VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Несколько более сложными рассуждениями можно доказать тот же результат и без этого ограничения. 371 тугеулентное динАмО с удвоенным значением поля в торе. Многократное повторение такого цикла приводит к неограниченному зкспоненциальному усилению поля. Очевидно, что такое движение принципиально трехмерно. Рис. 45 Конечно, эта иллюстрация не является доказательством действительного существования турбулентного динамо; существуют еще и движения, дробящие масштабы поля. Для выяснения этого вопроса необходимо прямое исследование устойчивости турбулентного движения проводящей жидкости относительно малых начальных возмущений магнитного тюля. На этом пути были получены веские указания на то, что при достаточно больших значениях магнитного числа Рейнольдса генерация магнитного поля действительно происходит').
Мы не будем излагать этих, достаточно сложных, исследований, а остановимся лишь на общем описании установившейся картины магнитогидродинамической турбулентности в предположении существования турбулентного динамо. Как известно, турбулентное движение можно рассматривать как совокупность етурбулентных пульсаций» разных масштабов — начиная от основного, «внешнего», масштаба 1 до наименьшего, евнутреннего», мас»птаба Ле.
Первый совпадает с характеристическими длинами, определяющими размеры области, в которой происходит турбулентное движение. Второй же определяет порядок величины расстояний, на которых становится существенной диссипация энергии (см. Ъ'1, 8 33). Говоря о стационарной турбулентности, мы имеем в виду постоянство ео средних характеристик: усредненных по промежуткам времени порядка величины периодов соответствующих пульсаций, но, конечно, малых по сравнению со всем временем наблюдения. Мы будем отличать индексом Л средние характеристики пульсаций масштаба Л: так, ЕА, НА — средние изменения скорости и поля на расстояниях Л. Утверждение о существовании турбулентного динамо означает, что на основном масштабе 1 существуют магнитные поля Н1, плотность энергии которых Н12)(8х) сравнима с плотностью кинетической энергии жидкости рп12/2.
Другими словами, альве- ) См. Вайнштейн С.И. О ЖЭТФ. 1980. Т. 79. С. 2175: 1982. Т. 83. С. 161. 372 мАГнитнАЯ ГидгодинАмикА ГЛ. Ч1Н новская скорость в поле Н1, иА (74.3) сравнима с основным масштабом гидродинамической скорости н1 = и (изменение средней скорости на расстояниях 1). Для масштабов же Л «1 поля Нй «Н1 ). Сразу же подчеркнем главное отличие магнитогидродинамической турбулентности от обычной. В последней движение с основным массптабом не сказывается существенным образом на свойствах мелкомасштабных пульсаций оно приводит лишь к конвективному «сносу» последних.
В магнитогидродинамическом же случае, напротив, поле Н1 основного масштаба влияет на движения всех меньших масштабов. Поскольку для масштабов Л «1 поле Н1 можно считать локально однородным, а НА « Н1, то мелкомасштабное движение в этом случае есть не что иное, как совокупность магнитогидродинамических волн малой амплитуды с волновыми векторами 1с 1/Л и скоростями иА. Согласно (б9.11) в этих волнах кинетическая энергия жидкости и магнитная энергия одинаковы. Другими словами, в мелкомасштабных пульсациях с больпюй точностью соблюдается равнораспределение между магнитной и кинетической энергиями: Р"л (74.4) 41г По порядку величины зто соотношение можно экстраполировать к основному масштабу, где оно дает и иА в согласии с предположением.
Рассмотрим область значений масштабов Л в интервале 1»Л»Л,. (74.5) Следует иметь в виду, что вязкостная диссипация и джоулева диссипация могут, вообще говоря, становиться существенными при различных значениях Л, и в этом смысле в магнитогидродинамической турбулентности могут существовать два внутренних масштаба:, под Ло в (74.5) подразумевается ббльший из них, так что в области (74.5) (ее называют инерционной) нет никакой диссипации. ') Мы интересуемся здесь генерацией турбулентного магнитного поля с характерными размерами пространственного изменения < 1. Генерация «крупномасштабного» поля с характерными размерами» 1, как оказывается, возможна, лишь если усредненные характеристики турбулентного движения не инвариантны относительно пространственной инверсии (этот случай здесь не рассматривается).
Изложение соответствующей теории можно найти в книгах: Вайнштейн С.И., Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А. Турбулентное динамо в астрофизике. — Мл Наука, 1980; Маффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. — М.; Мир, 1980. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДИНАМО 373 Введем, как и в теории обычной турбулентности, среднее количество энергии (обозначим ес через е), диссипируемой в единицу времени в единице массы жидкости. Эта энергия черпается из крупномасштабного движения, откуда постепенно передается во все меныпие масштабы, пока не диссипируется в пульсациях масштабов Л < Ло. Очевидно, что в инерционной области, где диссипация отсутствует, величина е представляет собой в то же время постоянный (не зависящий от Л) поток энергии в направлении уменьшающихся масштабов. В обычной, чисто гидродинамической турбулентности можно было утверждать, что локальные (т. е.
