VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 79
Текст из файла (страница 79)
В силу закона возрастания энтропии зти потери имеют вполне определенный знак: диссипация энергии сопровождается выделением тепла, т. е. всегда»О» > О. Отсюда следует, что мнимые части е и,и всегда положительны: (80.7) Легко получить также формулу, определяющую диссипацию энергии в нсмонохроматическом поле, достаточно быстро обращающемся в нуль при» вЂ” Р ~ос.
В этом случае имеет смыс»» рассматривать диссипацию не в единицу времени, а за все время существования поля. Разложив поле Е(») в интеграл Фурье, пишем 2х д» у 2х причем Е = Е*. Написав произведение этих величин в виде двойного интеграла и проинтегрировав затем по времени, имеем — Š— »2»= — — ' ые(ы)Е Е е й Р р Ж. 4х / д» 4 / (2Х)О Интегрирование по» осуществляется формулой ~* е — «- О» Ж = 2»Г5(»н +»и'), после чего В-функция устраняется интегрированием по»В'. В результате получим 400 ГЛ.
1Х уРАВнения электРОмлгннтных ВОлн для всех веществ и при всех (положительных) частотах ). Знак же вещественных частей е и )А (при ы ~ О) не ограничен никакими физическими условиями, так что е' и )1' могут быть как положительными, так и отрицательными. Всякий нестационарный процесс в реальном веществе всегда в той или иной степени термодинамически необратим.
Поэтому электрические и магнитные потери в переменном электромагнитном поле всегда в какой-то (хотя бы и малой) степени имеются. Другими словами, функции ен(о1) и )Ао(о1) не обращаются строго в нуль ни при каком отличном от нуля значении частоты. Мы увидим в следующем параграфе, что зто утверждение имеет существенное принципиальное значение, хотя им ни в какой мере не исключается возможность существования таких областей частот, при которых потери становятся относительно весьма малыми. Области частот, в которых ел и )Ал очень малы (по сравнению с е' и )«'), называют областями прозрачности вещества. Пренебрегая поглощением, в этих областях оказывается возможным ввести понятие о внутренней энергии тела в электромагнитном поле в том жс смысле, какой она имеет в постоянном поле. Для определения этой величины недостаточно рассматривать чисто монохроматическое поле, так как благодаря его строгой периодичности в нем не происходит никакого систематического накопления электромагнитной энергии.
Поэтому мы рассмотрим поле, представляющее собой совокупность мовохроматических комгтонент с частотами в узком интервале вокруг некоторого сРеДнего значениЯ 1оо. НапРЯженности такого полн можно написать в виде Е = Кофе»""1 Н = Нефе»"'1 (80.8) где Ее(б), Но(й) медленно (по сравнению с множителем ехр( — ипог)) меняющиеся функции времени. Вещественные части этих выражений должны быть подставлены в правую часть (80.2), после чего мы произведем усреднение по времени по периоду 2п/1оо, малому по сравнению со временем изменения множителей Ео и На. ) Это утверждение относится к телам, находящимся (в отсутствие переменного поля) в термодинамически равновесном состоянии, что мы везде и подразумеваем.
Если тело уже само по себе не находится в тепловом равновесии, то () могло бы быть, в принципе, и отрицательным. Второй закон термодинамики требует лишь суммарного возрастания энтропии как под влиянием переменного электромагнитного поля, так и от термодинамической неравновесности, не имеющей отношения к наличию поля, Примером такого тела может являться вещество, атомы которого искусственно (т. е. не под влиянием самопроизвольного теплового возбуждения, а вневэним «полем накачки») приведены в возбужденные состояния.
401 ЭНЕРГИЯ ПОЛЯ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ Первый член в (80.2) после перехода к комплексному представлению Е принимает вид 1 К+К*В-~П' 4гг 2 2 (и аналогично для второго члена). Произведения Ео и Е*ЕА* исчезнут при указанном усреднении по времени, и потому их вообще не надо рассматривать. Таким образом, остается лишь — (Е + Е* — ) . (80.9) Напишем производную дВ/д1 в виде гЕ, где г" обозначает оператор У= — е, д1 ' и выясним,к какому результату приводит действие этого оператора на функцию вида (80.8).
Если бы Еа была постоянной, то мы имели бы просто уЕ = г(го)Е, у(го) = — иле(ю). В нашем же случае произведем разложение Фурье функции Ео(1), представив ее в виде наложения компонент вида Еа е Рн с постоянными Еа„. Медленность изменения Еа(Г) означает, что в зто разложение войдут лишь компоненты с сг «ыа. Имея это в виду, пишем уЕа,е цшВ, ~г 2г(ГГ+ ггга)ЕООе '(ш ' — ~У( )+ "П")1 Еа е-""')' д ~В Произведя теперь обратное суммирование компонент Фурье, получим уЕ (г)е — гшоГ УГ(~~ )Е е — ъшог + 4г1у(ша) д Ве-ГшВГ дшВ д1 Опуская ниже индекс 0 у юо, имеем, таким образом: — Э = — ' ( )Е г1(~~) дЕ~ -ы~ (80.10) Подставив это выражение в (80.9) и помня, что мнимой частью функции е(гл) мы пренебрегаем, получим 1 гг(ше) (ЕАдЕо + Е дЕВ1 1 гг(ше) д (ЕЕ,) 16х г1ш 1 д1 д1 / 1бх г1е д1 о + а (произведение ЕаЕа совпадает с ЕЕ*). Прибавив аналогичное выражение с магнитным полем, приходим к выводу, что 402 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ.
