VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Дело в том, что для обычных дизлектриков ядро ~;ь интегрального оператора существенно убывает уже на расстояниях ~г — г'~, больших только по сравнению с атомными размерами а. Между тем макроскопические поля, усредненные по физически бесконечно малым злсментам обьема, по определению должны мало меняться на расстояниях а. В первом приближении можно тогда вынести Е(г') Е(г) из-под знака интеграла по дГ в (103.1), в результате чего мы вернемся к (77.3). В таких случаях пространственная дисперсия может проявиться только в качестве 1 1аз ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ малых поправок.
Но зти поправки, как мы увидим, могут приводить к качественно новым физическим явлениям и потому быть существенными. Другая ситуация может иметь место в проводящих средах (металлы, растворы злектролитов, плазма): движение свободных носителей тока приводит к нелокальности, простирающейся на расстояния, которые могут быть велики по сравнению с атомными размерами. В таких случаях существенная пространственная дисперсия может иметь место уже в рамках макроскопической теории ). Проявлением пространственной дисперсии является и доплеравсксе уширение линии поглощения в газе. Если неподвижный атом имеет на частоте оза линию поглощения с пренебрежимо малой шириной, то для движущегося атома зта частота сдвигается, в силу зффекта Доплера, на величину )сч, где и ..
скорость атома (п « с). Это приводит в спектре поглощения газа как целого к поЯвлению линии шиРины Ьа1 Кит, гДе ит сРеДнЯЯ тепловаЯ скорость атомов. В свою очередь, такое уширение означает, что дизлсктрическая проницаемость газа имеет существенную пространственную дисперсию при )с > (о7 — о7а~/ат. В связи с формой записи (103.1) необходимо сделать следующее замечание. Никакие соображения симметрии (пространственной или временной) не могут исключить возможности злектрической поляризации дизлектрика в переменном неоднородном магнитном поле. В связи с зтим может возникнуть вопрос о том, не следует ли дополнить правую часть равенства (103.1) или (103.2) членом с магнитным полем. В действительности, однако, в зтом нет необходимости. Дело в том, что поля К и В нельзя считать полностью независимыми.
Они связаны между собой (в монохроматическом случае) уравнением го1 Е = ™вЂ” В. В сис лу зтого равенства зависимость О от В можно рассматривать как зависимость от пространственных производных Е, т. е. как одно из проявлений нелокальпости. При учете пространственной дисперсии представляется целесообразным, не умаляя степени общности теории, писать урав- ) Для изотропной проводящей среды условия пренебрежения пространственной дисперсией могут оказаться различными для поперечной и продольной проницаемостей. В первом случаехарактерным расстоянием ге,на котором ядро интеграла в (1а3.2) отлично от нуля, является меныпая из величин и/ы или 1, где е — средняя скорость носителей тока, 1 — их длина свободного пробега.
Для продольной проницаемости ге совпадает с меньшей из величин о/ы илн (11П ы) (последняя длина есть расстояние, которое носители тока проходят вдоль поля за счет диффузии за время 1!ы; коэффициент диффузии Р (е). Пространственная дисперсия несущественна, если Ь'е « 1 17* 516 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ гл, хп пения Максвелла в виде го1 Е = — — —, с1га В = О, 1ав ас ' (103.3) гоСВ = — —, 1 аАА ас ' (103.4) с)1РО = О, не вводя наряду со средней напряженностью магнитного поля Ь = В еще и другую величину Н.
Вместо этого все члены, возникающие в результате усреднения микроскопических токов, предполагаются включенными в определение АА. Использовавшееся ранее разделение среднего тока на две части согласно (79.3), вообще говоря, не однозначно. В отсутствие пространственной дисперсии оно фиксируется условием, чтобы Р было электрической поляризацией, локальным образом связанной с Е. В отсутствие такой связи удобнее полагать М = О, В = Н и рч = —, (103.5) а1 ' чему и отвечает представление уравнений Максвелла в виде (103.3), (103.4) ').
Компоненты тснзора Ль(со; г, г') -- ядра интегрального оператора в (103.2) — удовлетворяют соотношениям симметрии Ль(оз; г, г') = уь; (оз; г', г) . (103.6) Это следует из таких же рассуждений, которые были проведены в 9 96 для тензора ееь(ш). Разница состоит только в том, что перестановка индексов а, 5 в обобщенных восприимчивостях сг еч означающая перестановку как тензорных индексов г, 1с, так и точек г и г', приводит теперь к перестановке соответствующих аргументов в функциях ~,ь(ы; г, г') ). Ниже мы будем рассматривать неограниченную макроскопически однородную сроду. В таком случае ядро интегрального опе- ) В свете сказанного можно с несколько иной точки зрения взглянуть на сделанное в 6 79 утверждение о потере смысла проницаемостью д в области оптических частот.
В этой области эффекты, связанные с отличием магнитной проницаемости от 1, вообще говоря, неотличимы от эффектов пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости. Вместе с тем следует иметь в виду, что принятое здесь определение Р, при котором М = О, не является единственным. Оно удобно в случае неограниченной однородной среды, о которой идет речь ниже в этой главе. В других случаях может оказаться целесообразным вводить Р и М одновременно. ю ) Как всегда при применении обобщенного принципа симметрии кинетических коэффициентов, если тело находится во внешнем магнитном поле или обладает магнитной структурой, правая часть соотношения (103.6) должна быть взята при измененном знаке поля или для обращенной по времени структуры. 517 1 заз пгостганстпвнная днспвгоия ратора в (103.1) или (103.2) зависит только от разности р = г— — г'.
