VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 114
Текст из файла (страница 114)
23) ео 2л1гге 1 т с Ег тсе 2ллгеапа (114. 25) 19 Л. Д. Ландау и Н.М. Лифшиц, том 1ГН1 (этот случай, в частности, всегда имеет место для металлов, так как у них е(О) = оо). Выражение ге~(е/с — 1/п~) в левой части уравнения (114.12) в этом случае проходит (на мнимой оси ьг) через нуль дважды при гс = О и при ьг = г(, где с определяется равенством ея) = с,. (114. 24) В интервале между О и 1С это выражение отрицательно, а при ~гс~ > с принимает все положительные значения от О до со. Поэтому при г7 — + О корень уравнения (114.12) стремится в этом случае к значению с, которое и должно быть подставлено в (114.15) и (114.16).
Здесь можно различать два предельных случая. Если значение С оказывается малым по сравнению с атомными частотами гсо, то в (114.16) можно пренебречь последним членом, а П вЂ” гс. В результате мы снова приходим к формуле (114.18). В особенности же интересен обратный предельный случай, когда с » ьгс. Поскольку при больших значениях с функция е(Щ) стремится к 1, то из (114.24) ясно, что этот случай соответствует ультрарслятивистским скоростям частицы. Воспользовавшись для е(гс) формулой (113.9), найдем из (114.24): 2 4л11ге н 7 4л11ге 1 тса т При увеличении скорости частицы условие с » ьгс в конце концов выполнится в любой среде, т.
е. при любом значении электронной плотности 11' (в том чишге и в газе). Однако необходимые скорости тем выше, чем меньше ггг", т. е. чем более разрежена среда. Из (114.15) имеем теперь просто П С; положив также п с, найдем, что последние два члена в (114.16) взаимно сокращаются и остается Лг 4 2ллге 1 тс до тси 4л11геи Продлив зту формулу в область больших значений передачи импульса и энергии таким же образом, как это было сделано выше, найдем сведующее выражение для торможения ультрарелятнвистской частицы с передачей энергии, не превышающей Е1 (причем Е1 « Е1 шах): 578 ПРОХО1КДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО ГЛ.
Х1Н Этот результат существенно отличается от даваемого обычной теорией, не учитывающей поляризации среды. Согласно последней (см. 1У, 8 82) в ультрарелятивистском случае торможение Е(Е1) продолжает возрастать при увеличении энергии частицы, хотя и сравнительно медленно --. по логарифмическому закону ) Е(Е)= 1 1 " ' — 2) тсз г, 11 Поляризация же среды приводит к такому экранированию заряда, в результате которого рост торможения в конце концов прекращается и оно стремится к конечному пределу, даваемому формулой (114.25), не содержащей у.
Для тяжелых частиц можно написать формулу и для полного торможения с любой передачей энергии вплоть до Е1 (при условии, что Е1 мало по сравнению с энергией самой частицы). Используя снова выражение (114.21) (в котором можно теперь положить п = с), найдем (114.26) Мы видим, что полное торможение все же продолжает возрастать со скоростью частицы -- за счет близких столкновений с большой передачей энергии1 в которых экранирующее влияние поляризации среды не проявляется.
Это возрастание, однако, несколько более медленное, чем согласно теории, не учитывающей поляризацию. Согласно последней 4еЛ1е )'1 2тпс~ у~ ] тся ! 1 (см. 1У, формула (82.28)); коэффициент при члене с 1п у здесь вдвое болыпс, чем в (114.26). Отметим также, что наличие электронной плотности 11 в аргументе логарифма в формулах (114.25), (114.26) приводит к следующему свойству торможения ультрарелятивистских частиц: при прохождении такой частицей слоев различных веществ, содержащих одинаковое число электронов (на 1 см их поверхности), торможение оказывается меньшим в веществе с большим М. ') Эта формула получается сложением выражений 111, (82.20) н 111, (82.25), причем в последнем под тсг,„надо понимать Е1 .
Напомним, что прн малой передаче знергнн Е1 формулы относятся к быстрым как электронам, так н тяжелым частицам, 579 1 115 излучении чевннкОВА 9 115.Излучение 'Черенкова с и > —. в(ы) (115.1) Таким образом, излучение с частотой о1 происходит, если скорость частицы превосходит фазовую скорость волн этой частоты в данной среде '). Пусть 0 угол между направлением движения частицы и направлением излучения. Имеем к = асеан = (поз)с) созе и, сравнив с равенством Й, = оэ/и, найдем, что созй = —. пи (115.2) Таким образом, излучению данной частоты соответствует вполне определенное значение угла й.
Другими словами, излучение каждой частоты происходит вперед по направлению движения ча- ') До появления теории относительности формальная задача об излучении электроном, равномерно движущимся в пустоте со скоростью е > с, была рассмотрена Зоммер4ельдом (А, ооттет)е1д, 1904), Заряженная частица, движущаяся в прозрачной среде, в определенных условиях испускает своеобразное излучение; оно было впервые наблюдено С.И. Вавиловым и П.А.
Черенковым и теоретически истолковано и рассчитано О.Е. Таммом и И.М. Франком (1937). Подчеркнем, что это излучение не имеет ничего общего с фактически всегда имеющим место (при движении быстрого электрона) тормозным излучением. Последнее испускается самим движущимся электроном при его столкновениях с атомами. В явлении же Черенкова мы имеем по существу дело с излучением, испускаемым средой под влиянием поля движущейся в ней частицы. Различие между обоими типами излучений особенно ясно проявляется при переходе к пределу сколь угодно болыпой массы частицы: тормозное излучение при этом исчезает вовсе, а излучение Черенкова вообще не меняется.
