VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 91
Текст из файла (страница 91)
д /1 дз'1 д (,С дг) (91.16) С дгг д1 сг д1г (91.17) В отсутствие поглощения (Л = 0) зто уравнение, как и должно быть, сводится к волновому уравнению со скоростью распространения волн, равной с/~/ХС = с. Равенство ЕС = 1 следует из математической эквивалентности задач об определении 1/С и Е при заданной форме контуров.
Электрическое и магнитное поля между поверхностями идеальных проводников перпендикулярны по направлению и равны по величине (см. (91.11)), причем значение последней на самих поверхностях определяет в первом случае плотность зарядов, а во втором случае плотность токов. Поэтому совпадают и коэффициенты пропорциональности (1/С и Ь) между энергией поля и квадратами соответственно заряда или тока. Задачи 1. Найти значения н для волн, распространяющихся по волноводу прямоугольного сечения (длины сторон а, Ь). Найти коэффициенты затухания этих волн. Р е ш е н и е. В Е-волнах ') Е = сопя1 е1пй хе1пьгйь где пгк Ь, = —, О пггг Ь х Ь а пм пг — целые числа, начиная от единицы. В Н-волнах Н, = сопег соей,хсозь, ро причем одно из чисел гп, пг может быть равно нулю.
В обоих типах волн Наименьшее значение гг соотнетствует волне Нге (индексы указывают зна- чения пн пг) и равно гх ы = к/а (полагаем, что а > Ь). ) Множитель ехр (г(й,г — ыг)) везде опускаем. Подставив сюда У = гт' — гигб/с (где гь и ь сопротивление и самоиндукция единицы длины волновода), мы можем перейти от монохроматических компонент тока обратно к произвольной функции времени. Предполагая также емкость С постоянной вдоль длины волновода, получим так называемое телеграфное уравнение: 462 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. Х Коэффициенты затухания вычисляются по формулам (91.12), (91.13) и равны: для Е-ноля 2 а = (й,Ь+ й„а)., схгй,аЬ для волн Н,,о а = (а-~- 6) и для волн Н, „, (тп, иг ~ О) О = [а -~- 6+ — '(а1сг + Ьйг)1 .
2схг~' ( ьгй,аЬ .,44 2. То же для волновода кругового сечения (радиуса а). Р е ш с н и е. Решая волновое уравнение в полярных координатах г, и, получим в Е-волнах сйп Е, = сопке 3„(хг) пл,. соз с условием з„(ха) = О, определяюшим значения х. В Н-волнах такая же формула дает Н„а значения х определяются условием з~ (ха) = О, Наи- меньшим значением х обладает первая из волн Нгс оно равно гс ы = 1,8444а. Коэффициенты затухания вычисляются по формулам (91.12) — (91.14) и равны; для Е-волн ыс,' сай, а для Н-волн СХ4," [ и Ьг~ а= — "1+ сзй,а 1 сгхг(агхг — пг) ~ 9 92.
Рассеяние злектромагнитных волн на малых частицах Рассмотрим рассеяние электромагнитных волн на макроскопических частицах, размеры которых малы по сравнению с длиной рассеиваемой волны Л с/аг (Лай1ег8йс 1871). При выполнении этого условия злектромагнитное поле вблизи частицы можно считать однородным. Находясь в однородном периодическом поле, частица приобретает определенные электрический и магнитный мемЕнты,У и .4К, ЗавиСимОСть кОтОрых От врЕмЕни даЕтСя множителем е ™.
Рассеянная волна может быть описана как результат излучения этими переменными моментами. На больших (по сравнению с Л) расстояниях ть от частицы в волновой зоне поле рассеянной волны дается формулами (см. 11с 8 71): Н' = , ~[пЕе1 + [и[ оп",1[, Е' = [Н'п1, (92.1) где единичный вектор п указывает направление рассеяния, а значения,9е и 4е должны быть взяты в момент времени Ь вЂ” А/с; 463 РАССЕЯНИЕ ВОЛН НА МАЛЫХ ЧАСТИЦАХ поле рассеянной волны будем обозначать буквами со штрихом, .а поле падающей волны буквами без штриха. Средняя (по времени) интенсивность излучения, рассеянного в телесный угол ао, равна ,У = 1 .
с ~яг~зл2,УО 2 4гг а разделив на плотность потока энергии в падающей волне с ~Н~2 с ~ц2 получим сечение рассеяния. Вычисление 9В и 4е особенно просто, если размеры частицы малы не только по сравнению с Л, но и по сравнению с «длиной волныР а, соответствующей частоте ы в веществе частицы. В этом случае можно вычислять поляризуемость частицы по формулам, относящимся к внешнему однородному статическому полю, разумеется, с той разницей, что для е и р берутся не статические значения, а значения, соответствующие данной частоте ш.