Функции О и Е целесообразно разложить тогда в интеграл Фурье не только по времеви, но и по координатам, сведя их к совокупности плоских волн, зависимость которых от г и 1 дается множителем ехр (1(1сг — ы1)). Для таких волн связь О и Е принимает вид )."), = е;ь(оз, 1с)Юы (103.7) где ев(оз,1с) = бей+ / ~ ~ей(т, р)е'1ы™) г1зрг1т. (103.8) а е;ь(-ы, -1с) = еь,(ы, 1с) (103.9) соотношение, обобщающее (77.7).
Симметрия же (103.6), выраженная в терминах функций е;ь(ю, )с), дает теперь ась(ш 1с лз) = яы(ш 1с л)) (103.10) где в явном виде выписан параметр зЗ вЂ” внешнее магнитное поле, если таковое имеется. Если среда обладает центром инверсии, компоненты е,ь являются четными функциями вектора 1с; аксиальный же вектор при инверсии не меняется и потому равенство (103.10) сводится к Пространственная дисперсия не сказывается на выводе формулы (96.5) для диссипации знергии.
Поэтому условие отсутствия поглощения по-прежнему выражается зрмитовостью тензора егь(ы, 1с). ') Более точно — зависимость от 1г исчезает нрн 'аге « Ц где ге — размеры области, в которой у,ь(ы,р) существенно отлично от нуля. В таком описании пространственная дисперсия сводится к появлению зависимости тензора дизлектричсской проницаемости от волнового вектора. «Длина волны» 1/к определяет расстояния, на которых поле существенно меняется.
Можно сказать позтому, что пространственная дисперсия является выражением зависимости макроскопических свойств вещества от пространственной неоднородности злектромагнитного поля, подобно тому, как частотная дисперсия выражает зависимость от временного изменения поля. При к — + 0 поле стремится к однородному, соответственно чемУ е,ь(оз, 1с) стРемитсЯ к обычной пРоницаемости ей(оз) г).
Из определения (103.8) видно, что 518 гл, хп ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ Г1ри наличии пространственной дисперсии диэлектрическая проницаемость является тензором 1а ве скаляром) даже в изотропной среде: выделенное направление создается волновым вектором. Если среда не только изотропнен но обладает также и центром инверсии, тензор е,ь может быть составлен только из компонент вектора 1с и единичного тензора бгь (при отсутствии центра симметрии может стать возможным также и член с единичным антисимметричным тензором е;ы, см.
3 104). Общий вид такого тензора можно записать как е,ь1ы,'к) = ес1бс, 1С) (б,ь — *,") + еу(ы, 1с) ',", 1103.12) где е~ и е~ зависят только от абсолютной величины волнового вектора (и от ы). Если напряженность Е направлена по волновому вектору, то индукция О = Е~Е; если же Е Г 1с, то О = Е~Е. Соответственно, величины е~ и е~ называют продольной и поперечной проницаемосгплми. При 1с — э 0 выражение 1103.12) должно стремиться к значению е(СА)бйп не зависящему от направления 1г; ясно поэтому, что е~(ы, 0) = е~(ы, 0) = е1ы).
1103.13) Описание электромагнитных свойств изотропной среды с помощью проницасмостей е~ и а~ отвечает уравнениям Максвелла, представленным в виде 1103.3), 1103.4). С другой стороны, при и -~ О,когда пространственная дисперсия исчезает, можно вернуться к описанию с помощью проницаемостей е и 1А. Поэтому между теми и другими величинами существует определенная связь 1см. задачу 1). Аналогия между формулами 1103.8) и 177.5) позволяет перевести на каждую из компонент е,ь(о~,1г) как функцию комплексной переменной ы результаты исследования аналитических свойств, произведенного в 3 77, 82. Они являются аналитическими функциями, не имеющими особенностей в верхней полуплоскости ы, и удовлетворяют (при каждом фиксированном значении 1С) дисперсионным соотношениям Крамерса — Кронига.
То же самое относится и к функциям е~(ы, й) и е~(ы, й) в 1103.12). При этом надо иметь в виду, что функция е~ при й ф 0 не стремится при ы — Р 0 к бесконечности даже в проводящей среде, и потому вычитание (которое было необходимо при выводе (82.9)) здесь не требуется; обращение е(ы) в проводнике в бесконечность при и — Р 0 связано с однородностью (к = 0) статического поля. Средняя по времени (в объясненном в 3 80 смысле) плотность энергии электромагнитного поля в прозрачной среде с пространственной дисперсией выражается прежней формулой 196.6); по- 519 1 103 НРОСТРАНСГВЕННАЯ ДНСПЕРСНЯ скольку теперь (А = 1,то Г = — ~ ( *") Е1Е~ [В[21 (103.14) 161г ~ дьг (Е и В предполагаются представленными в комплексном виде).
В плотности же потока энергии в такой среде появляется дополнительный член; Я = — Ке [Е'В) — — — "Е,*Ем (103.15) 81г 16л д11 Эта формула выводится путем обобщения вывода формулы (80.1Ц1 теперь надо рассматривать волну, размытую как по небольшому интервалу частот, так и по направлениям волнового вектора (см, задачу 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
