VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 87
Текст из файла (страница 87)
8 77). Так же как и в 8 82, отсюда следует, что функция с,'(ьс) не имеет особых точек в верхней полуплоскости ш, включая вещественную ось (кроме точки ш = О). Далее, условие вещественности Ес при вещественном Нс приводит к соотношению ~(- ") = ~*( ) Наконец, сюскольку диссипация знергии определяется вещественной (а не мнимой, как у е(ш)) частью функции с,(ьс), то с,'(ас) положительно и нс обращается в нуль ни при каком вещественном значении ш, за исключением только значения ш = О.
Рассуждения, аналогичные проведенным в 8 82, позволяют затем сделать вывод, что Вес",(ос) > О также и во всей верхней полуплоскости. Отсюда следует, в частности, что с,(ос) не имеет нулей в верхней полуплоскости. Отсутствие у с,'(ьс) особых точек в верхней полуплоскости снова приводит к формулам Крамерса — Кронига. При зтом особенно существенна формула с',п(СВ) = — — ь (*) СЬ. ') Фактически речь идет о частотах примерно до сантиметрового диапазона радиоволн. с) Микроскопическая теория показывает, что пропорциональный се~ член в импедансе содержит также и логарифмический но ьс множитель — См.
Х, г 96, 97. 439 ПСНЕРХНССТНЫЙ ИМПЕДАНС МКТАЛЛСН Воспользовавшись четностью функции ~~(х), ее можно перепи- сать в виде или (87.10) о (единипу в числителе подынтегрального выражения можно опу- 2 ~2 стить, поскольку главное значение интеграла от 1/(х — ш) все равно есть нуль). Все сказанное о функции ~(ы) в той же степени относится и к обратной функции 1/Ды); оператор с ' выражает ~Нсп"; через Еь В частности, вместо (87.10) будем иметь ))Л 2И ~ [~ '(Х))' (87.11) Е './ Е2 — Ы~ о При малых ~ эта формула может быть более удобной для использования, чем (87.10).
В написанном виде, однако, она неприменима к сверхпроводникам, у которых с имеет согласно (87.8) =1 при ы = 0 полюс. Простое видоизменение вывода (ср. переход от (82.7) к (82.9)) приводит при этом к формуле [~ ~( )1" = — — Х )~ 1 )) д + —. (87.12) ./ Х~ — Ы2 ЫА о В заключение этого параграфа в качестве примера использования понятия импеданса рассмотрим отражение плоской электромагнитной волны, падающей из пустоты на плоскую поверхность металла с поверхностным импедансом ~. Если вектор Е поляризован перпендикулярно к плоскости падения, то граничное условие (87.6) дает Ев + Е1 = ~(Но — Н1 ) соз Во = ЦЕо — Е1 ) соз Во (обозначения те же, что и в з 86).
Отсюда имеем, учитывая малость ~, — ' = — (1 — 2~спаде) Бо и коэффициент отражения НА = 1 — 4~'сонде. (87.13) 44О РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. Х Если же Ее лежит в плоскости падения, то граничное условие пишем в виде ~НА = (пЕг), т. е. С(Но+ Н1) = (Ео — Е1) сов Ве = (Но — Н1) сое Ва. откуда коэффициент отражения 2 соя до — к созй~+ ~ (87.14) При углах падения, не слишком близких к ог/2, 4~' сов Ео (87.15) Если же угол де = х/2 — Ве « 1, то 2 л = 'д" Фо+ С (87.16) Это выражение имеет при (ое = ф минимум, равный Н Ф С' За исключением особого случая (87.16), коэффициент отражения от поверхности с малым ~ близок к единице. Поверхность о„— + О (или, как говорят, идеально проводящая поверхность) является в то же время идеально отражающей.
Граничное условие на такой поверхности; Ео = О аналогично условию для электростатического поля на поверхности проводника. Но в отличие от случая постоянного поля, в переменном поле это условие автоматически влечет за собой выполнение также и определенного условия для магнитного поля. Именно, в силу уравнения ((оо/с)Н = = го( Е из равенства Ео = О на поверхности следует равенство Н„ = О. Таким образом, на идеально проводящей поверхности в переменном электромагнитном поле обращается в нуль нормальная составляющая магнитного поля. В этом смысле такая поверхность аналогична поверхности сверхпроводпика в постоянном магнитном поле.
Задача Определить интенсивность теплового излучения (звданной частоты) от плоской поверхности с малым импедансом. Р е ш е н и с. Согласно закону Кирхгофа, интенсивность о1 теплового излучения (в элемент телесного угла оо) от произвольной поверхности связана с интенсивностью излучения от поверхности абсолютно черного тела 41о соотношением о1 = (1 — Л) 41о, где Л вЂ” коэффициент отражения от данной поверхности для естественного света. Вычисляя Л = (1/2)(ЛА -~-Л1) с помощью формул (87,13) и (87Л4) и учитывая изотропию излучения с 441 РАспРОстРАнкннн ВОлн В нВОднОРОднОЙ сРВДН поверхности абсолютно черного тела (41с = 1с до/2х), получим зг г 1 1 = 21е~ 1+ ~( сов е Вйп 0 ой.
