VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 112
Текст из файла (страница 112)
х»н Определим поле, создаваемое заряженной частицей, движущейся в материальной среде. В нерелятивистском случае достаточно рассмотреть лишь электрическое поле, определяющееся одним только скалярным потенциалом»р. Последний удовлетворяет уравнению Пуассона Г»л»р = — 4хеб(г — н1), в котором диэлектрическая проницаемость понимается в операторном смысле, а выражение еб(г — нб) в правой части равенства есть плотность, создаваемая точечным зарядом е» движущимся с постоянной скоростью н '). Разложим»р в интеграл Фурье по координатам: »Ег 4'й р = »р~ье (2 1)з (113.
2) Применив к обеим частям этого равенства оператор Лапласа, найдем, что компонента Фурье от»з»р равна (Ь»р)е = — к~»ре С другой стороны, взяв компоненту Фурье от обеих частей урав- нения (113.1), имеем е(Ь»р)е = — ) 4хеб(г — н1)е '"ге)Р' = — 4хее '1"". Сравнив обе формулы, получаем 4яе пни Е»РЕ = — е ~г 41»е»1Н1» езе(1»н) Компонента Фурье напряженности поля связана с компонентой Фурье потенциала соотношением Е1 е» т — ~гас)(»р~ е» г) — з)сд е» г ') Предполагая движение частицы прямолинейным, мы тем самым пренебрегаем рассеянием, что в рассматриваемой задаче всегда законно. Если частица обладает зарядом зе, то нсе формулы для торможения в этом и с»»едующем параграфах должны быть умножены на з~.
Отсюда видно, что»рь зависит от времени посредством множителя схр ( — Ин)с). Но оператор Г, действуя на функцию ехр ( — гозг), умножает ее на е(ы). Поэтому окончательно имеем для»рь следующее выражение: 1 ыз ноннзлпионнык поткгн для нкгклятнвнстского слкчля 565 Таким образом, 4ксе1с — спсх (113.3) кее(1ссс) получается обратным суммирова- Ен = — с1с(л~, Полная напряженность поля нием ее компонент Фурье: Е= Е1е *1». с~'й (2к)е (113.4) Интересующая нас потеря знергии движущейся частицей есть не что иное, как работа, производимая обратной силой торможения еЕ, действующей на частицу со стороны создаваемого ею поля. Взяв значение поля в той точке г = тс1, в которой находится частица, мы получим в подынтегральном выражении в (113.4) множитель ехр(с(тс1с), который сокращается с множителем ехр( — сстс)с) в выражении (113.3) для Ен.
Позтому сила торможения Р дается следующим интегралом; / Ьге(1ссс) (2д.)з Заранее очевидно, что сила Р направлена против скорости к; направление последней выберем в качестве оси т. Введя обозна- чениЯ й,с = ы, с1 = ~Я + й~ и заменив дйк дй, на 2сгс1с(д, пеРепишем абсолютную величину Р в виде ес Чо // 1 1Да к,/,/ е(ы)(я е Ч-ю ) (113.5) — о (о выборе верхнего предела интегрирования по с1 см.
ниже). Необходимо сделать еще следующее замечание по поводу интегрирования по с(сл в формуле (113.5). При сл — + оо функция е(сл) + 1 и интеграл расходится (логарифмически). Это обстоятельство связано с тем, что из поля Е в действительности надо было бы вычесть то поле, которое имелось бы при движении частицы в пустоте (т. е.
при е = 1); ясно, что зто поле не имеет отношения к торможению частицы в веществе. Такое вычитание привело бы к замене в подынтегральном выражении (113.5) 1/е на 1/е — 1, после чего интеграл будет сходиться. Можно, однако, достичь того же результата без указанной замены, если условиться понимать интегрирование в пределах от — со до оо как интегрирование в симметричных пределах от — й до Й, после чего П вЂ” + оо.
Ввиду четности функции кс(ы) вещественная часть 566 ПРОХО1КЛЕИИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ЕЕЩЕСТВО ГЛ. Х1Ч где Г)'(ь1)1 Г)"(П1) -- соответственно четная и нечетная функции, причем 1)е = — гл/~е~~ < О. Формулу (113.5) можно переписать в явно вещественном виде: СС Ча 2Р 1' 1' аы~аР(ы)~ 1 ( 1Рг+,„1 (113. 7) а а Потери энергии частицей на единице длины ес пути есть работа силы торможения на этом пути, т. е. как раз совпадает с величиной Р. Согласно общим правилам квантовой механики фурье- компонента поля с волновым вектором 1с передает ионизационному электрону (б-электрону) импульс 111г. При достаточно больших значениях д (д» ша/и) имеем Й = 17 + ш /и — д, так что передаваемый импульс приближенно совпадает с Щ Заданному значению с) соответствуют столкновения с прицельным расстоянием 1/д.
Поэтому условие применимости рассматриваемого макроскопического метода требует 1/17 )> и. В соответствии с этим выберем в качестве верхнего предела интегрирования значение да, удовлетворяющее условию Гаа/и « да « 1/и; величина Р(да) есть торможение быстрой частицы с передачей атомному электРонУ импУльса, не пРевышаюЩего 6Г7а. Произведя в (113.7) интегрирование по дд1 получим Р(да) = —, ы!1) (ы)~1п ~' йы (1138) а Эта формула в своем общем виде уже нс может быть преобразована дальше, но ее можно представить в более удобной форме путем введения соответствующих обозначений. Предварительно вычислим интеграл ОР ОО П1Т) (1П) 11ь1 = — — — 11а1. 2 1 а Для этого замечаем, что если производить интегрирование в комплексной плоскости ы по контуру, состоящему из вещественной подынтегрального выражения есть нечетная функция частоты и при таком способе интегрирования дает нуль; интеграл же от мнимой части подынтегрального выражения сходится.
