VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Говоря об изменении Ф „ со временем, мы имеем в виду только систематический ход этого изменения: другими словами, рассматривается энергия, усредненная по интервалам времени, большим по сравнению с псРиоДами 1/а21, 1/ь27 (что и отмечено чеРтой наД Ф п в (107.4)). Именно здесь требуется слабость нелинейных эффектов: характерное время т вызванного ими систематического нарастания возбуждающихся колебаний должно быть велико по сравнению с указанными периодами. Только в таких условиях может иметь смысл рассмотрение временного хода величин, усредненных по интервалам Ьс, таким, что —, — (( Ахь' (( т. 1 1 111 Ы2 Равенства (107.4) и представляют собой искомые соотношения: они известны как теорема Мзнли — Роу (ХМ.
Мап1еу, 11 ) Запись скоростей изменения целочисленных величин в виде производных имеет, конечно, условный характер. Но ввиду предположенной несоизмеримости а21 и а22 и целочисленности чисел квантов и их изменений это равенство требует обращения в нуль каждой из двух сумм в отдельности '): ~т = О, ~~1 и " = О. (107.2) 534 НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА ГЛ. Хгп Н.Е.
Вове, 1956) ). Остается придать им более определенный вид, избавившись от ограничения ш „> 0 при суммированиях. Это легко сделать, заметив, что кажпдой паре чисел гп, п1 для которой шт„> О, отвечает пара чисел — т, — п, для которой частота отрицательна при том жс ~ог „~. Положив по определению (107.5) ''"" = О, пинг + пыг 1Й т=о и= — оо Е п '1Ут- 0 ти1 т пыг Гп п=о т= — со (107.6) Обобщение теоремы на случай большего числа исходных несоизмеримых частот очевидно. Конкретные свойства колебательной системы могут запрещать те или иные процессы преобразования частот.
Суммирования в (107.6) производятся фактически лишь по разрешенным процессам. Так, в простейшем случае системы, допускающей лишь генерирование комбинационной частоты аг1 + шз, числа т, п пробегают значения О, 1 и мы находим 1 а1-и'11 (107. 7) ыг 11" Мг 11 огг -~- сгг <Й Смысл зтих равенств очевиден: убыль чисел квантов Боз1 и Бозз равна прибыли числа генерируемых квантов 6(а11 + огг). й 108.
Нелинейная проницаемость При слабой нелинейности первая поправка к линейной зависимости Н от Е квадратична по полю. При наличии временной дисперсии ~) она может быть представлена в произвольной ани- ') Ее квантовая интерпретация указана Вейссолг (М.Т. '111егзг, 1957). г) Пространственной дисперсией везде в втой главе мы пренебрегаем. и распространив суммирование по всем целым числам от — со до ОО, мы, следовательно, удвоим суммы, что не нарушит их равенства нулю. После зтого можно произвести еще одно упрощение. В первом равенстве (107.4) разбиваем сумму по т на две суммы от 0 до ОО и от — Оо до О, и во второй заменяем т, п — ~ — т1 — и: аналогичное преобразование во втором равенстве (107.4) производим в сумме по п. В результате получим окончательно; 535 нвлинвйнАя пгоницлвмость 1 1ав зотропной среде выражением П. (1) = О Л ы(ты тз)Еь(~ — т1)Ь~(8 — тз) йт1 йтз, (108.1) а аналогичным (77.3).
Разумеется, существование такого члена налагает определенные ограничения на допустимую симметрию среды; в частности, он отсутствует, если среда инвариантна относительно инверсии. Хотя ниже мы будем рассматривать как типичный именно квадратичный по Е член вида (108.1), необходимо отметить, что в квадратичном приближении электрическая индукция Н может содержать также и билинейные по компонентам Е и Н и квадратичные по Н члены; эти члены обычно играют меньшую роль и мы не будем их рассматривать.
Мы не будем также обсуждать нелинейную зависимость магнитной индукции Н от Н ввиду аналогии с вопросом о зависимости Н(Е). Введем величину е',ы(м,ыз) = Ое'1 '"+ '~)1,,ы(тытз) Йт1 г1тз, (108.2) а которую естественно назвать нелинейной проницаемостью второго порядка (по аналогии с линейной проницаемостью е,Ь(ы), определяемой выражением вида (77.5)).
Она лишь множителем отличается от величин ~,ы = е,ы/(4п), которые называют нелинейной восприимчивостью. Ввиду симметрии, с которой входят Еь и Е~ в определение (108.1), тензор Л ы симметричен по индексам И при одновременной перестановке его аргументов: Л,ы("1 тз) = Аи(тз, т1). Поэтому такой жс симметрией обладает и тензор е, ы. (108.3) В частности, при м1 = ют тензор симметричен по последней паре индексов: е; ы(ы, ы) = е;йь(ы, ы).
(108.4) Кроме того, в силу вещественности функций Л ы (в свою очередь следующей из определения (108.1) с вещественными Е и О) имеем е; ы( — щ, — м2) = е,"ы(щ,ыз). (108.5) Проницаемость (108.2) естественно появляется при рассмотрении монохроматических полей или их суперпозиций. В нелинейных выражениях такие поля должны, конечно, быть представлены 536 НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА ГЛ.