Волновой вектор и частота электромагнитной волны, распространяющейся в прозрачной среде, связаны соотношением к пш(с, где п = АЯ вещественный показатель преломления;мы по-прежнему считаем среду немагнитной и изотропной. С другой стороны, мы видели, что частота фурье-компоненты поля равномерно движущейся в среде частицы связана с х-компонентой волнового вектора (ось х в направлении скорости частицы) соотношением ш = й ш Для того чтобы такая компонента представляла собой свободно распространяющуюся волну, соотношения к = поз/с и Й = оэ/и не должны противоречить ДРУГ ДРУГУ. ПосколькУ Должно быть 1с > йв, то необхоДимо выполнение условия 580 ПРОХО2КДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ БЕЩЕСТБО ГЛ. Х2Н стицы и распределяется по поверхности конуса с углом раствора д, определяемым формулой (115.2).
Угловос распределение излучения и его распределение по частотам находятся, следовательно, в определенной связи друг с другом. Излучение электромагнитных волн (в тех случаях, когда оно имеет место) связано с определенной потерей энергии движущейся частицей. Эта потеря составляет часть, хотя и незначительную, того полного торможения, которое было вычислено в предыдущем параграфе (тормозное излучение в него не входит).
В этом смысле название полных потерь «ионизационные» в данном случае не вполне точно. Выделим теперь эту часть из полных потерь; тем самым мы определим интенсивность излучения Черенкова. Согласно (114.9) потеря энергии в интервале частот с12с дается выражением где знак 2,' означает, что надо взять сумму выражений с 2с = ~ ~Б2 ~. Введем новую переменную Тогда При интегрировании вдоль вещественной оси ~ особая точка с = О 2 22 Е2 (как раз соответствующая выполнению соотношения 21 +Й = Й2) должна быть обойдена определенным образом. Направление обхода определяется тем, что хотя мы и считаем е(ь2) вещественной величиной (среда прозрачна!), но в действительности она обладает некоторой, хотя и малой, мнимой частью, положительной при Б2 > О и отрицательной при Б2 < О.
Соответственно ( обладает малой отрицательной (положительной) мнимой частью, и интегрирование должно было бы производиться по пути, прохоящему под (над) вещественной осью. Это значит, что, когда мы сместим путь интегрирования на вещественную ось, особая т °- б очка должна быть обойдена снизу (сверху). Именно эти обходы и ают вклад в с1Р, а вещественные части полностью аннулируются при взятии суммы. Произведя обходы по бесконечно мал ым полуокружностям, получим — (1 — — 1' — ) =2' 581 1 115 излучкнив чвгвнкОВА Таким образом, приходим к окончательной формуле (115.3) сг ~ вгпг1 определяющей интенсивность излучения в частотном интервале г1оз.
Согласно (115.2) зто излучение сконцентрировано в интервале углов г10 = ' —" с1гз. (115.4) впг яш В Вгл Полная интенсивность излучения дается интегралом от выражения (115.3), взятым по всем частотам в области прозрачности среды. Легко выяснить также вопрос о поляризации излучения Черенкова. Как видно из (114.7), векторный потенциал поля излучения направлен вдоль оси скорости тг. Магнитное поле Бь = г,[)сАи,'' направлено, .следовательно, перпендикулярно к плоскости, проходящей через тг и направление луча )с.
Электрическое же поле (в волновой зоне излучения) перпендикулярно к магнитному и потому лежит в указанной плоскости. Задача Найти конус волновых векторов черенковского излучения частицей, равномерно движущейся в одноосном немагннтном кристалле: а) в направлении оптической осн; б) перпендикулярно к оптнческой осн (В.Л. Гинзбург, 1940). Р с ш е н н е. а) Прв двнженнн заряда в одноосном кристалле излучение Черенкова происходит, вообще говоря, по двум конусам, отвечающим обыкновенной н необыкновенной волнам. Но прн движении вдоль оптической осн обыкновенная волна не излучается (хотя условие типа (115.1) могло бы быть выполнено!): обыкновенная волна всегда линейно поляризована с вектором Е, перпендикулярным главному сечению (т.
е. плоскости, проходящей через оптическую ось — ось з — н направление данного 1г); невозможность испускания такой волны в данном случае очевидна уже нз того, что рабата еЕч = О, т. е. потеря энергии частицей отсутствует. Конус необыкновенного излучения получается подстановкой в (78.5) значения п нз равенства (115.2), справедливость которого не связана с нзотропней среды (угол В между 1г я ч совпадает в данном случае с углом между 1г н оптической осью). Находим гв 1~ В= — — — 1), яг 1,сг причем должно быть в ) с/тгях. Этот конус — круговой, с равномерным распределением интенсивности по его образующим (как это заранее очевндно нз соображений симметрии). Раствор д конуса лучевых векторов связан с В равенством 18д = ях 18 В/гр б) Н этом случае существует два черенковскнх конуса.
Направление ч выбираем в качестве осн х, оптическую ось — в качестве осн г;  — угол между 1г н осью х, д — азимут направленая 1г, отсчитываемый от плоскости ху (рнс. 62). Раствор конуса обыкновенных волн дается равенством с соя В = у гяг 582 ПРОХО1КДЕИИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО Гл. х1н причем должно быть о > с/н1вх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
