VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 78
Текст из файла (страница 78)
ИспользУЯ зто соотношение в качестве уравнения для ш, найдем частоты собственных колебаний намагниченности тела:, их называют частотами неоднородного ферромагнитного резонанса. Простейший вид магнитостатических колебаний однородно намагниченного эллипсоида колебания, не нарушающие однородности; намагниченность эллипсоида колеблется как целое. Нахождение их частот не требует нового решения уравнений поля и может быть осуществлено непосредственно с помощью СООтнсшЕний (29.14)1 Н; + п,ь(Вь — Нь) = У115 (79.7) где пвв — тензор коэффициентов размагничивания эллипсоида, Н и В относятся к полю внутри эллипсоида, а у1 внепзнес магнитное поле. Последнее предполагается однородным, а в Н и В снова выделяем колеблющиеся части Н' и В' на этот раз однородные по объему тела. Для них получаем соотношение Н,'+ и;ь(Вь — Н~) = О ') Рассматриваемые колебания называют поэтому магниглостатическилги.
Теория однородных (см. ниже) магнитостатических колебаний дана Киттелелг (Сл. Кгйе1, 1947), а неоднородных — Уокером (Ь. Иго1кет, 1957), 395 ДИСПНРСИЯ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ г 79 ИЛИ (бгй + 4пП«Х«ь)Н„'= О, где введен тензоР магнитной воспРиимчивости Хггй(а«) согласно опРеДелснию )ггь = бой + 4птгь. ПРиРавнЯв нУлю опРеДелитель атой системы однородных линейных уравнений, получим уравнение С)е1 ~бгй + 4хнгд«ь (а«) ~ = О, (79.8г) корни которого определяют частоты собственных колебаний. Их называют частотами однородного ферролгагниганого резонанса. Задачи 1. В рамках макроскопического уравнения движения магнитного момента (уравнения Ландау-Лифшица, см.
1Х, (69.9)), в отсутствие диссипации, найти тензор магнитной проницаемости для однородно намагниченного одноосного ферромагнетика типа легкая ось (ЛД. Лавдау, Е.М. Лифшиц, 1935 . е ш е н и е. Уравнение движения намагниченности в ферромагнетике: М = у((Н + «гМ«м)М), где у = Х)сЯ2тс) (и — - гиромагнитное отношение), «3 > 0 — козффициент анизотропии, и — орт оси легкого намагничения (ось г). Представим поле Н в виде Н = Но + Н, где Н вЂ”. малое переменное произвольно направленное поле, а Но постоянное поле, которое будем считать направленным вдоль оси г ).
Вместе с полем Н мала также и создаваемая им поперечная намаг- ниченность М„М„, а М„М = сопок Пренебрегая малыми величинами второго порядка, находим уравнения — гмоМ, = — у(Но + ВМ) Мо + ТМН„', — гшМо — — 7(Но -~- (3М)М, — "«МН'. Определив отсюда М„Мю найдем восприимчивость (как козффициенты в соотношениях М,' = ХгАН'„), а по ней проницаемость: 4к огм(огм + огн) г г д' «'* «г «ог — (ым Ч-ын)г . 4 го о«огм р „= — /г„=г— б ы' — (ым ч-ын)' где ым = у«9М, и««« = уНо ° Обратим внимание на гиротропию ферромаг- нитной среды (определение зтого понятия см, в З 101).
2. Найти частоты однородного ферромагнитного резонанса зллипсоида, одна из главных осей которого совпадает с осью легкого намагничения. В етом же направлении приложено внешнее поле (СЬ. КЖс1, 1947) ). Р е ш е н и е. Внутри зллипсоида вдоль оси г (ось легкого намагничения) имеется поле Но = й — 4хпм М ') Это поле вводим здесь, имея в виду применение результатов в следующих задачах. гг ) В задачах 2 — 4 предполагается, что магнитная проницаемость вещества дается формулами (1). 896 ГЛ.
1Х уРАВнения злектРОмАГнитных ВОлн (и)'), п)г), п)') козффициенты размагничивания вдаль главных осей зллипсоида). Простое вычисление определителя (79.8) приводит к уравнению )*) )г) г =О, (ггм + ьгн)г ьгг где гг)') = 7(Мд+ У) + 4хМ(п)') — и)*))), аг)г) = 7(Мд + б + 4хМ(п) г) — и)') )). Отсюда для частоты однородного резонанса; 00) )г))1«г Так, для шара имеем и)*) = п)г) = п)*) = 1)3 и резонансная частота ы = «(Мд ~-.б). Для плоскопараллельной пластинки, поверхность которой перпендикулярна к оси легкого намагничения, имеем и) ) = пШ) = О, и)*) = 1, и резонансная частота гг = у(М,З+ У) — 4хМ) (пластинка намагничена, если Мд+ 3 ) 4хМ). 3.
Найти закон дисперсии магнитостатических колебаний в неограниченной среде. Р е ш е н и с. С тензором д,г из (1) уравнение (79.6) принимает вид (2) Положив грс ге*"', найдем р(ьг) = — с18 В., где  — угол между 11 и осью легкого намагничения (осью г). С р(ы) из (1) (у) = 0) получим частоту колебаний ы = уМ(д + 4х з)пг В)1«г Она зависит только от напранления, но не от величины волнового вектора. Этот результат совпадает, как и должно быть, с предельным (при к — ) 0) законом дисперсии спиновых волн в ферромагнетике (см. 1Х, З 70). 4.Найти частоты неоднородного резонанса в неограниченной плоскопараллельной пластинке,поверхность которой перпендикулярна к оси легкого намагничения;вдоль етой же оси направлено внешнее поле 1).
