VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 89
Текст из файла (страница 89)
При заданных размерах и форме полости уравнения (90.3) и (90.4) имеют решения лишь при вполне определенном наборе значений аг. Эти значения называют собственными частотами электромагнитных колебаний данного резонатора. При ~ = 0 электромагнитное поле не проникает в глубь металла и потери в нем отсутствуют. Поэтому все собственные колебания не затухают, т. е.
все собственные частоты вещественны. Число различных собственных частот резонатора бесконечно. Порядок величины наименьшей из них есть агз с/1, где 1-- линейныс размеры полости. Это очевидно уже непосредственно из соображений размерности, поскольку 1 есть единственный размерный параметр, характеризующий условия задачи (при заданной форме резонатора). Большие же собственные частоты (аг» с/1) расположены очень близко друг к другу, причем их число, приходящееся на единичный интервал значений ог, равно Р'огз/(2пйс ); оно зависит только от объема резонатора Р', но не от его формы (см. 11, 8 52).
Средние (по времени) значения электрической и магнитной энергии поля в резонаторе даются соответственно интегралами 1 / ~Е~г „Лг 1 / ~н~г „ 2,/ 8е 2 .1 8Е Покажем, что эти две величины равны друг другу. С помощью первого из уравнений (90.1) пишем „г ~ НН сЛ' ~ го1Его1Е д1г. Второй интеграл преобразуем по частям: го1ЕРОФЕ*сЛ" = ф гоФЕ*[сКЕ1+ ~ ЕгойгойЕ*дК Поскольку на границе объема Ег = О, то интеграл по поверхности обращается в нуль и остается ~ ~Н~~сЛг = — / Его1го1Е*<Л' = — — ~ ЕЬЕ*<ЛТ 5 90 электРОЫАгнитные кОлевАния В НОлых РезОЫАтОРАх 451 Незатухающие колебания в резонаторе получаются в предположении равного нулю импеданса его стенок. Выясним теперь, какое влияние на собственные частоты оказывает наличие у стенок малого, но все же конечного импеданса. Среднюю (по времени) энергию, диссипируемую в 1 с в стенках резонатора, можно вычислить как поток энергии, втекающей в стенки из электромагнитного поля в полости.
Учитывая граничное условие (87.6) на поверхности тела с импедансом 1„ напишем нормальную составляющую плотности потока энергии: Я„= — Ке ~)ЕГН,*)~ = — (Нс)~ 8х 8х (~' — вещественная часть 1„). В этом выражении, которое уже содержит малый множитель ~', в первом приближении можно понимать под Н поле, получающееся при решении задачи с 1„= О.
Полная диссипируемая энергия дается интегралом — 'ф ~'~н~'ау, (90.6) взятым по внутренней поверхности резонатора. Декремент затухания амплитуды поля со временем получится делением этой величины на удвоенную полную энергию поля, равную ХИЕ~ +~Н~)Л = 1 Х!Н! д1Г. Декремент затухания совпадает с мнимой частью ~со ~ комПЛЕКСНОй ЧаСтОтЫ О1 = СО'+ ияп ). НаПИСаВ ФОРМУЛУ В КОМПЛЕКС- ном виде оз — озо = —— 2 /(Н(З,Л1 (90.7) (1о и соо ..
значения частоты с учетом и без учета 1,), мы можем с ее помощью определить не только декремент затухания, но и сдвиг самих собственных частот. Последний, как мы видим, определяется мнимой частью 1",. В 8 87 было указано, что обычно 1',и ( 0; при этом сдвиг собственных частот происходит в сторону их уменыпения. Для фактического вычисления может оказаться удобнее преобразовать стоящий в знаменателе (90.7) объемный интеграл в интеграл по поверхности. Ввиду тангенциальности вектора Н к поверхности пишем тождественно ф (НН*)(г114) = ф (НН*)(ТЛ) — ф (Нг)(Н*Л) — ф (Н*г)(Н Ж).
