VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Поскольку в точке наблюдения мы рассматриваем среду как нерассеивающую, то связь между П' и Е' в втой точке дается просто соотношением Р' = е'Е'. В поле падающей волны выделим пространственный периодический множитель, представив напряженность в виде Е = Еое™ = Еоее™; (117.5) во втором выражении комплексная амплитуда Ео записана как Ьое, где Ео — вещественная величина (Ео = ~Ео~~), а е — единичный комплексный вектор (ее* = 1), определяющий поляризацию волны.
Введя затем обозначение (117.6) ') Исключение могут представлять особые случаи рассеяния, о которых будет идти речь в О 120. В зтих случаях размеры рассеивающих участков должны предполагаться большими также и по сравнению с длиной волны света или еще большими. 592 РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. ХЧ напишем Е' = — е*~ Я' ' [1с'[1г'С1[ = ге е ' Ст. (117.7) 4кйеег 4кггеег Вектор Е' перпендикулярен к направлению 1г' рассеянной волны и определяется перпендикулярной к 1г' проекцией С Определив таким образом неусредненное поле рассеянной волны, мы можем теперь перейти к исследованию интенсивности и поляризации рассеянного света. Для этого надо образовать тензор Теь = ЖЮ, (117.8) (С С*) е1е* О (сг~ )гт~ 1*)е-гчггг-гг) гДг ганг (117 9) Верхние индексы (1), (2) указывают, что значения сг берутся в двух различных точках пространства.
При усреднении подынтегрального выражения надо учесть, что корреляция между значениями гг в разных точках тела распространяется, вообще говоря, лишь на расстояния порядка молекулярных. Это значит, что после усреднения подынтегральное выражение будет существенно отлично от нуля лишь при ~г1 — гз~ а, где а порядок величины молекулярных расстояний. Показатель степени в зкспоненциальном множителе а,гЛг ') См. 11, 1 50. Приведение эрмитова тензора к главным осям означает представление его в виде 1гь = Лгпг,пгь+Лзпмп,г, где пы пз — в общем случае комплексные единичные взаимно ортогональные векторы; пгпг = пзп1 = 1 пгп1 = О.
Главные значения Лы Лз зрмитова тензора вещественны. где угловые скобки означают не производящееся до сих пор окончательное усреднение по движению частиц в теле; усреднение квадратичного выражения даст, естественно, отличный от нуля результат. Поскольку Е' 1 1г', то тензор 11ь имеет отличные от нуля компоненты лишь в плоскости, перпендикулярной к 1г', зти компоненты составляют (в атой плоскости) двумерный тензор 1 д (греческими буквами обозначаем индексы, пробегающие два значения). Тензор 1 д, по определению, зрмитов; 1Н = 1*Р.
Он может быть приведен к главным осям, причем отношение его двух главных значений дает степень деполяризации, а их сумма пропорциональна полной интенсивности света ). В произведения Е;'Е„'* входят произведения интегралов Сб они-то и должны быть подвергнуты усреднению. Написав произведение двух интегралов в виде двойного интеграла, имеем 1 117 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ Е ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ 593 где Л вЂ” — длина рассеиваемой волны; но а,1'Л « 1 уже в силу необходимого условия применимости макроскопической теории вообще.
Мы можем, следовательно, заменить зкспоненциальный множитель единицей 1). Далее, интегрирование по координатам г1 и г2 можно заменить интегрированием по (г1 + г2)/2 и г = г1 — г2. Поскольку подынтегральное выражение зависит (после усреднения) только отг, то (С1СА) = Ъ е1е„, ~ (ст11 сгь ) сЛ; (117.10) где Ъ' -- объем рассеивающего участка тела:, тот факт, что рассеяние должно быть пропорциональным Ъ', очевиден и заранее.
Отметим, что из формулы (117.10), а потому и из всех следующих ниже формул выпадает направление волнового вектора 1с падающей волны. Стоящие в (117.10) интегралы образуют тензор четвертого ранга, зависящий только от свойств рассеивающей среды. Ввиду изотропии среды этот тензор может выражаться только через единичный тензор б1Ь (и скалярные постоянные). Прежде чем написать соответствующее выражение, заметим, что тензор сгеы как и всякий тензор второго ранга, можно представить в общем случае в виде суммы трех независимых частей: ст1Ь = сго1Ъ+ е;Ь + а12о (117.11) ГДЕ СС СКаЛЯР, ЕСЬ НЕПРИВОДИМЫй (т.
