VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Поэтому вклад последних в баланс энергии можно считать отсутствующим и потребовать обращения суммы (108.10) в нуль. Более того, поскольку такая среда представляет собой нелинейную систему всего с тремя частотами, можно применить к ней теорему Мэнли -Роу в ее простейшей форме (107.7). В используемых нами здесь обозначениях эти соотношения гласят: 13Ф 1 "~з =0 ыз ггз "'3'г ' с'~з 0 ыг г11 ыз г11 Подставив сюда (108.9), найдем, что нелинейная проницаемость удовлетворяет следующим важным соотношениям симметрии ): е; ь1(го1, ы2) = еь п( — агз, аг2) = е1,ы(аг1, — шз) (108.11) (7.А. Аттз1топу, М. Н1оетпбетуеп, Х Виситу, Р.Б. РетзЬап, 1963). Выражаемая этими равенствами симметрия становится более наглядной, если приписать компонентам тензора еще и третий аргумент так, чтобы сумма всех трех была равна нулю; Ег',Ы( Ы311'11г г'12) = ЕЬ,г1(О11, '— «13г О12) = = Е1,аг(гОЗ, О11г — О13) = Ег'1Ь( — О13, 'Ь12г Ю) (последнее равенство — (108.3)).
Если условиться связывать три последовательных аргумента (частоты) с тремя последовательными индексами тензора, то можно произвольным образом переставлять эти индексы при условии одновременной такой же перестановки аргументов. Отметим, что само по себе требование отсутствия диссипации привело бы лишь к более слабому условию — — равенству нулю Существенно, что комплексные амплитуды произвольны; позтому комплексно-сопряженные члены в (108.9), (108.10) независимы и их можно приравнивать по отдельности.
где к. с. означает комплексно-сопряженное выражение. При вычислении использовано свойство (108.3). Суммарное изменение энергии на всех трех частотах равно 539 ввливвйнАя пгоницлвмость 1 1ав суммы (108.10), т. е. шве;ы(ыд,ыз) — м1вьц( — шв,ы2) — м2в~ы(шд, — шв) = О.
(108 22) Изложенный вывод неприменим непосредственно при ю1 = ы~ = ш, поскольку соотношения Маяли-Роу сводятся при этом к одному лишь сохранению полной энергии. Но о равенстве в, вл(ш,ш) = выл( — 2ш,ш) = в~ ы(ш, — 2ш) (108.13) можно заключить просто из соображений непрерывности при предельном переходе из (108.11). Если обе частоты, м1 и шв, стремятся к нулю, тензор сны оказывается полностью симметричным. Эта симметрия выражает собой просто тот факт, что в статическом случае индукция Х) может быть получена дифференцированием свободной энергии по Е: Р; = — 4к —, аР дЕ;' так что е, ы(ы, О) = е~ ви(ш, — ш), (108.14) (108.15) а также в; ы (ш, О) = еь и( — ы, О) = еь п(ш, О) (в силу (108.5) вещественные функции выл(ш,0) четны по ш). Тензор в;ы(ш,0) описывает линейный злектрооптический эффект -.
изменение проницаемости кристалла под влиянием постоянного электрического поля, и, следовательно, совпадает с определенным в (100.4) тензором сцы. в, ы(ш,0) = а,м(м); как и должно быть, в силу (108.15) он симметричен по индексам гй. ТензоР же ейвн(м, — ш) описывает дРУгой эффект поавление в среде статической диэлектрической поляризации, пропорциональной квадрату приложенного слабого переменного периодического поля (ср. второй член в (108.6)). Равенство (108.14) устанавливает, таким образом, связь между этими двумя эффектами.
дВ, дВ~ ая, ае,' Отсюда следует симметричность тсвзора в; ы по индексам гк, а тем самым — по всем трем индексам. Если же равна нулю лишь одна из частот, то соотношения (108.11) приводят к равенству 540 НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА ГЛ. ХШ Аналогичными соображениями, используя нелинейную восприимчивость, «перекрестную» между электрическими и магнитными величинами, можно было бы вновь прийти к связи между магнитооптическим эффектом Фарадея и намагничением среды вращающимся по направлению электрическим полем; это связь, устанавливаемая формулами (101.15) и (101.25). Как уже было указано, для сред, инвариантных относительно пространственной инверсии, нелинейность второго порядка отсутствует.