Ниже нам будет иногда удобно пользоваться обозначением — = Г)(а1) = Г) + г1), (113.6) Е (Ы) 568 ПРОХО»КДЕИИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТБО ГЛ. Х1Н вклад в торможение (113.12), возникающий от обхода полюсов шгв1 (где е(ог1) = 0), равен, как легко убедиться прямым вычислением по (113.7), 4хггге, йов 1п —. тв2а2 ы1 Для того чтобы найти торможение Е(г)1) с передачей импульса, не превышающего некоторого значения д1 > 419, надо есшить» формулу (113.12) с формулой квантовомеханической теории столкновений, соответствующей торможению при столкновениях с отдельными атомами. Это можно сделать благодаря тому, что области применимости обеих формул перекрываются.
Как известно из теории столкновений, торможение с передачей импульса в интервале гог1д есть 4х1"14е Й~ гпв я (113.13) причем эта формула применима (в нерелятивистском случае) для любых значений г7» ого/в, допускаемых законами сохранения импульса и знсргии, при условии лишь, .чтобы передаваемая знергия была мала по сравнению с первоначальной знергией быстрой частицы ). Торможение же со всеми значениями 41 между г)е и г)1 есть соответственно 4х14ге 1 41 те 2 4о При прибавлении атой величины к формуле (113.12) в последней г)е просто заменяется на г71, так что (113.14) 2х№4 2твоЕ1 твз аз ого (113.15) ') См. 1П, 1 149; величина г отличается от введенного там чзффективного торможения» множителем Лг = г4ггл — плотностью числа атомов.
Формула (113.13) отвечает столкновениям со свободными шгектронами. Однако ее область применимости (д » огоггв) начинается от таких значений д, при которых атомные злектроны фактически еще нельзя рассматривать как свободные. Последнее требовало бы значений 4 » ого/во (во — порядок величины скоростей большинства атомных злектронов), когда знергия 6-злектрона й~й~гг(2т) была бы велика по сравнению с атомными знергиями, Если атомному электрону передается большой (по сравнению с атомными) импульс ггс11, то получаемая им знергия равна Е1 = = 44~17~~/(2т). Введя зту величину, напишем 1! гэ ионкзлциовнык поткгк для нкгклятивистского слкчля 569 Откуда йд е„= 2гцк и ЗатЕм Е1 „,вк = 2тс~.
ПОдСтавив ЭтО Зна- чение в (113.15) вместо Е1, получим полное ионизационное тор- можение тяжелой частицы: 4л.Ме 1 2тз~ тее Гке (113.16) Эта формула отличается от обычно используемой (см. П1, (150.10)) лишь определением ионизационной энергии гкл. Проследим, каким образом определенная согласно (113.11) величина гкл переходит в разреженной среде в среднюю энергию ионизации отдельного атома, определенную согласно формуле Ш, (149.11).
Для этого замечаем, что в разрожснном газе (который для простоты полагаем состоящим из одинаковых атомов) диэлектрическая проницаемость к = 1 + 4хХеа(ю), где Хе число атомов в единице объема, ск(ш) поляризуемость одного атома; при этом ~к — 1~ << 1. Для мнимой части величины г1 = 1/к имеем ~11л~ 41гМ,ггл(в1). Формулы (113.14), (113.15) определяют торможение быстрой частицы путем ионизации с передачей энергии, не превышающей определенного значения Е1, малого по сравнению с первоначальной энергией частицы.
Подчеркнем, что при таком условии формулы справедливы в равной степени для торможения как быстрых электронов, так и быстрых тяжелых частиц. Формула (113.15) отличается от результата микроскопической теории, ве учитывающей взаимодействия между атомами (см. 1П, 2 149, формула (149.14)), лишь определением «энергии ионизации» 1, роль которой играет теперь лЫ. Однако средняя (по электронам) энергия ионизации атома обычно вообще мало зависит от его взаимодействия с другими атомами, так как основную роль в ней играют электроны внутренних оболочек, почти не затрагиваемых этим взаимодействием.
К тому же в данном случае эта величина входит под знаком логарифма, и потому способ се точного определения тем более слабо сказывается ва величине торможения. При столкновении тяжелой частицы с электроном даже макСИМаЛЬНЫй ПЕРЕДаВаЕМЫй ИМПУЛЬС 11Д ек МаЛ ПО СРанНСНИЮ С ИМ- пульсом частицы ЛХо. Поэтому изменение энергии тяжелой частицы равно ч Бг1; приравнивая эту величину энергии электрона, получим де е — = бг1ч < бди, 570 ПРОХО»КДЕИИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО Гл. х»н Поляризуемость атома дается формулой 1»1', (85.13); отделив в ней мнимую часть (с помощью формулы 1У, (75.19)), получим при и» ) О; (»)н) = — Х„',» )с$е„)'б(Š— Ее — йо1), где Ее и Б'„-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
