VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Р е ш е н и е. В анизотропном случае равенство (87.2) 3,~ = 133е заменится следующим: ~ьте Ч е В компонентах: 3,13 + 3,123,23 — Ч11 3.22 + 3.323,23 — 3122 3.32(3,33 + 3,22) = чш; 63 (с33 + 3.22 ) = чю Решение этих уравнений: «2 = 3132334, 1 Ь23 = Ч214 1 3* = - 13 3 3 3 — 3 3» 3 ( 2 = 3 32 — Д. 2 Выбор знаков определяется условием положительности поглощения энергии. Мы не предполагаем равенства ~32 = 3',233 допуская тем самым также и применение к случаю наличия внешнего магнитного поля.
й 97.Плоская волна в анизотропной среде При изучении оптики анизотропных тел кристаллов мы ограничимся наиболее важным случаем, когда среду можно считать 3'в данной области частот) немагнитной и прозрачной. В соответствии с этим связь между напряженностями и индукциями злектрического и магнитного полей дается равенствами (979) В=Н, Г)1 = а1йЕь, причем все компоненты диэлектрического тензора е,ь вещественны, а его главные значения положительны. Уравнения Максвелла для поля монохроматической волны гласят: 2а3Н = сго1 Е, и3П = — его Н. (97.2) В плоской волне, распространяющейся в прозрачной среде, все ВЕЛИЧИНЫ ПрОПОрцИОНаЛЬНЫ Е1йш С ВсщсетВЕННЫМ ВОЛНОВЫМ ВЕК- тором й.
Произведя дифференцирование по координатам, полу- чим "-н = ~ы], -в = — [) н). (97.3) Отсюда гтрежде всего видно, что три вектора )г, В и Н взаимно перпендикулярны. Кроме того, вектор Н перпендикулярен к Е. Поскольку вектор Н перпендикулярен одновременно к трем векторам ху, Е, 1с, то последние лежат в одной плоскости. 480 злн«ттомьгнитныв волны в Аинзотгопных сгкдлх ГЛ. Х1 481 ПЛОСКАЯ ВОЛНА В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ На рис. 51 иллюстрируется взаимное расположение всех векторов. По отношению к направлению волнового вектора поперечны О и Н, но не Е.
На рисунке указано также направление потока энергии й в волне. Оно определяется векторным произведением [ЕН]г т. е. перпендикулярно к Е и Н. В отличие от волны в изотропной среде, здесь направление потока энергии не совпадает с направлением волнового вектора. Очевидно, что вектор В компланарен с векторами Е, О, 1с и составляет с вектором 1с угол, равный углу между Е и В. Выделим из абсолютной величины Б вектора 1с множитель сс/с и будем писать 1с = — п. с Абсолютная величина определенного таким образом вектора п в анизотропной среде зависит от его направления, в отличие от изотропной среды, в которой п = Нге зависит только от частоты ).
С помощью 11 обозначения (97.4) основные формулы (97.3) напишутся в виде Н = [пЕ), В = — [пН). (97.5) Выпишем также выражение для вектора потока энергии в плоской волне: Я = — '[ЕН) = — "' ~пЕ~ — Е(Еп)~ (97.6) (97.4) Н (в этой формуле Е и Н вещественны). До сих пор мы не использовали еще соотношения (97.1), содержащего материальные константы есы Совместное использование этого соотношения и уравнений (97.5) позволяет определить зависимость оз(1с). Подставив первую из формул (97.5) во вторую, получим П = [п[Еп)1 = П2Š— п(пЕ).
(97.7) Если приравнять компоненты этого вектора выражениям есьЕВ согласно (97.1), мы получим три однородных линейных уравнения для трех составляющих вектора Е: 2 и Ег' игиьЕА: еггьЕА или (и 6сь — исиь — агь)ЕВ = О. (97.8) ) О всличиис п и здесь принято говорить как о показателе врсломлсиияг хотя она теперь не имеет такого простого отношения к закону преломления, как в изотропвых телах. 16 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том НН1 482 гл. х! Условие совместности этих уравнений требует обращения в нуль определителя, составленного из их коэффициентов; с)сс )и д~ь — гьпь — е,'ь! = О. (97.9) Фактическое вычисление этого определителя удобно производить, воспользовавшись в качестве декартовых осей координат х, у, г главными осями тензора е,ь (называемыми в этой связи главными диэлектрическими осими).