В таких случаях нелинейные эффекты начинаются с кубических членов в разложении зависимости 1Г(Е). Соответствующая нелинейная проницаемость третьего порядка есть тензор четвертого ранга, зависящий от трех независимых частот: е Ныл (ш1 1 ш2 ~ ш3) ° Его свойства симметрии полностью аналогичны свойствам тензора проницаемости второго порядка: если ввести еще и четвертую частоту ш4 =ш1+ш2+шз и записать тензор в виде еды«А( ш4~ ш1 ~ ш2~ шз)~ то можно любым образом переставлять индексы вместе с такой же перестановкой четырех аргументов. Нелинейность третьего порядка может быть существенна даже при наличии квадратичной нелинейности ввиду специфичности вызываемых ею эффектов. 'й' 109. Самофокусировка Как уже говорилось, везде в этой главе напряженность электрического поля будет предполагаться достаточно малой, так что будут относительно малы соответствующие нелинейные члены в уравнениях.
В таких условиях представляют интерес тс нелинейные эффекты, которые «накапливаются» с течением времени и за достаточно большое время приводят к существенному изменению характера явления. В качестве первого примера такого рода в этом параграфе будут рассмотрены оптические эффекты, связанные с нелинейным изменением поля на частоте первичной волны. Другими словами, рассматривается нелинейный вклад в АА той же частоты ш, которую имеет монохроматическое поле Е. В квадратичных членах такой вклад отсутствует: они содержат только частоты 2ш и О.
Первый отличный от нуля эффект возникает от кубической нелинейности и содержится в членах вида ЕЕЕ' (частота ш + ш — ш = ш). 541 1 109 САМСФОКУСИРСВКА Это означает, что а(0) = 2ЯО). (109.2) Выражение (109.1) упрощается для линейно поляризованного поля Е. При такой поляризации комплексный вектор Е сводится к вещественному вектору, умноженному на общий фазовый множитель; тогда выражения )Е)2Е и Е2Е* совпадают и О'3' =(-+~) ~Е~'Е (109.3) Такое же упрощение возникает при круговой поляризации поля Е; в этом случае Е2 = 0 и (109.1) сводится к Р)з) — „~Е~2Е (109.4) В обоих случаях индукция поляризована так жс, как и Е.
В общем же случае эллиптической поляризации направления и отношения главных осей эллипсов Е и 1Э(з) не совпадают. Связь 011) + О(з) Е+ г112) (в(ы) — обычная, линейная проницаемость) должна быть подставлена в уравнения Максвелла, которые при этом следует записать (исключив из них магнитное поле Н) в виде 1 а'О гоС гоС Е+ — = О, с2 д1~ (109.5) (109.6) ЖУО = О. Существенно, что эта нелинейная система уравнений допускает точное решение в виде монохроматической плоской волны Е Е 01с~ — ~1) (109.7) Ниже в этом параграфе будем считать среду изотропной (жидкость или газ). Тогда интересующие нас члены третьего порядка в индукции имеют в общем случае вид 1З13) о(~~))Е)2Е ) р(~~)Е2Е*, (109.1) они содержат два независимых коэффициента; в прозрачной среде эти коэффициенты - вещественные четные функции частоты.
Такое число независимых коэффициентов находится в соответствии со свойствами симметрии тензора е; А1 ( — ы; — ы, ы, ы). При указанных значениях аргументов этот тензор симметричен по парам индексов гк и 1т; в изотропной среде такой тевзор имеет две независимые компоненты. В пределе малых частот, как указано в предыдущем параграфе, тензор должен быть симметричен по всем индексам, т.