на длинах Л « 1) свойства турбулентности должны определяться только величинами р, е и, разумеется, самими расстояниями Л, но не масштабами 1 и и размеров и скорости в целом; этого было достаточно для того, чтобы найти зависимость нх от Л уже из соображений размерности. В магнитогидродинамической же турбулентности локальные свойства могут зависеть и от поля Н~ (или, что то же, от скорости НА). Для определения н1 соображения размерности теперь уже недостаточны и надо привлечь к делу соображения о фактическом механизме установления потока энергии. Этим механизмом является взаимодействие магнитогидродинамических волн малой амплитуды друг с другом, описываемое нелинейными членами в уравнениях движения. Поэтому поток энергии е должен разлагаться по степеням малых амплитуд нм причем зто разложение должно начинаться с членов более высокой степени, чем вторая (квадратичные члены соответствовали бы обычной диссипации, отсутствующей здесь).
Члены третьей степени зависели бы от фаз взаимодействующих волн и выпадают при усреднении по этим случайным фазам. Поэтому ес энА. Теперь уже коэффициент пропорциональности можно определить из соображений размерности (е имеет размерность эргдг.с) = смз/сз): (74.6) или нл (иАЕЛ) ~ (74.7) (Н.Н. КгаЫгпап, 1965). Это выражение заменяет собой закон Колмогорова — Обухова (УА (ЕЛ)НЗ) обычной гидродинамической турбулентности.
Экстраполируя (74.6) к основному масштабу, получим для е оценку е и /(ил1) и /1 - — такую же, как в обычной гидродинамике. Внутренний масштаб турбулентности Ло можно оценить, исходя из представления о мелкомасштабных пульсациях как о магнитогидродинамических волнах на фоне крупномасштабного поля Нь Вязкость и проводимость среды приводят к поглощению 374 МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА ГЛ. ЧП1 этих волн; соответствующий коэффициент поглощения 7 был найден в задаче к З 69. Диссипация становится существенной, когда длина поглощения 1 11э сравнивается с длиной волны, т.
е. с масштабом Л. Поскольку магнитогидродинамические волны распространяются со скоростью НА (не зависящей от их длины), то частота ш ИА/Л. Для коэффициента поглощения имеем оценку и «- и '7 ЛИ Из условия 7 1/Л при Л Ле находим внутренний масштаб: Л (74.8) ИА Н Если и» и, то ЛЕ и11и 111В, где В и111и — число Ройнольдса для основного движения.
Аналогично, при и» и имеем Ло 1/В В заключение отметим еще одно интересное свойство турбулентного движения сильно проводящей среды: магнитное поле выталкивается из турбулентной области. Действительно, рассмотрим занятую турбулентностью конечную область, вне которой имеется магнитное поле. Силовые линии этого поля, входя в турбулентную область, запутываются в ней в силу своей «вмороженностиь; магнитное поле становится хаотичным по направлениям. Это и означает обращение в нуль среднего по времени значения напряженности Н, причем с тем большей точностью, чем выше проводимость среды (конечная проводимость приводит к «проскальзыванию» силовых линий, так что хаотизация поля оказывается неполной).
Другими словами, при наложении не слишком сильного магнитного поля на турбулентно движущуюся (в ограниченной области) жидкость последняя будет вести себя как диамагнитная среда с малой магнитной проницаемостью (д «1) — тем меньшей, чем больше магнитное число Рейнольдса В Достаточно же сильное магнитное поле не может не проникнуть в жидкость. Это, однако, не означает, что сильное поле должно полностью подавить турбулентность. В сколь угодно сильном однородном внешнем магнитном поле (направленном по оси г) возможна двумерная турбулентность, в которой скорость жидкости везде параллельна плоскости лу н не зависит от координаты я.
Действительно, в этом случае го1 [ЧН) = (Н~7)ч = 0 и из (65.2) следует, что движение жидкости не возмущает внешнее поле, оно остается однородным. Не возникает поэтому и токов, и сила Лоренца равна нулю. Можно сказать, что двумерное движение вообще «не чувствуети однородного поля. Именно в такую двумерную турбулентность, по-видимому, вырождается турбулентность в сильном внеп1нем поле. ГЛАВА 1Х УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН $ 75. Уравнения поля в диэлектриках в отсутствие дисперсии В ~ 58 бьши написаны уравнения переменного электромагнитного поля в металлах: гоС Н = — "пЕ, гоФ Е = — — —, (75.1) с с д1 справедливые прн достаточной медленности изменения поля: частбты поля должны быть такими, чтобы оставались справедливыми зависимости ) от Е и В от Н (если отличие В от Н вообще существенно), относящиеся к стационарному случаю ).
Теперь мы обратимся к аналогичному вопросу для переменного электромагнитного поля в диэлектрической среде и сформулируем уравнения, справедливые для таких частот, при которых связь между О и Е и между В и Н остается еще такой же., как в постоянных полях. Если, как это обычно бывает, зта связь сводится к простой пропорциональности, то указанное условие означает, что можно полагать Нх еЕ, В=)тН (75.2) со статическими значениями е и )з. Зги соотношения нарушаются (или, как говорят, появляется дисперсия е и )г) при частотах, сравнимых с собственными частотами тех молекулярных или электронных колебаний, с которыми связано появление электрической или магнитной поляризации вещества. Порядок величины этих частот зависит от рода вещества и меняется в очень широких пределах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
