VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Такие возможности сильно ограничены условиями, вытекающими из требования эволюционности. Прежде всего альвеновский разрыв не может непрерывно перейти в ударную волну. Действительно, в ударной волне нормаль к поверхности разрыва и магнитное поле по обе ее стороны лежат в одной плоскости. Такая ударная волна может совпасть с альвеновским разрывом, только если в нем вектор Н поворачивается на 180'. Но тогда тангевциальная компонента поля меняет знак, между тем как в зволюционной ударной волне она не меняет знака.
Между быстрой и медленной ударными волнами непрерывный переход был бы возможен только при Нп = НГЯ = О, так как в быстрой волне поле НГ (если оно отлично от нуля) усиливается, а в медленной ослабляется; другими словами, непрерывный переход мог бы быть только между параллельными быстрой и медленной волнами. Но области зволюционности зтих волн соприкасаются только при НА1 = иеп когда медленная волна исчезает (см.
задачу 1). Таким образом, непрерывный переход между быстрыми и медленными ударными волнами невозможен. 367 услОВВВ ВВОл1ОцноннОстн удАРных ВОлн Быстрая волна не может непрерывно перейти в тангенциальный разрыв в силу неравенств (73.4). Таким образом, возможны непрерывные переходы лишь между тангенциальным разрывом, с одной стороны, и контактным разрывом, альвеновским разрывом или медленной ударной волной — с другой. Задачи 1. Найти область значений ег, в которой нарушается зволюционность параллельной ударной волны в идеальном (в термодинамическом смысле) одноатомном газе с отношением теплоемкостей срггс = 5/3.
Р е ш е н и е. Для указанного газа тепловая функция ш = 5Р/(2р) и система граничных условий (70Л) — (70.3) принимает вид 2 2 Р1е1 Р2е2 Р1 + Рге1 Р2 с Р2ег Рг 2 Рг ег + 5 — = ег + 5 —. Рг Р2 Отсюда находим егг 1 Зиогг ег = 4ег (где ио = (5Р/Зр)'1~ — обычная скорость звука) и далее, ~Р~ ег + Зиог 2 2 ВА2=1 иА1= илы 7 рг 2ег иог = 4ег и1п = шах(иог,.елг), и 1 = пгш(иог,илг), иш = игах(иог,илг), и г = ппп (иог,илг). Нри илг < иог условия зволюционности нсегда выполняются, причем ударная волна является быстрой.
На рис. 43 изображен примерный вид зависимостей ег(ег) (жирная линия) и илг(ег), иш(ег) = иог(ег) в зтом случае; наклонная штрихпунктирная прямая биссектриса прямого угла. иА1 иб1 — ио1 Е1 иул иА1 Е1 Рис. 44 Рнс. 43 На рис. 44 изображена аналогичная диаграмма для случая илг > иог. тонкие линии — снова зависимости илг(ег) и иш(ег); на различных участках зтих линий указано, какая из скоростей, ибг или и 2, с ними совпадает. 368 мАГнитнАя ГидгодинАмикА ГЛ. Чп! Жирная сплошная линия — зависимость вг(в! ) в областях зволюционности, причем левая ее часть отвечает медленным, а правая — быстрым ударным волнам. Жирная штриховая кривая — незволюционный участок, занимающий интервал иА1 < в! < 4ил, — Зисг,. он ограничен справа точкой, в которой вг = илг ).
2. Впереди ударной волны тангенциальное магнитное поле Нм = О, а позади Нгг ~ О (такую ударную волну называют волной е люченил). Найти интервал значений скорости в„1, которой может обладать такая волна в газе с теми же термодинамическими свойствами, как и в задаче П Р е ш е в и е. Из (72.2) следует, что при Нн = О скорость волны относительно газа позади нее: Н„ в г= " =ил!, чг4хрг а относительно каза впереди; Рг Рг в„! = — в„г = иА! — > иА!.
Это волна — быстрая; в„1 и в„г связаны друг с другом соотношением г г! 1в 2 — иА1 Для волны включения в газе с указанными термодинамическими свой- ствами из граничных условий можно получить г В!2 Р1 г г г г — = — (в 1 — иА1)(йиА1 — Зис! в 1). 8 Зи,, Поскольку правая часть равенства должна быть положительна и поскольку В„! > иям тО ЯСНО., Чта ВОЗМОЖНЫЕ ЗНаЧЕНИЯ Вч! В ВОЛНЕ ВКЛЮЧЕНИЯ ОГРаНИ- чены интервалом иА1 < в 1 < йиА! Зие1 Как видно из этих неравенств, волны включения возможны только при иА! > иш.
На рис. 44 этим волнам отвечает отрезок гонкой сплошной линии, отмеченной буквами ВВ. 8 74. Турбул ен тн ое ди н ам о Турбулентное движение проводящей жидкости обладает замечательным свойством: оно может приводить к самопроизвольной генерации сравнительно больших магнитных полей; об зтом явлении говорят как о турбулентном динамо. В проводящей ') Об отрезке линии В — см. задачу 2. 21 Волной выключения называют ударную волну, в которой Нн ~ О, Н12 = О. Она относится к медленным волнам; ее скорости 2 в ! — иА1 в 2 — '~Р11РгиА2 < иА2, в 1в 2 = иА2.