сове д + 2~' сое 0 -Р ~'г + ~ег 3 е Произведя интегрирование и опустив члены высшего порядка по ~, находим 2с' — ~!и + 1 — — аггея — ) . 1с ~ ~», ~пг ~п ~~) $ 88. Распространение волн в неоднородной среде Рассмотрим распространение злсктромагнитных волн в злсктрически неоднородной (но изотропной) среде. В уравнениях Максвелла го4 Е = ™Н, ГОС Н = — гя-Е с с (полагаем везде )А = 1) е есть функция координат точки. Подставив Н из первого уравнения во второе, получим для Е уравнение г глЕ + — Š— 8гас) г)1г Е = О. с (88.1) Исключение же Е дает для Н уравнение ,АгН+ ' Н+ — ~г~уе гоСН) = О. сг е (88.2) Эти уравнения существенно уггрощаются в одномерном случае, когда е меняется лишь в одном направлении в пространстве.
Выберем зто направление в качестве оси я и рассмотрим волну, направление распространения которой лежит в плоскости хх. В такой волне все величины не зависят вовсе от координаты ры а ввиду однородности пространства вдоль оси х можно рассматривать зависимость от х, даваемую множителем е' * с постоянным гг. При х = О поле зависит только от В, т. е. речь идет о нормальном прохождении волны через слой вещества с е = е(х). Если же гг ф О, то говорят о наклонном прохождении волны. При зтом надо различать (при гг ~ О) два независимых случая поляризации. В одном из них вектор Е перпендикулярен к плоскости распространения волны (т.
е. направлен вдоль оси у), а магнитное поле Н соответственно лежит в зтой плоскости. В частности, для металла с импедансом, определяемым формулой (87.3), имеем (и = 1) 443 РАСПРОСТРАНЯНИЯ ВОЛН В НЯОДНОРОДНОЙ СРЯДЯ конечное при всех з, есть Е ф(„з!зя) ,.~об (88.7) где Ф(б) =— о функция Эйри (множитель ехр ( — гбп1+ гзсх) в Е везде опускаем) 1). Асимптотический же вид решения уравнения (88.3) при больших ~я~ есть .=;„...(7,7 ..) а е= о при я<0, (88.8) при я>0, с тем жс коэффициентом А, что и в (88.7).
Первое из этих выражений представляет собой стоячую волну, получающуюся в результате наложения падающей (в положительном направлении оси я) волны и волны, отраженной от плоскости я = О. Амплитуды этих волн одинаковы (и равны А/2~~7~), т. е. коэффициент отражения равен единице. В область я > 0 проникает лишь зкспоненциально затухающее поле. При приближении к точке отражения амплитуда волны возрастает, как зто видно уже из наличия 7 7 в знаменателе в (88.8). Для определения величины поля в непосредственной близости этой точки надо, однако, воспользоваться выражением (88.7).
Эта функция монотонно убывает в глубь области я > 0 и имеет осциллирующий характер в области з < О, причем величина максимумов (Е~ постепенно убывает. Первый, наиболыпий из максимумов, достигается при сгНзя = — 1,02 и равен Б' = 0,949 Асб '7~. До сих пор мы писали решения для Е-волн. Легко видеть, что в приближении геометрической оптики вполне аналогичные формулы могут быть написаны и для Н-волн. Если сделать в ) Мы пользуемся здесь тем же определением функции Эяри, что и я других томах етого курса. В настоящее Время, однако, более употребительно определение Агс = Ф(6 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ.
Х ~ и + (~~~ — АГ2) и = О, совпадающее с уравнением (88.3). Поэтому все формулы для Н отличаютсЯ от фоРмУл (88.6) — (88.8) лишь множителем чГе. Своеобразное отличие в поведении обоих типов волн возникает при отражении наклонно (Ас ф 0) падающей волны от слоя вещества, в котором е(е) проходит через нуль. Отражение происходит при этом от плоскости, на которой у (е) = еи~ /с~ — АГ~ = О, т. е. ине доходя» до точки е = О. Е-волна проникает за эту плоскость лишь в виде экспонснциально затухающего поля. При отражении же Н-волны на общем фоне такого затухающего поля вблизи точки е = 0 возникает резкое усиление поля (К. ЕОГЕ1ег1гщ, 1949) 1). Рассмотрим это явление. Пусть е = 0 в точке г = О.
Вблизи этой точки пишем (88.9) е= — ае, а)0, и уравнение (88.4) принимает вид е~Х 1 ИХ Г ам~ 2~ — — — — — ( — г+РГ )Н=О. 4л е дг с (88.10) Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, одно из решений этого уравнения (назовем его Н1 ) не имеет осо- бенности при е = О, а его разложение при малых е начинается с е2; Н1(Е) = Е2 + .. Второе независимое решение обладает логарифмической особен- ностью и его разложение имеет вид Н2 (Е) = Н1 (Е) 1и АГЕ + — + ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
