VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 83
Текст из файла (страница 83)
После этого интеграл можно дифференцировать по параметру а1, как обычный интеграл, не имеющий особенностей в подынтегральном выражении. Произведя такое дифференцирование, получим 4 1 * л(*и* / (мз з)з ' о Ввиду положительности подынтегрвльного выражения во всей области интегрирования мы приходим к выводу, что ( ) >О, (84.1) йп т. е. в области отсутствия поглощения диэлектрическая проницаемость — - монотонно возрастающая функция частоты. Аналогичным образом, в той же области частот получается еще и другое неравенство: з л о или 4е 2(1 — е) 4ы ы (84.2) Если е < 1 или даже отрицательна, то это неравенство сильнее неравенства (84.1) ').
Отметим, что неравенства (84.1) и (84.2) (и аналогичные— для )1(а1)) автоматически гарантируют выполнение неравенства и < с для скорости распространения волн. Так, .при )т = 1 имеем п = тук и, вводя п вместо е в (84.1) и (84.2), получим Й(иш) д(ны) 1 (84.3) й~ 1(е1 и Поэтому для скорости и (83.10) получаются два неравенства: и<с(п и и < оп, откуда видно, что и < с как при п>1, так и при и <1. Эти неравенства показывают также, что и >О, т.
е. групповая скорость направлена в ту же сторону, что и волновой вектор. Это ее свойство вполне естественно, хотя с чисто логической точки зрения отнюдь не обязательно. Предположим, что область слабого поглощения простирается в некотором широком интервале частот от а11 до ю2 (причем ) Взяв полусумму неравенств (84.1) и (84.2), найдем, что 11(ые)111ы > 1— неравенство более сильное, .чем (80.13), 419 ПРОЗРАЧНЫВ СРВДЫ т. е. функция е(ь1) в рассматриваемой области имеет вид а — 5/ь1з, где а и 5 положительныс постоянные.
Вторую из них можно выразить через силу осцилляторов 1111, ответственных за поглощение в области от О до ь11 (ср. (82.12)), и тогда е(ь1) = а — 4™, (84.5) Из этого выражения следует, что в достаточно широкой области слабого поглощения диэлектрическая проницаемость, вообще говоря, проходит через нуль. Напомним в этой связи, что прозрачной в буквальном смысле слова является среда, в которой е(1н) не только вещественно, но и положительно; при отрицательном е волна затухает в глубь среды, хотя в ней и не происходит истинной диссипации энергии. Для частоты, при которой е = О, индукция О тождественно обращается в нуль и уравнения Максвелла допускают существование переменного электрического поля, удовлетворяющего одному лишь уравнению го1 Е = О при равном нулю магнитном поле. Другими словами, в этом случае возможно существование продольных электрических волн.
Для определения скорости их распространения необходимо учитывать дисперсию диэлектрической проницаемости не только по частоте, но и по волновому вектору; мы вернемся к этому вопросу в 9 105. Пусть, наконец, в широкой области прозрачности имеется узкая область (клинив») поглощения вокруг некоторой частоты ше. Рассмотрим окрестность этой частоты, удовлетворяющую усло- вию 'у « !0~ — а1а~ << шо, (84.6) где 7 —.- ширина линии. В этой области в подынтегральном вы- ражении в (82.6) можно заменить х на ыо везде, кроме быстро- меняющейся функции е" (х).
Тогда получим е(ь1) = е'(ь1) = ~ е"(х) пх, (84.7) НО»о ы) где интегрирование производится по линии поглощения. 14* шз »ы1), и рассмотрим частоты ы такие, что ш1 «ы «ь1з. Область интегрирования в (82.8) разбивается на две части: х < ы1 и т > шз, В первой из них можно пренебречь в знаменателе подынтегрального выражения х по сравнению с 1н, а во второй ш по сравнению с х: 420 ГЛ. 1Х уРлннвння элкктРОмлгннтных ВОлн Задача На границу полупространства (х > 0), заполненного прозрачной средой (д = 1), падает в нормальном направлении плоская электромагнитная волна с резко обрывающимся передним фронтом. Определить структуру фронта вшгны, прошедшей внутрь среды (А.
Яоттет(еЫ, Х. Вт»11ои»п, 1914). Р с ш е н и е. Пусть волна падает на гранину среды в момент 1 = О, так что при х = 0 поле падающей волны (Е или Н) прис<0 Е=О; при1>0 Есле Разлагая это поле в интеграл Фурье по времени, сведем задачу к падению бесконечно протяженных волн различной частоты на ту жс границу. Амплитуда компоненты Фурье с частотой ю пропорциональна ,)' ' е~ »~ Йт о При падении волны с частотой ю прошедшая в среду волна имеет вид а(ю) ехр ( — гю1+ 1 — их), с где амплитуда о(ю) — медленно меняющаяся функция частоты. Поэтому в данном случае пале волны в среде Еса ~ 11юо(ю) схр( — и 1+» — пх) )' еи «1 г)т. о В области вблизи фронта волны в этом интервале играют раль значения ю, близкие к ого. Введя новую переменную б = ю — юо, заменим а(ю) на а(юо), а показатель разлагаем по степеням б.
Опуская все несущественные постоянные и фвзовыс множители, получим Есэ ( / ехр (Ц (т — 14- — ) — — х — ) 1(бг(т, 11и где и = и(юо) — скорость распространения (83.10), а и' = — . Произ- 11ю ведя интегрирование по о1С, легко привести Е к следующему виду; Ес г ~ е '" сб1, ю = у12х(и'! знак в показателе зависит от знака и'). Интенсивность же волны вблизи ее ранта распределена по закону Эта формула по виду совпадает с формулой, определяющей распределение интенсивности вблизи края тени при дифракции Френеля (см, П, З 60).
