VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Это есть во(п — по) = О, чем выражается перпендикулярность яо к любому вектору п — по, лежащему в данной плоскости. Поскольку во и по связаны соотношением вовс = 1, то зто уравнение можно записать в виде нрп = 1. (97.14) Отсюда видно, что 1/эо есть длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, касательную к поверхности волновых векторов в точке пс. Обратно: если к некоторой точке во лучевой поверхности построена касательная плоскость, то длина перпендикуляра, опущенного (из начала координат) на эту плоскость, равна 1(|ио. Выясним расположение лучевого вектора по отношению к векторам напряженности поля в волне.
Для этого замечаем, что направление групповой скорости совпадает с направлением среднего (по времени) вектора потока энергии. Действительно, рассмотрим волновой пакет, заключенный в малом участке пространства. При перемещении пакета сосредоточенная в нем энергия перемещается вместе с ним, а это и значит, что направление ее потока совпадает с направлением скорости пакета, т.
е. групповой скорости. Совпадение направлений групповой скорости и вектора Пойнтинга можно доказать также и непосредственно из формул (97.5). Дифференцируя эти формулы (при заданном ы), получим бВ = [бН п]+ [Нбп]| бН = [пбЕ]+ [бп Е,'. (97.15) Умножим первое равенство скалярно на Е, а второе на Н; с учетом (97.5) имеем ЕбВ = НбН+ [ЕН]бп, НбН = ВбЕ+ [ЕН]бп. 485 плОскАя ВОлнА В АВНЗОРРОпнОЙ сРеде Но 1ЭбЕ = е,ьЕьбЕ, = Еб1Э; позтому, складывая оба равенства, получим [ЕН)бп = О, (97.16) т. е. вектор [ЕН) нормален поверхности волновых векторов, что и требовалось доказать 1). Поскольку вектор Пойнтинга перпендикулярен Н и Е, то то же самое относится и к вектору в: (97.17) ЕН =О, ВЕ=О.
Непосредственное вычисление с помощью формул (97.5), (97.11) и (97.17) приводит к соотношениям (97.18) Н = [во), Е = — [НН). Так, [НН[ = [в[пЕ1) = п(НЕ) — Е(пв) = — Е. Если сравнить формулы (97.18) с формулами (97.5), то мы уви- дим, что они получаются друг из друга заменой Е +» П, п е-» в, ееь е+ е,,~ (97.19) (причем не нарушается, разумеется, и соотношение пв = 1).
Последняя из зтих трех замен должна быть введена для того, чтобы не нарушалась также и связь (97.1) между В и Е. Таким образом, можно высказать следующее правило, полезное при различных вычислениях: если имеется какое-либо уравнение, .справедливое для одного ряда перечисленных величин, то замена (97.19) приводит к правильному аналогичному уравнению для другого ряда величин. В частности, применив зто правило к уравнению (97.10), сразу же получим аналогичное уравнение для вектора в: 2( (у) (х) 2 + (х) (х) 2 + (х) (у) 2) х у — [з~(с~У~ + е~'~) + з2(е(х) + е(')) + В2(е(х) + е(У) )) + 1 = О.
(97 20) Этим уравнением определяется форма лучевой поверхности. Как и поверхность волновых векторов, зто есть поверхность четвертого порядка. При заданном направлении в (97.20) дает квадратное уравнение для я2, имеющее в общем случае два различных ') Полученный таким образом результат относится к мгновенному (а не только к среднему) значению потока знергии. Однако в приведенном доказательстве существенным образом использована симметричность тензора е,ь.
Позтому в таком виде результат нс будет справедлив для сред с несимметричным е,ь (гиротропные среды — см. з 101). Утверждение же для среднего значения вектора Пойнтинга справедливо и в зтом случае (задача 1 к 5 101). 486 злвктеомлгнитвыв волям в Анизотжопнь~х сгклАх ГЛ. Х! вещественных корня. Таким образом, вдоль каждого направления в кристалле могут распространяться два луча с различными волновыми векторами.
Перейдем к вопросу о характере поляризации волн, распространяющихся в авизотропной среде. Уравнения (97.8), из которых было получено уравнение Френеля, для втой цели неудобны, так как в них входит напряженность Е, в то время как поперечной в волне (по отношению к заданному п) является индукция В. Для того чтобы с самого начала учесть поперечность вектора В, выберем временно новую систему координат, одна из осей которой направлена вдоль волнового вектора волны. Две же поперечные оси будем отмечать греческими индексами, пробегающими значения 1, 2.
Поперсчныс составляющие равенства (97.7) дают .Р„= ппК„: подставив сюда Е,„= е дРд (где е д -. компонента тензора, обратного тензору е д), получим (и ~д,~ — а ~~)Рд = О. (97.21) Условие совместности зтих двух (а = 1, 2) уравнений с двумя неизвестными Ры Рт заключается в равенстве нулю их определителя; пе1~~п 6 д — е д) = О. (97.22) Это условие совпадает, разумеется, с написанным в исходной системе координат л, у, л уравнением Френеля. Мы видим теперь, однако, что соответствующие двум значениям п векторы В направлены вдоль главных осей двумерного симметричного тензора второго ранга е„~д. Согласно общим теоремам отсюда следует, что зти векторы взаимно перпендикулярны.
