VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Рассмотрим прямолинейный волновод с произвольной (односвязной) формой поперечного сечения, неизменной вдоль его длины. Будем считать сначала, что стенки волновода являются идеально проводящими. Направление длины волновода выберем в качестве оси г. В волне, бегущей вдоль оси г зависимость всех величин от г дается множителем вида ехр (г1с,г~ с постоянным Й,. Все возможные в таком волноводе электромагнитные волны можно разбить на два типа: в одном из них Н, = О, а в другом Е, = 0 (Нау1ег86, 1897). Волны первого типа, с чисто поперечным магнитным полем, называют волнами злектрического типа или Е-волнами.
Волны же с чисто поперечным электрическим полем называют волнами магнитного пгипа или Н-волнами ). Рассмотрим сначала .Е-волны; х- и у-компоненты уравнений (90.1) дают ду " с ' дх с гто г'И,Н„= — Е„ с 456 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ.
Х где введено обозначение ЬЕЕ,+АГ Е,=О (91.2) (Ье двумерный оператор Лапласа). Граничные условия к зтому уравнению заключаются в обращении в нуль касательных составляющих Б на стенке волновода. Для зтого достаточно по- требовать Е, = О на контуре сечения. (91.3) Согласно формулам (91.1) двумерный вектор с составляющими Е„ЕВ пропорционален двумерному градиенту величины ЕРС Позтому при выполнении условия (91.3) автоматически обратится в нуль также и тангенциальная составляющая Е в плоскости ху.
Аналогичным образом, в Н-волне поперечные составляющие Е и Н могут быть выражены через продольную компоненту магнитного поля согласно формулам и, ='". .Р де ЕЛ дН, СНА дУ ' НŠ—— — '* ' дк Ее= ™ дН. А де (91.4) Продольное же поле Н, дается решениями уравнения Ьзн,+хгН, =О (91.5) с граничным условием дН, ' = О на контуре сечения. дп (91.6) Это условие обеспечивает согласно формулам (91.4) обращение в нуль нормальной компоненты Н.
Таким образом, задача об определении злектромагнитного поля в волноводе сводится к нахождению решений двумерного волнового уравнения вида Ье~ + АГ ~ = О с граничным услови- 2 см 1' = О или д~/дп = О на контуре сечения. Для заданного контура такие решения имеются лишь при вполне определенных собственных значениях параметра АГ2. Таким образом, в Е-волне все поперечные компоненты Е и Н могут быть выражены через продольную компоненту злсктрического поля.
Последняя же должна быть определена путем решения волнового уравнения, сводящегося к двумерному уравнению 457 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ Каждому собственному значению Аг~ соответствует своя зависимость ы = с (Й, + Аг ) (91.7) между частотой ы и волновым вектором 1т,. Скорость распространения волны вдоль длины волновода дается производной дм сй, сй, (91.8) дй, хуан~+ и м При заданном Аг она пробегает значения от О до с, когда й, меняется от О до оо.
Средняя (по времени) плотность потока энергии вдоль длины волновода дается В-компонентой вектора Пойнтинга. Простое вычисление с помощью формул (91.1) дает для Е-волны Я, = — 'Ве1[ЖН*],) = ' ~17зЕ,(~. Полный поток энергии д получается путем интегрирования Я, по площади сечения волновода. Имеем 1~Р,А,~'В = 7Р,"'„~ а — 1А,"А,В,В. Первый интеграл берется по контуру сечения и обращается в нуль в силу граничного условия Е, = О. Во втором же интеграле заменяем ЬзЕ» на —.ъРЕ, и окончательно получаем д = ', ~ )Е,)~ сК. (91.9) Для Н-волны получается такое же выражение с Н, вместо Е,. Аналогичным образом можно вычислить плотность электромагнитной энергии И' (отнесенную к единице длины волновода). Проще, однако, получить И~ непосредственно из д, .поскольку должно быть д = И'и,.
Так из (91.8) и (91.9) получим И' = ~ (Е,(~ф. (91.10) ЗЕВ~С~ Из (91.7) следует, что для каждого типа волн (соответствующих определенному значению Аг ) существует минимальное возможное значение частоты, равное САс При меньших частотах распространение данного типа волн становится невозможным. Но среди всех собственных значений Ат есть наименьшее, м„,;, тоже отличное от нуля (см. ниже).
Поэтому мы приходим к выводу, что существует нижняя граница частот, ы РА = сх ен за которой вообще невозможно распространение вдоль волновода каких бы то ни было волн. По порядку величины м;, с/а, .где а— поперечные размеры трубы. 458 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. Х Это утверждение, .однако, справедливо лишь для волноводов с односвязной формой сечения, которые мы до сих пор и имели в виду. Положение совершенно меняется при многосвязной форме сечения ). В таких волноводах, наряду с описанными вы- 11 ше Е- и Н-волнами, оказывается возможным распространение еще одного типа волн, частота которых не ограничена никакими условиями.
Этот тип волн — — так называемая елавнад волна характе- РиЗУЕтСЯ тЕм, чтО )Сх = хе (т. Е. Рг = 0); СкОРОСть ЕЕ РаепРО- странения совпадает со скоростью света с. Выясним основные свойства этой волны; одновременно мы увидим, почему этот тип волн невозможен при односвязной форме сечения волновода. Все компоненты поля в главной волне удовлетворяют двумерному уравнению Лапласа Ьз~ = О. При граничном условии у = 0 единственное решение этого уравнения, регулярное во всей области (одно- или многосвязной), есть у = О.