Р е ш е н и е. Надо найти решение уравнения (2) для потенциала гВО) внутри пластинки и уравнения Ьг(1~'~ = 0 для потенциала вве пластинки с граничными уСлОвиями дсб) ду) ) , )О, ) ) цри г=~Х, дг дг 1гбй -з 0 при )г! — ~ со (ось г перпендикулярна к поверхности пластинки, плоскость г = 0 проходит через ее середину, 2Ь вЂ” толшина пластинки), Такое решение может быть 397 ЗНЕРГИЯ ПОЛЯ Н ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ четным нлн нечетным по 2. В первом случае 1РО1 = А соей,з е'ь *, грм1 = Ве ь гмеы", причем дй = — й„(нолноной вектор лежит н плоскости хз); граничные усло- 2 2 ния приводят к соотношению й, (3) Во втором случае грь1 = Ааш (й,з) е'ь', Згрй = хВе "'~ие™ х, н нз граничных условий получаем 13(й.ь) = — — '.
й, (4) й, Размагггнчннающнй козффнциент пластинки пм1 = 1, так что размагннчн- нающее поле: — 4лМ. С выражением д(27) из (1) находим частоту колебаний: т(мЗ -~ Я вЂ” 47гм) ( 27 ( у((мгЗ+ н — 47гм)(мЗ+ 0))7/2 прн й, — 7 О возможны только снммстрнчные колебания н нз (3) видно, что й,б (й,Ь) г т. е. является малой величиной второго порядка. Положнн соответственно атому а (5) В = О, найдем частоту, сонпадаюшую, как и должно быть, с частотой однородного резонанса. $ 80. Энергия поля н диспергирующих средах Формула 8 = — '(ЕН) (80.1) для плотности потока энергии остается справедливой в любых переменных электромагнитных полях, в том числе и при наличии дисперсии.
Это вполне очевидно из указанных уже в конце 3 30 соображений: ввиду непрерывности тангенциальных составляющих Е и Н формула (80.1) однозначно следует из условия непрерывности нормальной составляющей 8 на границе тела и из того, что она справедлива в пустоте вне тела. Изменение (в 1 с) энергии, сосредоточенной в единице объема тела, вычисляется как 71)у 8. С помощью уравнений Максвелла зто выражение приводится к виду — ЖУЯ = — (Š— +Н вЂ” ) 1 г' дП дВ1 477 д1 д1 (80.2) 272 = т~(М)З + б — 4хМ)(Мд + У1 — 4хМ сое2 В), (5) где  — угол между К и осью 2. При каждом произвольном значении й Имеется бесконечное множество дискретных значений й„определяемых услоннямн (3) н (4).
Соответствующие частоты даются выражением (5) н зависят только от отношения й ггй,. Все возможные значения частоты лежат н нн- тернале 398 УРАВНЕНИЯ ЭЛККТРОМАГНН'ГНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х (см. (75.15)). В диэлектрической среде в отсутствие дисперсии, когда е и д являются вещественными постоянными величинами, эту величину можно рассматривать как изменение электромаг- нитной энергии 51= — (еЕ +рН ) (80.3) 8Х имеющей точный термодинамический смысл: это есть разность между внутренней энергией 1 см вещества при наличии поля и энергией в отсутствие поля при тех же плотности и энтропии.
При наличии дисперсии такое простое толкование уже невозможно. Более того, в общем случае произвольной дисперсии оказывается невозможным какое-либо разумное определение электромагнитной энергии как термодинамической величины. Это обусловлено тем, что наличие дисперсии связано, вообще говоря, с одновременным наличием диссипации энергии; диспергирующая среда в то же время является поглощающей.
Для определения этой диссипации рассмотрим монохроматическое элоктромагнитное поле. Усреднив по времени величину (80.2), мы тем самым найдем систематический приток энергии (в единицу времени в единицу объема среды) от внешних источников, поддерживающих поле.
Поскольку амплитуда монохроматического поля предполагается постоянной, вся зта энергия идет на покрытие ее диссипации. Таким образом, в рассматриваемых условиях усредненная по времени величина (80.2) и дает среднее количество тепла ф выделяющегося в 1 с в 1 см среды. Поскольку выражение (80.2) квадратично по полю, то при его вычислении все величины должны быть написаны в вещественном виде.
Если же понимать под Е и Н, как зто удобно для монохроматического поля, комплексные представления величин, то в (80.2) надо подставить для Е и до/д~ соответственно выра- жения — (Е + Е*) и — ( — илеЕ + гша*Е*) 2 2 и аналогично для Н и дВ/д1. При усреднении по времеви произведения ЕЕ и Е" Е*, содержащие множители е~2' 1, обращаются в нуль; остается: Я = '" 1(е* — е)ЕЕ*+(д* — д)НН') = — "(е"!Е/~+дл/Н/~). (80.4) Это выражение можно написать также в виде Ч = — (клЕУ + длН2), 4х (80.5) где Е и Н вещественные напряженности поля, а черта означает усреднение по времени (ср, примеч, на с.
300). 399 ЭНЕРГИЯ ПОЛЯ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ вЂ” — ые(ы) ~Е,„~ —. г 2»»»О 4„/ 2х После подстановки е = е' +»ел член с е'(»с) обращается в нуль при интегрировании ввиду нечетности подынтегрального выра- жения как функции и». Вместе с аналогичным выражением для магнитного поля окончательно находим 00 ОО »" Он = — ' ) у"» )~н.~'~у( )~н.~',Π— ОΠ— ОО (80.6) (интеграл по ы от — ос до оо может быть заменен удвоенным интегралом от 0 до ос). Полученные формулы показывают, что поглощение (диссипация) энергии определяется мнимыми частями е и д; о двух членах в (80.5) говорят соответственно как об электрических и магнитных потерях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