Главные значения тензора обозначим через е(*), е(У), е('). Простое вычисление приводит к следующему уравнению: 2(Е(я) 2 ( Е(У) 2+с(х) 2) ( 2Е(х)(Е(У)+Е(а)) ) 2Е(У)(С(е)+С(х))+ + п,е(')(с(*) + с(У))1+ е(*)е(У)е(') = О. (97.10) Отметим, что старшие члены (шестой степени по пе) при раскрытии взаимно сокращаются; это обстоятельство, разумеется, не случайно и связано в конечном счете с тем, что волна имеет всего два, а не три независимых направления поляризации. Уравнение (97.10) . так называемое уравнение Френеля одно из основных уравнений кристаллооптики ). Ово определяет в неявном виде закон дисперсии, т. е. зависимость между частотой и волновым вектором (функциями частоты являются главные значения е(0, а в некоторых случаях -- см.
8 99 -- также и направления главных осей тензора е;ь). Обычно при рассмотрении монохроматических волн частота, а с нею и все е(0 являются заданными постоянными величинами, и тогда уравнение (97.10) определяет абсолютную величину волнового вектора по его направлению. При заданном направлении и (97.10) есть квадратное уравнение для и с вещественными коэффициентами. Поэтому каждому направлению и соответствуют в общем случае два различных абсолютных значения волнового вектора.
Уравнение (97.10) (с постоянными коэффициентами е(0) ОПРЕДЕЛЯЕТ В КООРДИНатаХ Пе, ПУ, и, НЕКОТОРУЮ ПОВЕРХНОСТЬ-- поверхность волновых векторов 2). В общем случае зто есть поверхность четвертого порядка; се подробное исследование будет произведено в следующих параграфах. Здесь же мы укажем лишь некоторые ее важные общие свойства.
') Основы кристаллооптики были заложены Френелем (А. г геене() в 1820-х годах, исходя из механических аналогий, задолго до построения электромагнитной теории. зг ) Используемое в литературе другое построение — поверхность нормалей (или поверхность индексое), получающаяся путем откладывания вдоль каждого направления отрезка 1/и (вместо и)., — представляется менее удобным. 483 ПЛОСКАЯ ВОЛНА В АННЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ Предварительно введем еще одну величину, характеризующую свет, распространяющийся в анизотропной среде.
Направление световых лучей (в геометрической оптике) определяется вектором групповой скорости ди/д1г. В изотропной среде его направление всегда совпадает с направлением волнового вектора; в анизотропной же среде это, вообще говоря, нс так. Для характеристики лучей введем вектор в, по направлению совпадающий с групповой скоростью, а по абсолютной величине определяющийся равенством (97.11) па=1.
Будем называть в лучевым вектором. Смысл этой величины выясняется следующим образом. Рассмотрим пучок лучей (с одинаковой частотой), распространяющихся во все стороны из некоторого центра. Значение эйконала 1Р (совпадающего с точностью до множителя н1/с с фазой волны; см. з 85) в каждой точке луча дается интегралом ) п 111, взятым вдоль луча. Введя вектор в, определяющий направление луча, напишем (97.12) В однородной среде 6 постоянно вдоль луча, так что 1Р = Ь/6, где Ь длина данного отрезка луча.
Отсюда видно, что если вдоль каждого радиуса, выходящего из центра пучка лучей, отложить отрезок, равный (или пропорциональный) е, то мы получим поверхность, во всех точках которой лучи имеют одинаковую фазу. Эту поверхность называют лучевой. Введенные таким образом поверхность волновых векторов и лучевая поверхность находятся в определенном взаимном отношении друг с другом.
Напишем уравнение поверхности волновых векторов условно в виде 7(61, 1г) = О. Тогда групповая скорость (97.13) дй д1 дю т. е. пропорциональна вектору д7"/д1г или, что то же (поскольку производная берется при постоянном 61), вектору д7'/дп. Ему же, следовательно, пропорционален лучевой вектор. Но вектор д~/дп направлен по нормали к поверхности 7" = О. Таким образом, мы приходим к результату, что направление лучевого вектора волны с заданным значением и определяется нормалью к соответствующей точке поверхности волновых векторов. Легко видеть, что справедливо и обратное утверждение: нормали к лучевой поверхности определяют направления соответствующих волновых векторов.
Действительно, псрпендикуляр- 16* 484 элвктвомлгнитныв волин в Аниэотгопных сгвлАх ГЛ. Х| вость в к поверхности волновых векторов выражается соотношением вбп = О, где бп - любое бесконечно малое изменение п (при заданном ы), т. е. вектор бесконечно малого смещения поверхности. Но, дифференцируя (тоже при заданном ш) равенство пя = 1, получим пбв + нбп = О, откуда видно, что и пбя = О, чем и доказывается сделанное утверждение.
Описанная связь между поверхностями п и в может быть еще уточнена. Пусть по есть радиус-вектор какой-либо точки поверхности волновых векторов, а во соответствующий ей лучевой вектор; напишем уравнение (в координатах п„пю и,) касательной в этой точке плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
