VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 113
Текст из файла (страница 113)
знергии основного и возбужденных состояний атома. Подставив зто выражение в (113.11), произведя интегрирование и заменив Я = МаЯ, придем к определению 1П, (149.11). й 114. Ионизационные потери быстрых частиц в веществе. Релятивистский случай го1Е = — — —, 1 дИ с дс (1143) с)гнН = О, 1 деЕ 4х. го1 Н = — — + Зст. с д1 с г)гн ГЕ = 4ХРст1 (114.2) В данном случае распределение сторонних зарядов и токов да- ется формулами р„= еб(г — чб), 1„= енб(г — н1), (114.3) Вводим скалярный и векторный потенциалы согласно обычным определениям: Н = гой А, Б = — — — — йгас) 1р, .(114.4) с д1 в результате которых уравнения (114.1) удовлетворяются тождественно. На потенциалы А и »р накладываем дополнительное ') Этот аффект был указан Ферми (Е.
Еегт», 1940) и рассчитан им для специальной модели газа из атомов, рассматриваемых как гармонические осцилляторы. Излагаемый ниже общий вывод принадлежит Л. Ландау. ) Мы полагаем везде д(ы) = 1, так как при тех частотах, которые существенны для ионизационных потерь, вещество ведет себя как немагнитное. При скоростях, сравнимых со скоростью света, влияние поляризации среды на торможение быстрой частицы может стать, как мы увидим, весьма существенным, причем нс только в конденсированных веществах, но даже и в газах ). Для вывода соответствующих формул применим метод, аналогичный использованному в предыдущем параграфе. При зтом1 однако, надо исходить из полных уравнений Максвелла.
При наличии сторонних зарядов (с пространственной плотностью р„) и сторонних токов (с плотностью 1„) зти уравнения имеют вид ): йь 1 114 нонизяционнын потяни для евлятинистского слнчкгг 571 условие с)(н А + - —" = О, (114.5) с д1 являющееся обобщением налагаемого в теории излучения условия Лоренца. Тогда подстановка (114.4) в (114.2) приводит к следующим уравнениям для потенциалов: ЬА — — = — — ечб(г — ч(), е ДгА 4к Р дюг— оег Г( га(о — — ' — ~) = — 4нед(г — нс). с д1 (114.6) Разложим А и (о в интегралы Фурье по координатам.
Взяв компоненты Фурье от обеих частей уравнений (114.6), получим е а'Л, 4 д,.г Ам+в = — езге сг Д1г с зг ()~2 + д У~ ) 4 псгс сг яг / Отсюда видно, что зависимость Аь и ~рь от времени дается мно- жителями ехр ( — 1()сзг). Снова вводим обозначение цг = )сч = )сг и и получаем (114.7) Компонента Фурье напряженности злектрического поля гю Е1, = — А1, — г1оггь. с (114.8) С помощью полученных формул действующая на частицу сила торможения Р = еЕ ) находится так же, как зто было сдела1г но в предыдущем параграфе.
С теми же обозначениями получим теперь для величины втой силы следующую формулу: — — — Мял Й.3 яо 1'1 е '1 ге ог сг ["'"(Ь-И (114.9) (при с -+ оо зта формула переходит, разумеется, в (114.5)). ') Что касается магнитной силы е(тН)/с, то из соображений симметрии очевидно, что она обращается в нуль (не говоря уже о том, что зта сила, будучи перпендикулярна к скорости частицы, вообще не производила бы над ней работы). 4ке А1, =— с 4ке Ф1с = е( ) ъ -гим е' Йг — ыге(ы)/сг 1 е — им ьг г („,) гсг 572 ПРОХО1КДЕИИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО ГЛ. Х1Н Начнем с интегрирования по частотам. Имея в виду производить интегрирование в комплексной плоскости ш, выясним предварительно, в каких точках верхней полуплоскости подынтегральное выражение имеет полюсы.
