VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Подчеркнем, что свойство эволюционности отнюдь не совпадает с устойчивостью в обычном смысле этого слова. Обычная неустойчивость означает постепенное возрастание начального малого возмущения, приводящее в конце концов к разрушению данного режима движения; но даже при экспоненциальном (как ег', 7 ) 0) возрастании в течение достаточно малого промежутка времени (~ ~ 1гсу) возмущение остается малым.
В нсэволюционном 362 МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА ГЛ. Ч1Н же разрыве возмущение сразу делается большим (хотя при малых 1 оно и занимает еще малую область пространства). Это иллюстрируется рисунком, на котором изображено расщепление скачка плотности р(х) на два последовательных скачка (рис. 41): возмущение ор не мало, хотя и занимает Гтри малых 1 (когда оба разрыва еще нс разошлись на заметное расстояние) лишь малый интервал ох.
Ьх Критхсрий зволюциовности можно получить путем подсчета числа независимых параметров, определяющих произвольное начальное (при 1 = 0) малое возмущение разрыва, и числа уравне- Рис. 41 ний (линеаризованных граничных условий на разрыве), которым они должны удовлетворять. Разрыв зволюционен, если оба числа одинаковы; тогда граничные условия однозначно определяют дальнейшее развитие возмущения, которое при малых 1 ) 0 останется малым1). Если же число уравнений больше или меньше числа неизвестных параметров, то задача о малом возмущении разрыва не имеет решения вовсе или имеет их бесконечное множество. Ни то, ни другое невозможно, и такая ситуация будет свидетельствовать о неправомерности исходного допущения (малость возмущения при малых с); разрыв незволюционен. В обычной гидродинамике требование зволюционности ударных волн не приводит к каким-либо дополнительным ограничениям по сравнению с условием возрастания знтропии: ударные волны, допускаемые теоремой Цемплена, автоматически зволюционны (см.
111, З 88). В магнитной гидродинамике зто не так1 и требование зволюционности налагает новые существенные ограничения на характер изменения величин в ударной волне (А.И. Ахисзср, Г.Я. Любарский, Р.В. Половин, 1958). Приступая к фактическому выяснению условия зволюционпости магнитогидродинамических ударных волн, подсчитаем 1трежде всего число уравнений, которым должно удовлетворять произвольное малое возмущение на поверхности разрыва. Будем представлять себе ударную волну как плоскую и выберем ее плоскость в качестве плоскости рю Положительное направление оси я выберем в сторону движения газа через поверхность разрыва. Невозмущенные поля Н1, На и скорости газа и1, из по обе стороны разрыва пусть лежат в плоскости ху.
) При атом волна может быть как неустойчивой (если среди собственных частот уравнений имеются комплексные с положительной мнимой частью), так и устойчивой (ссли таких частот нет). УСЛОВИЕ ЭВОЛ1ОЦИОННОСТИ УДАРНЫХ ВОЛН 363 С каждой стороны поверхности разрыва подвергаются возмущению семь величин; три компоненты скорости жидкости (п, ну, н,), две компоненты магнитного поля (Ну, Н,), плотность р = 1/Ъ' и энтропия в. Возмущения остальных термодинамических величин (Р., ш) определяются возмущениями р и в.
В силу уравнения с11н Н = дН /дх = 0 продольная компонента поля Н постоянна вдоль оси я и возмущению не подвергается. Кроме того, возмущению подвергается скорость распространения самой ударной волны, т. е. у нее появляется малая скорость (обозначим ее через бП) по отношению к выбранной системе координат (в которой невозмущенный разрыв покоится). Эта скорость, однако, может быть сразу выражена через возмущения р и и из условия непрерывности плотности потока массы у через разрыв. Действительно, скорость газа относительно разрыва есть и о+бн, — бП, где н,с невозмущенная скорость, бс, — ее возмущение; написав также р = ро + бр, линеаризовав граничное условие Я = 0 и опустив затем индекс 0 у невозмущенных величин, получим (бЛ = Ербн*)+ (.
*бр) — бП)р) = О откуда определяется бы'. Линеаризация граничных условий непрерывности компоненты П, потока импульса и компоненты Еу электрического поля (т. е. е-компонент уравнений (70.4), (70.5)) дает два уравнения ( - --'. ри бн, — — Н,бН,) = О, (Н,бс, — н,бН,) = 0 4Х (напомним, что невозмущенные значения н, = О., Н, = 0). Эти уравнения содержат возмущения только двух величин: бн„бН,. (73.1) Граничные же условия непрерывности потока энергии ц„компонент П, Пу потока импульса и компоненты Е, электрического поля (т. е. уравнения (70.2), (70.3) и у-компоненты уравнений (70.4), (70.5)) дают четыре линейных уравнения, которые содержат возмущения би„бну, бНу, бр, бв; (73.2) мы не будем выписывать их здесь. Подсчитаем теперь число параметров, определяющих возмущение ударной волны.
Возмущения, зависящие от времени как е ™, распространяются в обе стороны от разрыва в виде магнитогидродинамических волн трех видов (альвсновские, быстрые 364 МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА ГЛ. Ч1Н и медленные магнитозвуковые) и в виде энтропийной волны; последняя представляет собой малое возмущение энтропии, которое (в силу адиабатичности течения газа) переносится вместе с самим газом, с его скоростью. При этом все эти волны должны, конечно, быть уходящими распространяться влево или вправо от разрыва. В каждой волне изменения всех величин связаны друг с другом определенными соотношениями (как это было показано в з 69): поэтому каждая волна определяется всего одним параметром — амплитудой какой-либо одной величины.