в ') В радиотехнике обычно вводят вместо декремента затухания ~ы ~ так называемую добротность резонатора, определяемую как отношение ы'/2(ы"). 15* 452 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ.Х Стоящие справа интегралы преобразуем в объемные заменой с(4' — з Ж' т7; используя при этом уравнения (90.1), получим ф (НН*)(гЖ) = зе / г([НЕ*1 — [Н*Е1) г(1" + [ НН* з1К Аналогичным образом, учитывая тождество [г[Е Ж1~ = Е(г сК)— — (гЕ) с(4' = 0 (являющееся следствием граничного условия Ез — — О), получим ф (ЕЕ*)(гз(Г) = — ф (ЕЕ*)(гсТ) + ф (Ег)(Е* сК) + + ф (Е'г) (Е сК) = зе )' г([НЕ*[ — [Н*Е~)) с(Р' — ~ ЕЕ* с(К зп, Е, Н вЂ” з зп ге)А, ь(еЕ, „/рН. (90.9) Это ясно из того, что при таком преобразовании уравнения (90.1) переходят в правильные уравнения Максвелла в среде го1 Е = з — 1АН, го$ Н = — з — ЕЕ.
с с В частности, наличие среды уменыпает все собственные частоты в 7р раз. Задачи 1. Определить частоты собственных колебаний в резонаторе с идеально проводящими стенками, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда. Р е ш е н и с. Оси х, у, з выбираем по тром ребрам параллелепипеда, имеющим длины аь аз, аз Решения уравнений (90.3) и (90.4), удовлетворяющие граничному условию Ез = 0: Е = Аз созе,хз1пезуз1п/с,з е ™ и аналогично для Ез, Е„где пгп аз (2) аз аз (пм пз, пз — целые положительные числа); постоянные Аь Аз, Аз связаны соотношением Азиз* + Азер+ Азе = О, (3) а собственные частоты ы~ = с~(1з~~ + й~ + е,). Вычитая почлснно друг из друга оба полученных равенства и учитывая (90.5), получим формулу [ [Н [2 с( = — ф ([Н[' — [Е[2) (г сК).
(90.8) Все формулы для резонатора, полость которого заполнена нспоглощающей диэлектрической средой с отличными от 1 значениями е и )А, получаются из формул для пустого резонатора путем замены в них: з 90 злектРОМАГннтные кОлееАнин е НОлых РезОЫАтОРАх 453 Магнитное поле вычисляется из (1): Н, = — г' — (Аз й„— Аз Й,) яп йт е соз йту соз Й, х . е ™ аг г янйт 1, г г г втйт Е=е * госго1 [ Ь1, Н = — гйе * гас[ Ь), т т где ь — постоянный вектор, а й = аг,гс (см. и, з 72). Граничное условие [НЕ[ = 0 при т = а приводит к уравнению 1 ссййа = — — Йа. Йа Его наименьший коРень есть йа = 2,74.
Частота аг = 2,74сгга есть наименьшая из всех собственных частот сферического резонатора. В стоячей сферической волне дипольно-магнитного типа г' з1п йт г' яп Йт Е=гйе ' гос'[ Ь), Н=е'™ го1го1[ Ь). т т Граничное условие для Е приводит к уравнению 19 Йа = Йа.
Его первый корень: йа = 4,49, 3. В резонатор внесен маленький шарик с электрической н магнитной поляризуемостями а, и а . Определить вызванный этим сдвиг собственной частоты резонатора. Р е ш е н и е. Пусть Е, Н вЂ” напряженности поля в резонаторе без шарика а Ен Нг — в его присутствии. Поля Е и Н удовлетворяют уравнениям (90.1~, а Е1 и Нг — уравнениям 1гл1 го1Е1 = — Нм с 4я. Еаг гоСНг = — 1г — — Ен с с где 11 — плотность тока в шарике.
Умножим первое уравненис (1) на Н*, второе на — Е', произведем комплексное сопряжение над уравнениями (90.1) и умножим первое из них на Ны а второе ва — Ег Сложив затем все четыре уравнения, получим . англ „„4я, г(1т([ЕгН*'+ [Е*Н1[) = 1 — (НгН" -~- Е1Е*) — — 11Е*, где ага = агг — аг — искомый сдвиг частоты. Проинтегрируем это равенство по объему резонатора, Левая часть преобразуется по теореме Гаусса и и аналогично для Н,, Н,. Если все три или два из чисел пм пю пз равны нулю, то Е = О. Поэтому первой (наименыпей) частоте соответствует колебание, в котором одно из этих чисел равно нулю, а два — единице. Ввиду наличия связи (3) решение (1) (с заданными отличными от нуля пм пю пз) содержит всего две независимые произвольные постоянные, т.