Функция е(ш) не имеет в этой области ни особых точек, ни нулей; поэтому искомыми полюсами могут быть только нули выражения 2(е 1) 2 Покажем, что при всяком значении положительного вещественного числа д2 это выражение обращается в нуль только при одном значении ш. Для доказательства ) воспользуемся известной теоремой теории функций комплексной переменной, согласно которой интеграл — (114.10) 2т1 / пш у(ы) — а с взятый по замкнутому контуру С, равен разности между числом нулей и числом полюсов функции у" (ш) — а в области, ограниченной контуром С. Пусть и = д — положительное вещественное число, а в качестве С выберем контур, состоящий из вещественной оси и бесконечно удаленной полуокружности (рис. 61).
Функция у(ш) не имеет полюсов нигде в верхней Рис. 61 полуплоскости (и на самой вещественной оси 2)); поэтому интеграл (114.10) прямо дает число нулей функции у(ш) — а в верхней полуплоскости. Для вычии1ения запишем этот интеграл в виде (114.11) с причем интегрирование производится по контуру С' в плоскости комплексной переменной у, являющемуся отображением контура С из плоскости ш. При ш = 0 функция у = О. При положительных вещественных ш имеем 1пт у" > О, а при отрицательных ') Следующие ниже рассуждения аналогичны доказательству отсутствия нулей у функции е(ш) в верхней полуплоскости, изложенному в У, 6 123.
) У металлов е(ш) имеет полюс при ы = О, но ш е все равно стремится к нулю. 1 114 ЕОиизАциОнные пОтеРи для Рел51тивистскОГО ОПУчА51 573 1пт у" ( О. На бесконечности же у — 5 — ш2(п 2 — с 2); позтому )' пробегает бесконечно удаленную окружность, когда ш пробегает полуокружность. Отсюда видно, что контур интегрирования С' в плоскости у выглядит так, как зто схематически показано на рис. 61. При положительном вещественном а (как на рис. 61) при обходе вдоль С' аргумент комплексного числа 1" — а меняется на 2гг и интеграл (114.11) равен единице. Тем самым нагие утверждение доказано ).
Более того, легко видеть, что единственный корень уравнения 7(ш) — 5)~ = О лежит на мнимой оси ш. Действительно, при чисто мнимых ш функция у(ш) (вместе с функцией е(ш)) вещественна и пробегает все значения от О до со, в том числе все положительные значения 17 .
Вернемся к интегралу по г)ш в (114.9) (151(ее ) — 1/с )ш 4ш йг „,г(е,5сг — 1/ег) Его можно представить в виде разности между интегралом по контуру С и интегралом по бесконечно удаленной полуокружно- 1' 11ь5 сти. Второй из них равен ) — = ги, а первый равен умноженному на 2хй вычету подынтегрального выражения относительно его единственного полюса. Будем понимать под ш(д) функцию, определяемую равенством 2(е 1) 2 (114.12) Тогда согласно известному правилу нахождения вычетов ) найдем, что интеграл по С равен 2пг ее с = 2пг ее с - Е"'(-:- -.')1 Собрав полученные выражения и подставив в (114.9), найдем чо 1 ~ М-')-1!") 1 О ') Если же а -- отрицательное число, то при обходе вдоль С' аргумент 1' — а меняется на 4х, так что интеграл (114.11) равен 2; другими словами, уравнение 1(ы) = — ~а~ имеет два нуля в верхней полуплоскости.
) Вычет яыражения 1(г)515(г) относительно полюса г = гс равен У(ге)/1Р'(гс) 1 114 иоиизАЦионные пОтеРи ДПЯ Рел51тиеистскОГО ОПУчАЯ 575 (ср. формулу (82.15)). Поэтому для рассматриваемого интеграла получаем (пренебрегая х по сравнению с одо) г / / 1~Р()~ "11 "11 ~ / е 1 1 хг+мРг гг / ег+5г а 4 Подставим этот результат в (114.14), причем для писи введем обозначение 1п П = — 1п (ыз + Сз) 2 упрощения за- (114. 15) где черта обозначает усреднение с весом ьг~г1П(ш) ~, как это было сделано в (113.11). Тогда получим 4ЯХе 1 дгР у 2егг'е + е~С~ (114.16) пгРг О гпсг 2Ргзг При дальнейшем исследовании этой формулы надо отдельно рассмотреть два случая. Предположим сначала, что среда является диэлектриком, а скорость частицы удовлетворяет условию П <— (114.17) ЕО где сп = е(О) — электростатическое значение диэлектрической проницаемости.