Магнитозвуковые и энтропийные волны переносят возмущения (73.2), а альвеновские волны возмущения (73.1). Поскольку уравнения для этих двух групп возмущений разделяются, то условие эволюционности должно быть выполнено для каждой из них в отдельности (С.о. Съ1роватский, 1958); это обстоятельство еще усиливает возникающие ограничения. Рассмотрим сначала условия эволюционности относительно альвеновских возмущений. Оно требует, чтобы число уходящих волн равнялось двум — по числу уравнений.
ГРазовые скорости альвеновских волн относительно поверхности разрыва могут быть равны и,1 ш иА1, ьхг ш иА21 где иА фазовая скорость (69.6) волны относительно газа. По условленному выбору направления оси х скорости газа их1, ьхг > О. В области 1 перед разрывом волна уходит от него, если ео фазовая скорость (относительно разрыва) отрицательна, а в области й позади разрыва .—. если она положительна. Волна со скоростью и 1 + иА1 этому условию никогда не удовлетворяет (она всегда приходящая), а волна со скоростью и 1 — иА1 уходящая при их1 < иА1. Аналогичным образом волна со скоростью ихг + иА2 ВСЕГДа УХОДЯЩаЯ, а СО СКОРОСТЬЮ и г — иА2 — УХОДЯЩаЯ при гхг > илг. Поэтому существуют 21 2 две области эволюционности относитель- но альвеновских волн: и62 1) их1 > иА1 их2 > 21А2 2) иы < иА1, ихг < илг иА2 Эти области отмечены на рис.
42 вертикальной штриховкой; рисунок построен с учетом неравенств (73.3) 21м < иА < ие. и 1 и„1 им ии1 Условие эволюционности по отношеРис. 42 нию к магнитозвуковым и энтропийным возмущениям требует, чтобы чиш1о уходящих волн было равно четырем. Уходящая энтропийная волна, перемещающаяся вместе с газом, всегда существует, но только со стороны й. Число 365 услОвне ВВОл1ОцнОннОстн удАРных ВОлн уходящих магнитозвуковых волн должно позтому быть равно трем. Рассуждения, подобные проведенным выше для альвеновских волн, приводят к двум областям зволюционности по отношению к рассматриваемой группе возмущений, показанных на рис. 42 горизонтальной штриховкой ').
Пересечение обеих штриховок определяет две области зволюционности относительно всех возмущений: 1) быстрые ударные волны, для которых ип1 > иб1 иб2 > ип2 > иА2 (73.4) и 2) медленные ударные волны, для которых иА1 >ив1 >и 1, им2>иа2 (73.5) (мы вернулись к обозначению нормальной компоненты скорости газа как пв вместо пе). В предельном случае слабой интенсивности волны (малые скачки всех величин) быстрые и медленные ударныс волны распространяются со скоростью соответственно иб2 иб! и им2 им1 ° Применим полученные условия зволюционности к выяснению характера изменения магнитного ноля в ударной волне. Исходим из равенства (72.2) или ( —" — иш)Н11 = ( — '* — и 2)Нгй (73.6) 4п 1' 4п1 Заметив, что Н ((4пр) = иА, можно иначе переписать его в виде 2 2 2 2 2 2 |НЫ = Аз зН12 ° (73.7) е,1 еез С учетом неравенств (73.4), (73.5) из (73.7) видно, что тангенциальные поля по обе стороны ударной волны ве только коллинеарны, но и направлены в одну сторону.
В медленных ударных волнах с обеих сторон разрыва Н„ЕА ип ( —" = —. 4хд е„ Заметив также, что из непрерывности потока массы, рги„1 = рзи„2, и из неравенства р1 < р2 следует, что (73.8) ип1 > ив21 ') Отметим, что среди областей незволюционности существуют случаи, когда число параметров как больп1е, так и меньше числа уравнений, — по каждой из двух групп возмущений, 366 МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА ГЛ. ЧШ из (73.6) приходим к заключению, что НГч < Нп, т.
е. в медленной ударной волне тангенциальное магнитное поле ослабляется. В быстрой же волне н„> Н~((4ху) и из (73.6) следует, что НГз > Нп, т. е. тангенциальное магнитное поле усиливается. Отметим частный случай ударных волн, в котором магнитное поле с обеих сторон поверхности разрыва параллельно нормали к ней. Как было указано в начале 3 72, всегда можно выбрать систему координат таким образом, чтобы с обеих сторон векторы ч и Н были параллельны друг другу.
Тогда в рассматриваемом случае будет Нп = НГ2 О чм = чГз О (параллельнал ударная волна). Для такой волны граничные условия вообще вс содержат магнитного поля, т. с, совпадают с граничными условиями для ударной волны в обычной гидродинамике. Наличие магнитного поля приводит, однако, к тому, что в определенном интервале значений параметров волны нарушаются условия эволюционности и такие волны становятся невозможными (см. задачу).
Что касается рассмотренных в конце предыдущего параграфа перпендикулярных ударных волн, то все такие волны сжатия зволюционны, причем они являются быстрыми волнами. Последнее очевидно уже из того, что при Н„= О скорости иА = им = О. Рассмотрев различные типы разрывов в магнитной гидродинамике, остановимся еще на вопросе о возможности сущоствования переходных случаев между зтими типами, т. е. разрывов, которые обладали бы одновременно свойствами двух типов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