1Х скорость систематического изменения энергии 1 см среды дается производной Л7/Ж, где 71 = — ( ( )ЕЕ" + ( ")НН"] 16Х ! В1У ЙУ (80.11) С помощью вещественных напряженностей Е и Н зто выражение напишется в виде Г= — ( ( )Ее+ ( Р)НВ] 8Х ! ЖУ В1У (80.12) й 81. Тензор напряжений в диспергирующих средах Представляет существенный интерес также и вопрос о среднем (по времени) тензоре напряжений, определяющем силы, действующие на вещество в переменном электрическом поле.
Покажем, .что и при наличии дисперсии (но по-прежнему в отсутствие поглощения) выражение для этого тензора не содержит, в отличие от выражения (80.12) для энергии, производных по (В. ВГ111оп1п, 1921). Это и есть искомый результат: Г есть среднее значение электромагнитной части внутренней энергии единицы объема прозрачной среды.
При отсутствии дисперсии е и 11 постоянны и (80.12) переходит, как и должно быть, в среднее значение выражения (80.3). Если подвод электромагнитной энергии к телу извне прекращается, то фактически всегда имеющееся хотя бы очень малое поглощение приведет в конце концов к переходу всей энергии Г в тепло. Поскольку, согласно закону возрастания энтропии, зто тепло должно именно выделяться, а не поглощаться, то должно быть 71 > О. Согласно формуле (80.11) для этого должны выполняться неравенства ) > О, ( ") > О.
(80.13) В действительности зти условия автоматически выполняются как следствие более сильных неравенств, которым всегда удовлетворяют функции е(ш) и 11(В1) в областях прозрачности (см. примеч. на с. 418). Подчеркнем лишний раз, что выражение (80.12) получено в первом приближении по частотам а изменения амплитуды Ео(~). Поэтому оно справедливо только для полей, амплитуда которых меняется со временем достаточно медленно (это замечание относится также и к вычислению тензора напряжений в следующем параграфе) . 1 81 ткнзсР ИАПРяжнний в диспкРГиРующих сРИДАх 403 частоте.
В частности, для прозрачной диспергирующей изотропной жидкости в монохроматическом электрическом поло среднее значение сг;ь получается из (15.9) просто заменой е на е(ы) и произведений Е,Еы Е2 их средними значениями Е;Еы Е2 (Л.П. Питаевский, 1960). Для доказательства этого утверждения вернемся к изложенному в з 15 выводу, несколько переформулирован его. Мы рассматривали там заполненный диэлектриком плоский конденсатор и определяли тензор напряжений из условия равенства работы пондеромоторных сил при смещении обкладки изменению соответствующего термодинамического потенциала. Напишем здесь это условие для полных (а не на единицу площади) величин, представив его в виде Аггзьг,пь = (дФ)Р, (81.1) (А — площадь обкладки конденсатора). Вместо потенциала Я здесь использована обычная энергия Ф, изменение которой рассматривается при заданных значениях энтропии .х' диэлектрика и полных зарядов же на обкладках конденсатора (вместо заданного потенциала ст); использовано, что согласно теореме о малых добавках (бУ)2,„= (дФ)Р, В виде (81.1) это условие имеет особенно простой смысл: теплоизолированный конденсатор с заданными зарядами на обкладках представляет собой электрически замкнутую систему; если же внешний источник производит над ним механическую работу (смещая обкладки)., то вся зта работа идет на увеличение энергии конденсатора.
Энергия конденсатора: тг = тго+ —, (81.2) 2С где Фю энергия диэлектрика в отсутствие поля (при том же значении энтропии .х'), а С вЂ” емкость конденсатора; для плоского конденсатора С = еА/(4чгй), где 6 расстояние между обкладками. Отсюда; М4')я, (б~ю).Р (дС),Р. (81.3) Выразив бС через смещение обкладок с (с учетом зависимости е от плотности диэлектрика, меняющейся при смещении), легко получить формулу (15.9) '); ввиду очевидности результата, не будем на этом останавливаться. ') При этом она окажется выраженной через другие пораненные: вместо изотермических производной дв/др и функции Рс в ней будут фигурировать адиабатичгскне.
Оба выражения, разумеется, эквивалентны. 464 гл. 1х уРАВнения электРОмАгнитных ВОлн При наличии дисперсии выражение для энергии т' меняется. Покажем, что тем не менее соотношение (81.3) остается в силе для средней по времени вариации 54А', тем самым будет доказано и сделанное выше утверждение об усредненном тензоре напряжений. Пусть заряд на обкладках конденсатора меняется по моно- хроматическому закону с частотой ш. Тогда конденсатор сам по себе уже не будет электрически замкнутой системой, ввиду необходимости подводить и отводить заряд. Такой системой, однако, является колебательный контур с собственной частотой ш, состоящий из конденсатора и должным образом подобранной само- индукции ); поэтому для его энергии справедливо соотношение (81.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