Может возникнуть сомнение в зволюционности волн включения и выключения:, так, в волне включения в ! > иА1, и потому, казалось бы, от нее может отходить только одна альвсновская волна возмущений со скоростью в„г + илг = 2илг назад. Не надо забывать, однако, что при наложении возмущения тангенциальное магнитное поле становится отличным от нуля, 369 тугнулентнОе динАмО д~ ' = — (У~7)Н, + и ЬН,; (74.1) жидкости всегда существуют малые возмущения, вызванные факторами, посторонними по отноп|ению к самому движению жидкости, и сопровождающиеся появлением очень слабых электрических и магнитных полей (так, возмущения могут быть связаны с магнитомсханическим эффектом во вращающихся участках жидкости или даже с тепловыми флуктуациями).
Вопрос заключается в дальнейшем поведении этих возмущений . будут ли они в результате турбулентного движения в среднем усиливаться со временем или же затухнут. Ход изменения со временем раз возникнувших возмущений магнитного поля определяется игрой различных физических факторов. В направлении усиления поля действует специфический магнитогидродинамический эффект растяжения силовых линий. В 9 65 было показано, что при движении жидкости (с достаточно большой проводимостью) магнитные силовые линии тоже перемещаются как «вмороженныен в нее, причем напряженность магнитного поля меняется пропорционально растяжению силовой линии в каждой ее точке.
Но при турбулентном движении любые две близкие частицы жидкости с течением времени в среднем расходятся. В результате силовые линии растягиваются, а магнитное поле усиливается. В направлении уменьшения поля действует диссипация магнитной энергии, выделяющейся в виде джоулева тепла индукционных токов. Поскольку диссипация энергии пропорциональна (го1Н), т. е. квадратична по пространственным производным поля, ясно, что для движения с достаточно большими пространственными масштабами изменения поля диссипация будет мала. Это еще отнюдь не означает, что поле на таких масштабах будет усиливаться. Дело в том, что упомянутое растяжение силовых линий сопровождается их нзапутыванием», что приводит к уменьшению пространственного масштаба.
Поэтому возможна ситуация., когда вместо усиления поля с данным масштабом возникает лишь поток энергии от турбулентных пульсаций с большими масштабами к пульсациям с меньшими масштабами; дойдя до достаточно малых масштабов, энергия диссипируется. Именно такая ситуация имела бы место в случае «двумерной» турбулентности, когда скорость движения жидкости у везде параллельна одной и той же плоскости ху (Я.Б. Зельдович, 1956); подчеркнем, что генерируемое поле Н при этом нс предполагается двумерным.
Покажем это. Рассмотрим, прежде всего, .эволюцию перпендикулярной по отношению к движению жидкости компоненты поля Н,. С учетом равенств бйу Н = О и с11у у = О (в этом параграфе жидкость СчитаЕм нЕСжимаЕмОй!) Е-кемпОНЕвта уравнЕния (66.1) принимает вид 370 мАГнитнАЯ ГидгодинАмикА ГЛ.
Ч1П в него входит только Н,. Первый член описывает просто перенос данного значения Н, вместе с элементом жидкости, к которому оно относится. Второй же член описывает «диффузионное» выравнивание значений Н, в разных точках жидкости. Очевидно, что ни тот, ни другой эффекты не могут привести к возрастанию Н,. Если начальное возмущение Н, занимает конечную область пространства1 то вследствие «диффузии» с течением времени оно затухнет. При доказательстве затухания компонент поля Ня, Ну можно положить Н, = О, поскольку нам надо исключить именно возможность того, что эти компоненты останутся после затухания Н, ).
Сделаем это при дополнительном ограничении, что 11 все величины (и и Н) не зависят от координаты г ). Тогда вектор го1Н направлен по оси г; то же самое относится к вектору (ЧН), а потому (как зто видно из выражения (66.6)) по оси г направлено и электрическое поле Е. В таком случае можно описать электромагнитное поле с помощью векторного потенциала А, направленного по оси г и не зависящего от координаты г; Ня= ", Нв — — — ', Е,= — — ', 141ЧА= '=О.
дА„дА, 1 дА, . дА, др' " дл' ' ° д» ' дз Подставив эти выражения в (66.6)1 получим, после простого преобразования, уравнение для А,: * = — (н'7)А, + м ЬА„ (74.2) дг точно совпадающее по виду с уравнением (74А). Отсюда снова следует, что с течением времени возмущения А„а с ними и Ня1 Ню затухают. Таким образом, турбулентное динамо представляет собой существенно трехмерное явление. Для иллюстрации этого обстоятельства укажем следующий пример движения, приводящего к усилению поля без изменения его пространственного масштаба. Рассмотрим совокупность замкнутых магнитных силовых линий, вмороженных внутри некоторого тора в жидкости (рис.
45 а). Пусть при движении жидкости этот тор растянется по длине, скажем, вдвое (рис. 45 б); во столько же раз уменьшится площадь его сечения и увеличится величина магнитного поля. Далее, пусть при движении тор «скрутится» (рис. 45 в), а затем петли наложатся друг на друга (рис. 45 г). В результате получится конфигурация примерно тех же размеров, что и вначале, но ) Последующими рассуждениями не исключается возможность возрастания поля на Начальной стадии процесса. з) Это предположение делается здесь только для упрощения и не имеет принципиального характера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