ХШ в вещественном виде. Так, если Е .— монохроматическое поле с одной частотой ю, то надо писать Е(1) = ВО1ЕОе мм), и его подстановка в (108.1) приводит к выражению (1) = —, Ве Ьйы(м о ) е '*"'ЕО*ЕОА + ейы(м: — «~) ЕоеЕОА 1. (108.6) Оно содержит колебания с удвоенной частотой (наряду с постоянным членом, отвечающим разности частот щ — щ = О). В общем случае е, ы(щы ю2) описывает вклад в индукцию, пропорциональный ехр ( — мвэ1), щз = оз1 + щ2. Мы будем рассматривать ниже ли|пь бездиссипативные среды и будем называть их прозрачными, хотя они и не являются таковыми в буквальном смысле (для волн заданной частоты) ввиду возможности перехода энергии в другие частоты. Будем также считать, что среда не обладает магнитной структурой.
Прежде всего покажем, что в таких условиях нелинейная проницаемость вещественна. Это можно было бы увидеть непосредственно, если выразить компоненты тензора нелинейной восприимчивости через матричные элементы электрического дипольного взаимодействия среды с полем, играющего роль малого возмущения; восприимчивость второго порядка появляется в третьем приближении теории возмущений 1). Но понять происхождение вещественности результата такого вычисления можно и без его фактического проведения.
Действительно, полную систему волновых функций, по которым вычисляются матричные элементы, можно выбрать (для среды без магнитной структуры и потому инвариантной по отношению к обращению времени)) вещественной, Веществен также и оператор взаимодействия поля с электрическим дипольным моментом среды. Поэтому мнимые члены могли бы появиться лишь в результате обходов полюсов энергетических знаменателей теории возмущений.
Но отсутствие диссипации в среде означает, что ни одна из частот поля нс совпадает с разностью энергетических уровней системы (или же, что вычеты в полюсах равны нулю в силу тех или иных правил отбора); поэтому фактически обходить полюса нс приходится. Прозрачность среды приводит также к появлению определенных соотношений симметРии ДлЯ тензоРа е; ы. И эти соотношения можно было бы усмотреть из конкретных выражений, полученных по теории возмущений.
Но и здесь можно прийти к требуемому результату более простым путем. ) Эти вычисления аналогичны (хотя и значительно более громоздки) вычисленивз линейной обобщенной восприимчивости во втором порядке теории возмущений (см. Ъ', 1 126). 537 вяливвйвАя пгоницлвмость 1шв Для этого предположим, что поле в среде есть сумма трех почти монохроматических полей с несоизмеримыми частотами ь~1 ~ 1'12~ 013 Е = Е1+Е2+ЕЗ = Ве(Еше нп1+Е02е 1~'~+ЕОЗе 1~'~), (108.7) причем шз = ы1 + 012. Будем считать, что поля на частотах 101, 102, 10з были созданы внешними источниками, впоследствии вы- ключенными; под влиянием же слабой нелинейности среды их амплитуды Е01, ...
становятся медленно меняющимися функ- циями времени. Эта медленность позволяет писать уравнения Максвелла для полей каждой из основных частот в отдельности. В свою очередь, из этих уравнений обычным образом следует закон сохранения энергии в виде — (Е1131 + Н1Н1) + йн — [Е1 Н1) = 0 4х 4х (и аналогично для величин с индексами 2 и 3); О1 обознача- ет ту часть индукции О, которая содержит множители е '"", а черта - усреднение по времени (нужное для дальнейшего). При интегрировании по всему объему поля член с дивергенцией ис- чезает и остается — / (Е161 + Н1Н1) Л' = О. 4х Если теперь в явном виде выделить в О1 линейные и нели- нейные по Е члены, Н(11 П(21 то первые, вместе с Н1Н1, дадут 11Ф1/1й — изменение со временем энергии поля на частоте ш1.
Это изменение, таким образом, определяется уравнением ' = — — ) Ее(Е010 1нл11ь1, пК (108.8) 41 (21 Здесь производную д1Э~~ /д4 следует выразить через напряженность поля с помощью (108.1), (108.2). Усреднение по времени обращает в нуль все члены, кроме тех, в которых экспонснциальные множители взаимно сокращаются. Повторяя вычисления для остальных частот, находим окончательно: — — еь и( — шз, ы2)ЮОз1Я01ЙЖ021 1Л' + к. с., Ж 1бх' ' = — '"' ~ е1ь1(011 — 01зЖозЗЕ01ьЕ021"'н" + к. с. (108 0) 41 16я СЫ'З АЗ Г вЂ” е1 ы(011~ 012)ЯОз1Е01ьЕО21 аг + к с ~ Ж 16х 538 НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА ГЛ. ХШ гг-А' г14'1 г1-и'г г1-и'3 (108.10) В нелинейной среде эта сумма, вообще говоря, ве должна точно обращаться в нуль ввиду возможности перехода энергии еще И В друГИЕ КОМбИНацИОННЫЕ ЧаСтОтЫ: Ш1 — Ьгзг О13 + Ш2 И т.
д. НО ВЕЛИЧИНа ПОЛЕЙ На ЧаСтОтаХ аг1, аг2, Шзг СОЗДаННЫХ ВНЕШНИ- ми источниками, не имеет отношения к степени нелинейности; она не должна быть малой в противоположность полям на других частотах, появляющихся лишь в силу нелинейности среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