На мнимой оси функция а(ш) монотонно убывает от значения ео ) 1 при ш = О до 1 при ш = гсо. Выражение же в левой части уравнения (114З2) при этом монотонно возрастает от О до сю. Поэтому при 17 = О уравнение (114.12) дает и ш = О. Таким образом, в (114.16) надо положить с = О; при этом П переходит в среднюю атомную частоту ьг (113.11): 7Р(до) = ' [1п ~— '~ — — "~ (114.18) (при п « с эта формула, как и должно быть, переходит в (113.12)). Значение де удовлетворяет условию 17п « 1/а, где а "- порядок величины межатомных расстояний (в конденсированной среде .—. размеров атомов).
Для того чтобы продлить эту формулу в область бблыпих значений передачи импульса и энергии, надо произвести ее «сшивку» с формулами обычной теории столкновений, подобно тому, как это было сделано в предыдущем параграфе. Здесь, однако, сшивка должна быть произведена в два этапа. Сначала с помощью формулы (113.13) переходим к области значений д, соответствующих передачам энергии, большим по сравнению с атомными энергиями, но все еще нерелятивистским.
576 ПРОХО2КДЕИИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО Гл. х1н Вид формулы (114.18) при этом не изменится, но в нее можно будет ввести энергию б-электрона, как 629~~/(2т). Обозначив ее через Е1, получим г'(Е1) = 2™, [1п,', — —,] . (114.19) Далее, можно перейти в область релятивистских значений Е1, воспользовавшись формулой релятивистской теории столкновений1 согласно которой торможение с передачей энергии в интервале между Е' и Е' + с)Е' равно 2ХЕе с~Е' (114.20) гпсг если Е' мало по сравнению с максимальной передачей Е1 а„допускаемой законами сохранения импульса и энергии при столкновении данной быстрой частицы со свободным электроном ').
Поскольку при интегрировании выражение (114.20) дает 1ЦЕ', то ясно, что вид формулы (114.19) в результате не изменится, так чтО Она ОтнОСитСЯ кО вСЕм ЗначЕниЯм Е1 « Е1,ва„. При торможении быстрой тяжелой частицы (с массой М » т и энергией Е хотя и релятивистской, но такой, что Е « М с /т) максимальная передача энергии электрону составляет Е1 „,ах 2тп т и все еще мала по сравнению с Е (см. 1Ч, 8 82, формула (82.23)). Для таких частиц дифференциальное выражение торможения на свободных электронах имеет вид 2Е12'е / 1 1 '1 ~Е1 тег 1 Е' 2тсгтг! при любых значениях Е' (см. Гн', 8 82., формула (82.24)). Дополнительное (по отношению к (114.19)) торможение с передачей энергии от Е1 до Е1 (причем Е1 « Е1 ) составляет в этом случае 4 4 2 2 24 2еМе '1 Е1 „„К, „„„' 2ЕЕе '1 2тс у и ' пм,г Е, 2пгсгтг гпсг Е сг Прибавив это выражение к (114.19), найдем полное торможение быстрой тяжелой частицы: (114.22) пгниг ' яг —,2 сг 1 ' Эта формула отличается от результата обычной теории лишь определением «энергии ионизации» Ггог (ср.
1Ъ', формула (82.26)). ') См. 142, формулы (81.15) и (82.24). Торможение Е получается умножением зтих выражений для сечения рассеяния на потерю знергии тЬ и на 11'. 1 114 иовнэационнни воткни для нвлггтивнстского случагг 577 Перейдем теперь ко второму случаю, когда скорость частицы удовлетворяет условию и >— (114.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