Если, как это обычно имеет место, р близко к единице, то в формуле (923) можно опустить магнитно-дипольный член. Так, для сферической частицы радиуса а имеем г'см. (8.00)) ,У = Ъ'гтЕ, сг = — ' 44г с -~- 2 (92.2) и сечение рассеяния СГО = — ~ГТ~ 'Р' ЗГП ОСГО, (92.3) где й угол между направлением и рассеяния и направлением электрического поля Е линейно поляризованной падающей волны.
Полное сечение з,~,~г,грс (92.4) зс4 Зависимость сечения от частоты заключена как в множителе сс4, так и в поляризуемости. Если частоты настолько малы, что дисперсия сг отсутствует, то рассеяние пропорционально аг~. Отметим также, что сечение рассеяния пропорционально квадрату объема частицы. Если падающая волна не поляризована г'естественный свет), то для получения дифференциального сечения надо усреднить (92.3) по всем направлениям вектора К в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения падающей волны (т, е. к се волновому вектору к). Обозначив через д и гр полярный угол и азимут направления п по отношению к К (причем гл отсчитываем от плоскости кЕ), имеем совд = вгпдсовгс (рис. 47), РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН так что йт = "—,~ГЕ~~~'~(1 — Е1п дсов~~р) до.
(92.5) Усреднив по у, получим следующую формулу для сечения Е рассеяния неполяризованной волны: Г1ГГ = ~ Ъ'~ ~о ~(1 + сов~ д) до, (92.6) где д -- угол между направлениями падения и рассеяния. Обратим внимание на симметрию углового в распределения (92.6) относительно н плоскости д = е/2: рассеяния вперед и назад одинаковы. Из формулы (92.5) легко найти также степень деполяризации расРис. 47 сеянного света. Для этого замеча- ем, что при заданном направлении Е направление Е' лежит в плоскости Еп.
Поэтому направление электрического поля Е' в рассеянной волне будет лежать в плоскости 1гп (плоскость рассеяния) или перпендикулярно к ней соответственно в случаях, когда азимут вектора Е по отношению к плоскости 1гп равен у = О или ГГ/2. Пусть |~ и 1г интенсивности рассеяния с этими двумя поляризациями; степень деполяризации определяется как отношение меньшей из этих величин к большей. Согласно (92.5) получим 1~~/1т = сов~ д.
(92.7) Если рассеивающая частица обладает большой диэлектрической проницаемостью, то О с/ю,/ф « Л. Размеры частицы могут при этом быть малыми по сравнению с Л и в то же время не малыми по сравнению с б. В первом приближении по 1/е электрический момент частицы можно при этом вычислять просто как момент проводника (е — Г оо) в однородном постоянном внешнем поле.
При вычислении же магнитного момента в этих условиях существенны возникающие в частице индукционные токи и задача не сводится к статической; вместо этого надо искать решение уравнения (83.2) ЬН+ '— Н =0 (92.8) (полагаем 1А = 1), обращающееся вдали от частицы в поле падающей волны. Магнитный и электрический моменты оказываются при этом одного порядка величины, и в формуле (92.1) должны быть сохранены оба члена. Угловое распределение и величина рассеяния при этом существенно меняются по сравнению с рассмотренным выше случаем (см.
задачу 2). 465 РАССБЯНИБ ВОЛН НА МАЛЫХ ЧАСТИЦАХ Задачи 1. Линейно поляризованный свет рассеивается на хаотически ориентированных малых частицах, имеющих трн различных главных значения тензора электрической полярнзуемости. Определить коэффнциент деполяризацин рассеянного света. Р е ш е н н е. Пренебрегая, как н в тексте, магнитным моментом, имеем нз 92.1 ( ) г Е' = [[НАБ[п). Искомый козффнцнент деполярнзацнн дается отношением главных значений двумерного тензора 1чл=(Е Ел), где угловые скобкн означают усредненне по ориентациям рассеивающей частнцы прн заданном направлении рассеяния и, а индексы а н Д пробегают два значения в плоскости, перпенднкулярной и (см. П, З 50).
Удобнее, однако, усредннть трехмерный тензор Я1 Мв, после чего спроецировать его на плоскость, перпендикулярную к п; зтн компоненты тензора (М.,9'~) пропорциональны соответствующим компонентам 1,э. Подставив .У; = амЕА, имеем (сзчЯА) = (аиаь )ЕФ" . Для проведения усреднения пользуемся формулой (анаь ) = А6Н6А + В(6,А6~ -1- 6, 6ы), Это есть наиболее общий вид тензора четвертого ранга, симметричного по парам индексов 11 н Ат и содержащего лишь скалярные постоянные. Последние определяются нз двух равенств, получающихся путем упрощения тензора один раз по парам 1 = 1, Й = т, а другой раз — по 1 = Й, 1 = т; онн равны 1, „1 А = — (2аьаАА + ама,*э), В = — (За1ьа,*ь — а„аьг), В лннейно поляризованной волне амплитуда поля Е (временнбй множитель е '"' опускаем) всегда может быть определена как вещественная величина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
