродинамике, без предположения о малости скачков всех величин 1Р.В.
Половин, Г.Я. Любарский, 1958; С.В. Иорданский, 1958). Пусть Р), Ъ~ заданное начальное состояние газа, и пусть Ят — энтРопиЯ в конечном состовнии газа НРи заДанном зна(а1 чении 192 в отсутствие магнитного поля. Энтропию же в конечном состоянии газа при тех же значениях Р), 'Р), $~ в присут(н1 ствии магнитного поля обозначим как н~~ . В обычной гидродинамике из Ът > Ъ~ слеДУет нт < н), что означает невозможность 1о1 волны разрежения.
Покажем, что (в указанных выше условиях) ят < яз, так что тем более нз < я), тем самым будет доказана (н1 1о1 1н) невозможность волн разрежения и в магнитной гидродинамике. Дифферснцируем уравнение (72.4) по Р2 при постоянном Ъ~. Используя равенство (де(дР))Г = Т(дн(дР)г., получим Г (" ) ~-1(И вЂ” И)2-( — ) =9, )12.9) 2 где обозначено Ввиду термодинамических соотношений знак первого члена в (72.9) совпадает со знаком (дЪ'))дТ)р и, по предположению, положителен. Поэтому если 1'2 > Р), то (дЯ(дР2)г, < О.
Наличие магнитного поля вызывает увеличение Я (без поля Я=О, а с полем С > О) и, следовательно, уменьшение Рт (при заданном Ъз). Поскольку, по предположению, (дв(дР))Г > О, то отсюда, в свою очередь, следует вз < Н2 1н) 1о) что и требовалось доказать. Наконец, рассмотрим уже упомянутый в начале параграфа случай, когда магнитное тюле с обеих сторон поверхности раз- 361 122 УСЛОВНЕ ЭВОЛГОЦНОННОСТН УДАРНЫХ ВОЛН рыва лежит в тангенциальной к ней плоскости Н„= 0 (перпендикулярная ударная волна). Из (72.5) имеем в этом случае УГ2 = УГЫ т. Е, тангвнциальная СОСтавляЮщая СкОрОСти ОСтаЕтся непрерывной. Соответствующим выбором системы координат можно поэтому всегда добиться, чтобы с обеих сторон разрыва было уг = О, т, е, газ двигался бы перпендикулярно к разрыву; будем считать это сделанным.
Далее, из уравнения (72.2) имеем Ъ"2Н2 = Ъ'г НЫ Имея в виду это соотношение, легко убедиться в том, что уравнения (72.3), (72А) могут быть написаны в виде .2 Р2 — Рг у И вЂ” гг2 е2 — е1 + — (Р2 + Рг )(Ъ2 Ъг) = Ог 2 отличающемся от обычных уравнений для ударных волн в отсутствие магнитного поля лишь изменением уравнения состояния; вместо истинного уравнения Р = Р(Ъ; В) надо пользоваться уравнением Р* = Р*(Ъ;з), где Ь2 Р=Р+— 82гр2 а буквой 6 обозначено постоянное произведение НЪ'. Соответственно, а' должно быть определено так, чтобы выполнялось термодинамическое соотношение (де*/дЪ'), = — Р*г откуда Я =Е+ Р2 8хЪ' 8 73.
Условие эволюционности ударных волн Для возможности реального существования гидродинамический разрыв должен быть устойчив относительно расщепления на два или более других разрывов. Это условие можно иначе сформулировать как требование, чтобы любое бесконечно малое возмущение начального состояния приводило бы лишь к бесконечно малым же изменениям разрыва; удовлетворяющие этому требованию разрывы называют зволюционнъгААН.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