При ю > 0 интенсивность монотонно падает с увеличением ю, а при ю < < О совершает осцилляции с убывающей амплитудой вокруг постоянного значения, к которому стремится при ю -Э вЂ” аа. На болыпих расстояниях впереди рассмотренного фронта ему предшествуют так называемые «предвестники», распространяющиеся со скоростью с. Они соответствуют компонентам Фурье с болыпими частотами, для которых е — 1 1.
ГЛАВА Х РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН й 85. Геометрическая оптика Условие применимости геометрической оптики заключается, как известно, в малости длины волны Л по сравнению с характеристическими размерами задачи 1 (см. П, ~ 53). Связь геометрической оптики с волновой устанавливается тем, что при Л « 1 всякая величина у, описывающая поле волны (любая из компонент Е или Н), выражается формулой вида у = ае'1, где амплитуда а медленно мсняюгцаяся функция координат и времени, а фаза ф — большая величина, являющаяся «почти линейнойэ функцией координат и времеви.
Последняя называется в геометрической оптике эйконалом и играет в ней основную роль. Ее производная по времени определяет частоту волны: д4 а~ (85.1) а производныс по координатам — волновой вектор; (85.2) (85.3) ф1 есть функция только координат, а ее градиент (85.4) ~уф1 = и, где и вектор, связанный с 1г посредством 1с = — и. с (85.5) и тем самым направление лучей в каждой точке пространства. У монохроматической волны в стационарных условиях частота есть постоянная величина и зависимость зйконала от врсмсни дается слагаемым — ы1. Введем тогда вместо ф другую функцию 41 (которую тоже будем называть зйконалом) согласно 422 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ.
Х Абсолютная величина вектора п равна показателю преломления п среды ). Поэтому уравнение эйконала для распространения лучей в среде с показателем преломления п(х, у, е), являющимся заданной функцией координат, есть ( ее'-=['")';-[~„) ~( )'=" (бр ~ Уравнение распространения лучей (в стационарных условиях) может быть получено также из принципа Ферма, согласно которому для траектории луча между двумя заданными точками пространства А и В минимален интеграл в в ф1 = ~ псИ = ) па1.
А А Приравнивая нулю вариацию этого интеграла, имеем В бф1 = ~ (бп с11+пбсЦ) = О. А бп = бг Чп, бсц =1с1бг, где 1-. единичный вектор касательной к лучу. Подставив в бб)б1 и произведя во втором члене интегрирование по частям (учитывая, что в точках А и В бг = 0), получим в в в бе = 'б б .Р бб-б б ббб =) [Р— Ьб)б .е=б. А А А Отсюда ~") = б7п. (85. 7) бв Аи Раскрыв производную и подставив — = 1~7п, перепишем это бй уравнение в виде ~~ = — [~7п — 1(1С7п)). бц И [85.8) Это и есть уравнение, определяющее форму лучей.
Как известно из дифференциальной геометрии, производная СИ/Ж вдоль луча равна М,б'Вб где 1Ч единичный вектор главной нормали, а Л вЂ” радиус кривизны луча. Умножив уравнение ) В геометрической оптике рассматриваются лишь прозрачные среды. Пусть бг —. смещение траектории луча при варьировании. Тогда имеем 423 ГБОИИГРичвскА5! ОптикА (85.8) с обеих сторон на 1:1 и учитывая взаимную перпендикулярность 1Ч и 1, получим — = М вЂ” ". (85.9) Луч изгибается в сторону увеличения показателя преломления. Скорость распространения лучей в геометрической оптике направлена вдоль 1 и дается производной дм и = —.
дй (85.10) Эту скорость называют также групповой, .а отношение О555Й - фаэовой скоростью. Последняя не соответствует скорости реального физического распространения какой бы то ни было величины. Легко написать также уравнение, определяющее изменение интенсивности света вдоль луча. Интенсивность 1 представляет собой абсолютную величину усредненного (по времени) вектора Пойнтинга. Последний направлен вместе с групповой скоростью вдоль 1: Я =11. 511т(Л) = О.
(85.11) Это и есть искомое уравнение. Наконец, рассмотрим вопрос о том, как меняется вдоль луча направление поляризации линейно Гюляризованного света (С.М. Ръ5тов., 1938). Как известно из дифференциальной геометрии, пространственная кривая (в данном случае луч) характеризуется в каждой своей точке тремя взаимно перпендикулярными единичными векторами касательной 1, главной нормали 1Ч и бинормали Ь (так называемый естественный трехгранник). В силу поперечности электромагнитных волн вектор Е (или Н) лежит всегда в нормальной плоскости — плоскости ХЬ. Пусть в некоторой точке луча направление Е совпадает с направлением 1Ч, т. е.
лежит в соприкасающейся плоскости (плоскость 1ч1). Как известно, отклонение кривой на длине Ж от соприкасающейся плоскости является бесконечно малой величиной высшего (третьего) порядка. Поэтому можно утверждать, что при перемещении вдоль луча на расстояние Й вектор Е остается в первоначальной соприкасаютцейся плоскости. Новая же соприкасающаяся плоскость поворачивается относительно старой на угол йр = 511(Т, где Т радиус кручения кривой. Этому В стационарных условиях средняя плотность энергии поля в каждой точке пространства не меняется со временем. Поэтому уравнение сохранения энергии гласит: с11Р Я = О, или РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
