VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 108
Текст из файла (страница 108)
можно пренебречь величиной 8гас) с)(н Е. Действительно, в силу уравнения (109.6) дивергенция напряженности НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА ГЛ. ХН2 +Ч а В2 ьа с )со из (109.11); в линейно поляризованной волне амплитуда Ео может быть определена как вещественный вектор. Позтому если записать волну (109.7) в виде (109.10), в последнем надо поло- жить Ео(х) = Еоехр (гхо а) Это выражение играет роль амплитуды невозмущенной волны. Мы будем рассматривать стационарную задачу о пространственном развитии возмущений вдоль направления распространения волны.
Соответственно, амплитуду волны, подвергнутой малому возмущению, пишем как Ео(г) = (Ее+ бЕ(г)1ехр (2хч ') . (109.14) Будем считать, что бЕ направлено вдоль Ео. Подстановка (109.14) в (109.13) приводит к уравнению ейо = — -ЬтбŠ— ЧЕо(бЕ+ бЕ*). дх (109.15) Положим бЕ 4ег(Чг+7х), Вхе — 2(Чг+7х) (109.16) где с) -- вектор в плоскости ух.
Подставив зто выражение в (109.15) и собрав по отдельности члены с схр ( х 2(с)г+ 7х)7, получим два уравнения — — ЧЕо +)со7) А — ЧЕОВ = О, (' ' ) 2 ЧЕо.4+ ( — — ЧЕо — йод) В = О. л /о' 2 ') Это обстоятельство было еще ранее отмечено Р,В. Хохловым (1966). Комбинация производных в левой части равенства выражает собой тот факт, что возмущения амплитуды переносятся в направлении распространения волны с групповой скоростью.
С помощью зтого уравнения можно исследовать устойчивость неограниченной плоской волны, описываемой точным решением (109.7), (109.8) (В.И. Беспалов, В.И. Талонов, 1966). Мы увидим, что в фокусирующей среде волна оказывается неустойчивой ). Согласно (109.9) в точном решении (109.7) 545 1 199 САМСФОКУСИРОНКА Условие равенства нулю их определителя дает При 11 > 0 и 92 < 411ЕС2 (109.17) 7 мнимо, так что дЕ из (109.16) содержит экспоненциально возрастающий член, т. е. волна неустойчива.
Отметим, что максимальный инкремент неустойчивости оказывается порядка величины нелинейной поправки к волновому вектору. Одно из проявлений этой неустойчивости — самофонусировка ограниченного по ширине светового пучка, распространяющегося в фокусирующей среде. Происхождение этого явления связано с тем, что если амплитуда поля убывает от оси пучка к его периферии, то зависящая от этой амплитуды диэлектрическая проницаемость среды тоже убывает (при 11 > О) в том же направлении и среда ведет себя как фокусирующая линза (1'.А.
Аскарьян, 1962). Поведение пучка определяется игрой двух противоположных тенденций такой фокусировкой и расширением пучка из-за дифракции. Покажем, прежде всего, что эти тенденции могут взаимно компенсироваться в том смысле, что уравнение (109.13) допускает (при 11 > О) решение в виде стационарного нерасширяющегося пучка. Такое самоканалирование - — специфический нелинейный эффект. В линейной теории всякий ограниченный по сечению пучок расходится из-за дифракции. Мы ограничимся одномерным случаем, когда поле Е зависит только от одной поперечной координаты у, будучи поляризована вдоль оси к; волна распространяется вдоль оси х ). В этом случае можно получить аналитическое решение задачи (В.И. Таланов, 1965).
При этом мы отвлекаемся от того обстоятельства, что пучок бесконечной (в направлении оси к) ширины заведомо неустойчив, поскольку в нем возможны возмущения с малыми значениями 9„неустойчивые согласно (109.17). Положим Ео = Е(у)е' * (109.18) с малой величиной гг, играющей роль поправки к волновому вектору кс, функция Р(у) вещественна. Подстановка в (109.13) дает для этой функции уравнение — = Йога — гФ"'.
(109.19) 2 11рг ы ) Отметим, что в этих условиях член Кга11 с11у Е, которым мы пренебрегли выше как малым, обращается в нуль тождественно. 18 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том у'Н1 НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА ГЛ. Х1П Оно имеет первый интеграл 1 /аК'1 — 1 — ) — ГАГР + — Р = сопз1. 2 а 4 21 ду) 2 Нас интересует решение, в котором Р и дР/Г1у стремятся к нулю при ~у~ — 1 оо.
Соответственно этому полагаем сопв1 = О, после чего простое интегрирование дает 2йен'1 7~ 1 а / сь ~(2йоАГ) 0~у) Р=( )" 1109.20) 1начало отсчета у выбрано в центре пучка). Ширина пучка по оси у: б 1,'КаАГ) , агфа)' Поскольку протекающий по пучку поток энергии ИГ Е210)б, то б пропорционально 1/ИГ . - пучок тем уже, чем больше переносимая им мощность. Такой самоканалированный пучок представляет особый случай, когда фокусирующис свойства среды точно компенсируются дифракцией. Другие пучки будут либо расходиться, либо сходиться. Напишем, прежде всего, качественный критерий самофокусировки для реального пучка ограниченного сечения 1Н.