с. в изотропной среде пропорционален комбинации 5ьд1 +5115ь +61 бы. 542 НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА ГЛ. ХШ с линейной или круговой поляризацией. Действительно, для таких волн ~Е~Й = ~Ео~о, так что формулы (109.3) или (109.4) имеют тот же характер, что и в линейном случае с проницаемостью, зависящей от амплитуды поля; поэтому можно брать вещественную часть после решения уравнений. Связь 1Э и Е в этих случаях будем записывать в виде 1А = (е+ — »1)Ео)~) Е, (109.8) 1«~ = — ~+ 2~(Е (~. (109.9) Фазовая скорость ы/Й оказывается зависящей теперь не только от частоты, но и от амплитуды волны.
Если «1 ) О, фазовая скорость убывает с увеличением амплитуды; такую среду называют фокусирующей (смысл этого названия выяснится ниже). Если же и ( О, то фазовая скорость растет при увеличении амплитуды, и среду называют дефокусирующей. Использование нелинейной связи (109.1) предполагает, конечно, лишь слабую нелинейность члены более высоких порядков должны быть малы по сравнению с членами П1з1.
При этом качественно новые явления могут возникнуть в результате «накопления» эффектов нелинейности за большие промежутки времени и на больших расстояниях. Естественной постановкой вопроса является при этом рассмотрение почти монохроматичсской волны вида Е = Ео(1, г)ей»«* — ») (109.10) где Ео(1, г) --- медленно меняющаяся функция времени и координат (малб ее относительное изменение на интервалах времени 1ЙН и расстояниях 1/ЙО). Входящие в фурье-разложение этого поля волновые векторы распределены в небольшом интервале значений вокруг вектора 1«о, направленного вдоль оси х; его величину условимся считать связанной с ш равенством (109.11) отвечающим линейной теории.
Выведем уравнение для функции Ео(», г). введя удобное для дальнейшего обозначение; 0 = Гнз(ГГ+,3) /(2сз) для линейно поляризованной или «1 = ызсГ/(2с~) для поляризованной по кругу волны. Подстановка (109.8) в (109.6) дает Г11н Е = 0 поле остается поперечным, как в линейной теории. С учетом этого подстановка (109.7) в (109.5) приводит к дисперсионному соотношению 543 1 щи САМОФОКУСИРОВКА Прежде всего замечаем, что в уравнении (109.5) в члене го1 го1 Е = 8гас( с)(у Š— ЬЕ с)(у Е = — ц — Ею йгас) ~Ео(, 2с 2 еыв т. е. отлична от нуля только за счет производных от медленно меняющейся функции Ео и дополнительно мала в силу мало- сти нелинейных членов; такими величинами мы пренебрегаем.
Таким образом, имеем го1 го1 Е = — ЬЕ = ~Во~Ее — 2Ио ' — ЬАЕо~ ее(~" "'), д* где ЬА = д2/ду2+ д2/дх2 (опущен член со второй производной д2Ее/дх2, не имеющий большого множителя )со; поперечные же производные могут быть велики по сравнению с продольными). Вычисление д2АА(1) /д(2 производится аналогично выводу формулы (80.10) и дает1) 1д~ОО' = 1 ~.2,(.)Е „д(и~с) дЕс1,~(И"--~) = св д1в св ~ ' ' ' д .
д1 l ' )С2Е + 2 Йо дЕе ) 1(Иет-мг) (,, и д1/ где введена групповая скорость и по определению ~Во 1 д(ШЛ) и Йо с ды (109.12) В производной же от 13(с) достаточно оставить член дв1)(в1 — = — 2г)(ш)(Ео~~Е пренебрегая здесь членом с малой производной дЕе/д(. Подставив полученные выражения в (109.5), получим окончательно следующее уравнение: (йо ( — + — — 1 Ео = — — Ь2 Ео — г)(о1)~Ее~~Ее (109 13) ~дх и дгl 2 ') Отличие от вывода (80ЛО) лишь в том, что теперь Г' = д~е/д1~, Г(ы) = = — и е(ы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