е. каждая собственная частота двукратно вырождена. Частоты же, для которых одно из чисел пг, пг, пз равно нулю, не вырождсны. 2. Определить частоты дипольно-электрических и дипольно-магнитных колебаний в сферическом резонаторе (радиуса а). Р е ш е н и е. В стоячей сферической волне днпольно-электрического типа поля Е и Н имеют вид РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. Х ~ )сЕ" сй' = — ссш(УЕс+.4ЕНе) = — илге(а,!Ес! + а !Нс! ), где Ес = Е(гс), Не = Н(ге); ге — координаты шарика, Ис — его объем; подразумевается, что размеры шарика настолько малы, что изменением полей Е, Н на них можно пренебречь. 'Ракии образом, с учетом (90.5), находим для искомого сдвига частоты: йс а,!Ес!~ + а !Но(~ Ис.
— ~!Н!АЛ 2х Если поляризуемости комплексны, эш формула дает как сдвиг частоты собственных колебаний,так и их затухание. 4. Резонатор заполнен прозрачным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е. Определить изменение собственной частоты при малом изменении бв(г) диэлектрической проницаемости. Р е ш е н и е. Невозмущенное поле Ее, Нс в резонаторе удовлетворяет уравнениям ссл Й ~е гог Ес = — Нс, гог На = — — Ее, с с а возмущенное поле Е, Н вЂ” уравнениям с(ас+ йл) гоСЕ = с с гоС Н = — -(псе + слбе + ейл) Е с (членом с йское пренебрегаем). Поступин с этими четырьмя уравнениями, как в предыдущей задаче, получим бсч ((ЕНе! + [ЕсН!) = — (слбе+ ейс)ЕЕо + — йсННо = с с се -(слбе -~- ейл)ЕсЕо й — йлНсНо, с с и затем йл ) !Ес!~М с(г' ы 2е ) !Ео!эсЛГ При переходе к последней формуле учтено, что для заполненного диэлектриком резонатора соотношение (90.5)приобретает вид ~ !Нс! ссс' = е / !Ео! с(Р как зто ясно из (90.9).
При наличии дисперсии диэлектрическая проницаемость меняется не только за счет изменения параметров, но и за счет изменения частоты, так что 4е бе = бе., + — йл, где бе„— изменение диэлектрической проницаемости при заданной частоте исчезает, так как на стенке Ес = О, Ем = 0 Ввиду малых размеров шарика основной вклад в интеграл от первого члена справа возникает на болыпих расстояниях от него; с другой стороны, на этих расстояниях производимое шариком возмущение поля мало, так что можно положить Ес Е, Нс св Н.
Интеграл же от второго члена преобразуется подобно тому, как зто делалось в э 89 (и в задаче 1 к нему), и дает 455 1 91 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ (ср. (81.9)). Подставляя в (1) и решая относительно бса получаем окончательно: 1 ~Ее~~бе г(1' 1 )Еор гЛ' г1го 9 91. Распространение злектромагнитных волн в волноводах гог гй,Н, = — — Е„ с Отсюда ш гЬдЕ шз = 2,2 дх гй, дЕ 2,2 ду гш дЕ, 2 дз (91.1) Н и дЕ. смг ду ) Ниже мы пишем все формулы для пустого нолновода. Переход к формулам для иолнонода, заполненного неноглощающнм диэлектриком, осущестнляется преобразованием (90.9). ) Е- и Н-волны называют также соответственно ТМ- и УЕ- (поперечномагнитными и поперечно-электрическими) волнами.
В отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе резонаторов, имеющих конечный объем, волновод представляет собой полость неограниченной длины — — бесконечно длинную полую трубу1). В то время как собственные колебания в резонаторе представляют собой стоячие волны, в волноводе волна является стоячей лишь в поперечных направлениях, а в направлении вдоль длины трубы возможно распространение бегущих волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