Поэтому в главной волне Юх = О. При граничном же условии ду(дп = 0 регулярное решение у = сопе1. Легко, однако, видеть, что для у = Н, зта сопе1 может быть только нулем (напомним, что сопе1 означает величину, не зависящую от х, у). Действительно, проинтегрировав уравнение л1чя дн*+ дНУ+ й Н 0 д* ду по площади сечения, получаем ф Н„д) + — * У Н, Ф = О; ввиду равенства Н„= 0 на контуре сечения и постоянства Н, по его площади отсюда следует, что Н, = О.
Таким образом, главная волна чисто поперечна. При Е, = = Н, = 0 х- и у-компоненты уравнений (90.1) дают (91.11) Н, = — Е„ Ну ~я~ т. е, поля Е и Н взаимно перпендикулярны и равны друг другу по величине. Для определения этих полей имеем уравнения л!чЕ дЕ*+ дЕ 0 ( уЕ) дЕ дЕ. 0 дх ду дх ду с граничным условием Е1 = О.
Мы видим, что зависимость Е (а с ним и Н) от х, у дается решением двумерной электростатической задачи: Е = — ч2у1, где потенциал ~р удовлетворяет уравнению Ьеу1 = 0 с граничным ) Речь может идти как о пространстве между двумя вставленными одна в другую трубами, так и о пространстве вне двух параллельных проводов. 459 1 91 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ условием 1р = сопй. В односвязной области это граничное условие приводит к 1д = сонэк (а потому Е = 0) как единственному решению, регулярному во всей области. Тем самым доказывается невозможность распространения этого типа волн по волноводам с односвязным сечением.
В многосвязной же области значение сопэ4 в граничном условии не обязано быть одним и тем же на различных граничных контурах, и тогда уравнение Лапласа имеет нетривиальные решения. При этом распределение электрического поля в поперечном сечении волновода соответствует плоскому электростатическому полю между обкладками конденсатора, находящимися при заданной разности потенциалов.
До сих пор мы предполагали стенки волновода идеально проводящими ). Наличие же у стенки малого, но все же конечного импеданса приводит к появлению потерь и тем самым к затуханию волны при ее распространении вдоль волновода. Коэффициент затухания может быть вычислен аналогично тому, как в предыдущем параграфе было вычищ1ено затухание со временем электромагнитных колебаний в резонаторе. Количество энергии, диссипируемой в 1 с в стенках волновода (отнесенное к единице его длины), дается интегралом взятым по контуру сечения; Н есть магнитное поле, вычисленное в предположении 1„= О. Разделив эту величину на удвоенный поток энергии д вдоль волновода, мы получим искомый коэффициент затухания сг.
При таком определении сг дает скорость затухания амплитуды волны, убывающей вдоль длины волновода, как е '*'. Выражая все величины через Е, или Н, согласно формулам (91.1) или (91.4), получим следующие формулы для коэффициента поглощения Е-волны: ы11 Ф Т2Е,~2 Ж (91.12) 222212,с 1' (Е,(2 11у" и для Н-волны: — (91 13) 2й,ы ) ~Н ~2 11у' Для фактического вычисления может оказаться удобным преобразовать стоящие в знаменателях поверхностные интегралы в интегралы по контуру.
Приведем получающиеся таким образом ы ) В частности, лишь при атом условии вообще возможно строгое разделение на волны с Е, = 0 и Волны с Н, = О. 460 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. Х формулы, вывод которых аналогичен выводу формулы (90.8): ~ ~ Рж=,', ф(-)~ 7.Н.~'~~, (91.14) / ~НХ',ЯГ(7" = — ф (пг)(АГ~/Н,/~ — !~ЕН,/~) сИ. Когда 1Г, -+ 0 (т. е.
частота ы -+ САГ), выражения (91.12), (91.13) стремятся к бесконечности. При этом, однако, эти формулы перестают быть применимыми, так как их вывод предполагает малость х по сравнению с Й,. Формулы (91.12), (91.13) не относятся к главной волне (в волноводе с многосвязным сечением), в которой равны нулю все величины Е„Н, и АГ. В этом случае можно выразить все компоненты поля через скалярный потенциал у.
Учитывая взаимную перпендикулярность и равенство по величине полей Н и Е = = — ~2у в главной волне, получим для ее коэффициента поглощения следующее выражение: ~' ф Р7Аф~ Ж (91.15) 2 ( !~7АУР 47' Распространение главной волны вдоль волновода может быть сравнительно просто рассмотрено и в тех случаях когда ее коэффициент поглощения нс мал (так что формула (91.15) неприменима), если при этом длина волны с/Гс велика по сравнению с поперечными размерами волновода. Как было указано выше, поперечное электрическое поле в главной волне (в каждый момент времени) соответствует электростатическому полю в конденсаторе, образованном стенками волновода, заряженными равными и противоположными зарядами. Обозначим зти заряды, отнесенные к единице длины волновода, через ~е(е).
Они связаны с токами ~,У(е), текущими по стенкам волновода, уравнением непрерывности де д7 д~ де или, для монохроматического поля, д,У иое = —. де Пусть, далее, С емкость единицы длины волновода. «Разность потенциаловР между его стенками ~рР. — ГС1 = е/С; дифференцируя ее по е, мы получим ЗДС, поддерживающую протекание тока по стенкам (напомним, что при наличии поглощения поле не является чисто поперечным). Приравняв ее Ял' (Я -- импеданс единицы длины волновода), получим де уу де С 461 Ь 91 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ ИЛИ вЂ” ( — — ) + гшг.у = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