Таким образом, в двух волнах с одинаковым направлением волнового вектора векторы злектрической индукции линейно поляризованы в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Уравнения (97.21) допускают простую геометрическую интерпретацию. Построим в системе координат х, у, г (снова возвращаемся к главным дизлектрическим осям) тензорный зллипсоид, соответствующий тензору е,.~, т.
е. поверхность (рис. 52). Пересечем эллипсоид плоскостью, проходящей через его центр и перпендикулярной к Ряс ЗЗ заданному направлению п. Фигурой сечения бу- дет в общем случае эллипс: длины его главных осей определяют значения и., а их направления .. соответствующие направления колебаний (векторы В). 487 плОскАя ВОлнА В АВНЗОтРОпнОЙ сРеде Из этого построения (в общем случае различных е(*), е("), е(')) очевидно, что если волновой вектор направлен, скажем, вдоль оси х, то направлениями поляризации В будут оси у и е. Если же вектор и лежит в одной из координатных плоскостей, например в плоскости ху, то одно из направлений поляризации лежит тоже в плоскости ху, а другое — перпендикулярно к ней. Аналогичными свойствами обладают поляризации двух волн с одинаковым направлением лучевого вектора.
Вместо направлений индукции Х) здесь надо рассматривать направления поперечного к в вектора Е, причем вместо уравнений (97.2)) будем иметь аналогичные уравнения (З б Д вЂ” сод)ЕД = О. — 2 (97. 24) Геометрическое построение осуществляется в этом случае с по- мощью тензорвого эллипсоида ееьхехь = е~*)х +а~Я)У +е~')е~ = ), (97.25) Задача Выразить компоненты лучевого вектора я через компоненты и в главных диэлектрических осях.
Р е щ е н и е. Продифференцировав левую часть уравнения Г(п) = 0 (97.10) по и, и определив затем коэффициент пропорциональности между з, и дУ(дпз из условия пе = 1, получим следующие формулы для связи между векторами е и и: еоп(е1М + епл) — 2еияпз — (ЕЫ1+ сия)пг — (е1 ~ + еоп)пз и, 2ем)еояееп — пзем~(евп -> ем) ) — птгеы~(ем1+ ем1) — пзгпо ф ) + гав) и аналогично — для е„, з„. соответствующе~о прямому тензору е;ь (эллипсоид Френеля). Следует подчеркнуть тот факт, что распространяющиеся в анизотропной среде плоские волны оказываются линейно поляризованными в определенных плоскостях. В этом отношении оптические свойства анизотропных сред существенно отличаются от свойств изотропных сред.
Распространяющаяся в изотропной среде плоская волна в общем случае поляризована эллиптически, и лишь в частных случаях эллиптическая поляризация сводится к линейной. Это существенное отличие связано с тем, что случай полной изотропии среды является в известном смысле вырожденным: двум направлениям поляризации соответствует здесь один и тот же волновой вектор, вместо двух различных (с одинаковым направлением) в общем случае анизотропной среды; распространяясь с одним и тем же значением п, две линейно гтоляризованные волны складываются в эллиптически поляризованную. 488 злвктгомлгнитныв волны в лннзотгопных сгвдлх гл. х! 8 98. Оптические свойства одноосных кристаллов Оптические свойства кристалла зависят в первую очередь от симметрии его диэлектрического тензора енг В ятом отношении все кристаллы делятся на три категории кубические, одноосные и двухосные (см. 8 13).
В кристалле кубической системы егь = ед;ы т. е. три главных значения тензора совпадают, а направления главных осей вполне произвольны. Позтому в отношении своих оптических свойств кубические кристаллы вообще не отличаются от изотропных тел. К одноосным относятся кристаллы ромбоздрической, тетрагональной и гексагональной систем. Одна из главных осей тензора егь совпадает здесь с осью симметрии соответственно третьего, четвертого или шестого порядка; зту ось называют в оптике оптической осью кристалла (ниже мы выбираем зту ось в качестве оси е, а соответствующее главное значение еиь обозначаем как е~ ). Направления же двух других главных осей (в плоскости, перпендикулярной к оптической оси) произвольны, а соответствующие главные значения дизлектрического тензора совпадают (ниже они обозначены еь). Если в уравнении Френеля (97.10) положить ела*1 = ейй = еь, е1'1 = еП то выражение в его левой части распадается на два квадратичных множителя: (и — ех)(е//и, + е г(п, + и„) — е ге!9 — О.
2 и =ег, (98.1) 2 2 2 и, + п Ч-пр е~ е~ (98.2) Геометрически зто означает, что поверхность волновых векторов (в общем случае поверхность четвертого порядка) распадается на две раздельные поверхности - - сферу и эллипсоид. На рис. 53 изображен продольный разрез зтих поверхностей. Здесь возможны два случая: если ег ) е~р то сфера лежит вне эллипсоида, а если ег ( е~~ -- то внутри его (в первом случае одноосный кристалл называют отрицательным, а во втором .— полоэкительным; рис. 53). Обе поверхности касаются друг друга в двух точках противоположных полюсах, лежащих на оси и,. Иначе говоря, направлению оптической оси соответствует всего одно значение волнового вектора. Другими словами, уравнение четвертого порядка распадается на два уравнения второго порядка: 1 Яв ОПТИЧЕСКИВ СВОЙСТВА ОДНООСНЫХ КРИСТАЛЛОВ 489 Аналогичный вид имеет лучевая поверхность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