1Г. СЛ1ао, Е. Сагтпе, С.Н. ТОГвпев, 1964). Это можно сразу сделать исходя из условия неустойчивости 1109.17). В пучке с характерным радиусом Н возможны возмущения с поперечными к оси пучка длинами волн, меньшими Н, т. е, с д > 1/Н. Условие же 1109.17) определяет верхнюю границу значений д, приводящих к неустойчивости. Поэтому пучок будет неустойчив относительно фокусировки при Е'Н'ц > 1 1109. 21) гйа = — — ~~АЕа — 41~Еа~ Еа дйо 1 2 дх 2 (109.22) Переносимая вдоль пучка мощность определяется произведением Еа2Н2. Отметим, что критическое значение этой мощности, за которым начинается самофокусировка, не зависит от площади сечения пучка.
Оказывается возможным также установить точный (не по порядку величины) достаточный критерий самофокусировки пучка (С.Н. Власов, В.А. Петрищев, В.И. Таланов, 1971). Для стационарного линейно поляризованного светового пучка, но без предварительных предположений о характере зависимости от х, уравнение для функции Еа1х, р) имеет вид 547 1 109 САМОФОКУСИРОНКА (р — — двумерный радиус-вектор в плоскости рх; в этой же плоскости действуют дифференциальные операторы ь1 и 7 г). легко провсритгч что из этого уравнения следует равенство аде! б1 „0 (109.23) ах где 3 = — ЖО~АЕО ЕО ~-ЕО). 2ко Отсюда, в свою очередь, следует «сохранение» (т. е.
независимость от х) интеграла (109.24) Сохраняется также и интеграл Е ~2 ~Е ~4»1 12 (109.25) в чем легко убедиться прямым дифференцированием по х с использованием уравнения (109.22). Предполагается, конечно, что ЕО достаточно быстро убывает при р — э оо, так что оба интеграла (равно как и интеграл (109.26) ниже) сходятся '). Покажем, что поведение пучка определяется знаком интеграла Ю: при 4' ) 0 пучок в среднем расходится, а при Г ( 0 фокусируется. Доказательство основано на простом уравнении, которое можно получить для среднего радиуса пучка 1ь', определенного согласно л (х) = — у Р ~ЕО~ с) Р.
(109.2б) Для вывода этого уравнения пишем, используя (109.23): — ~ ~ЕО~~р с)~р = — ~ с)1н11 р Н~р = 2~2рг1йр. Дифференцируя еще раз по х, подставив дЕО(дх из (109.22) и интегрируя два раза по частям, получим в результате уравнение Х вЂ” А~ = 44'.
ох ) По характеру входящих в него производных ураннение (109.22) аналогично двумерному уравнению Шредингера (причем роль времени играет координата х). В этой аналогии интегралы Ж и 6* играют роль «числа частиц» и «энергии»; нелинейность уравнения на выводе этих законов сохранения не отражается. 18* 548 нвлиннйнкя оптика гл.
хш Отсюда Л (х) = — (х — хе) + Ле: (109.27) где хе, Ло постоянные. Мы видим, что при е' < 0 на конечном расстоянии вдоль направления распространения достигается полная фокусировка пучка .— его радиус Л обращается в нуль '). Этот результат, полученный в рамках приближенного уравнения (109.13), не может иметь буквального физического смысла вблизи самого фокуса, где нарушаются предположения, сделанные при выводе уравнения. Достаточно сказать, что при неограниченном увеличении плотности энергии поля при точной фокусировке уже нет оснований ограничиваться низшей степенью нелинейности кубической. Но существенна уже самая возможность самофокусировки пучка до такой степени, когда нелинейность перестает быть малой.
Подчеркнем, что установленный критерий носит достаточный, но не необходимый характер. Пучок с е < 0 заведомо фокусируется целиком, но расходимость пучка в среднем при е' > 0 не противоречит тому, что некоторая внутренняя его часть сфокусируется. 8 110. Генерация второй гармоники В 8 107 были рассмотрены лишь некоторые общие соотношения, относящиеся к характерным для нелинейной оптики процессам преобразования частот. Теперь мы изложим количественную теорию типичного такого процесса — генерации второй гармоники, т. е. возбуждения злектромагнитного поля с частотой 2оз полем частоты оз (Р.В. Хохлов, 1960; 7.А.
Аттз1гоп8, У. В1оепйег8еп, Х 77исигп8, Р.Б. РегзЬап, 1962). Генерация второй гармоники — нелинейный зффект второго порядка. Он содержится в тензоре нелинейной восприимчивости (110.1) е;ы( — 2и;ш,ш) и потому отсутствует в средах, допускающих пространственную инверсию. Тензор (110.1) симметричен по индексам И; его свойства симметрии в различных кристаллах —. те же, что и у пьезозлектрического тензора Я 17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