Е. С РаВНЫМ НУЛЮ СЛЕДОМ) СиммЕтричный тЕвЗОр, а1Ь "- антиеиммЕтричный тЕнЗОр: 1 17 2 '1 1 Сс = -сг11з Егь = — (св1ь+ аы — -сс1161ь1, а1ь = -(ст1ь — аы). 3 2(, з )' 2 (117.12) При усреднении произведения сте а„могут оказаться от- (1) (2)* личными от нуля только произведения компонент каждой из указанных трех частей тензора ст1ев по отдельности; ясно, что с помощью единичного тензора нельзя составить выражение, которое по своим свойствам симметрии могло бы соответствовать перекрестным произведениям. Эти соображения позволяют написать искомый тензор четвертого ранга в виде ) (сг(,'ст„'*) с(1'= Соб11бь + — С,(4ьб1 +Б, ды — -б114ь )+ + -'С.(бе„б1 — б, б,„), (117.И) 6 где три члена по своей симметрии как раз отвечают произведениям скалярных, симметричных и антисимметричвых частей 11 ) Допустимость этого пренебрежения требует, однако, специальных оговорок при так называемом рэлеевском рассеянии (см. 1 120).
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. ХЧ тензоров сг,.1 и ггь . Упрощая зто выражение по различным па- (1) (2) рам индексов, пол™учим три равенства, из которых выясняется смысл козффициентов в (117.13): Со= / (ег(~)ег(~)*) <Л'; С, = ~ (з(ьцз1ь~ ) Л', С = ~(а1ьцагь~ ) дч'. (117.14) Эти величины вещественны и положительны 11 Таким образом, тензор 71ь принимает вид 1,Ь = сопз1 ~Сеегег+ — С,~б;ь+егеь — -егел) + 1 / „2 + — С (Б;ь — е; еь)1, 1 (117.15) 1д = сопз1 ( е1еь+ еееь+Ьдгь1, 2 2 (117.16) ') Вещественность тензора (117,13), а тем самым и козффициентов н нем, видна уже из того, что зтот тснзор автоматически оказывается симметричным относительно перестановки пары индексон 11 с парой Йт, а такая перестанонка ралнозначна переходу к комплексно-сопряженной нслнчинс (Вниду зкниналентности точек 1 и 2).
Положительность козффициентон следует из того, что они могут быть представлены я виде квадрата модуля (нли суммы квадратов модулей) путем преобразования, обратного тому, которое было произведено при переходе от (117.9) к (117.10). Так, ~) Формула (117.16) и последующие выводы из нее отличаются лишь определением величин Се, С., С от формул квантовой теории Плачека рассеяния на отдельных свободно ориентирующихся молекулах, изложенной я 1Ч, 6 60, где сопв1 не зависит от направления рассеяния и от поляризации падающей волны. Этот тевзор, .разумеется, еще не поперечен направлению )с'.
Искомый же тензор 7 р гголучится путем проецирования тензора (117.15) на плоскость, перпендикулярную к 1с' (для чего достаточно выбрать систему координат с одной из осей вдоль Й' и взять компоненты тензора по двум другим осям). Обратим внимание на то, что в общем случае рассеяние может быть представлено в виде наложения трех независимых процессов — рассеяний скалярного, симметричного и антисимметричного типов, которым отвечают три члена в (117.15) 2). Если не интересоваться зтим разбиением, может оказаться удобным представить выражение (117.15) в другом виде, приведя в нем подобные члены: 1 117 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ 595 где н — СО+ Св Са: Ь вЂ” СА+ Са~ 30 6 ' 10 6 1 1 с = СΠ— -С, + -С,.
6 6 (117.17) Формула (117.15) или (117.16) определяет угловое распределение и поляризационные свойства рассеянного света. В частности, спроецировав этот тензор на некоторый поляризационный вектор е' (определяющий направление Е'), мы получим интенсивность определенным образом поляризованной компоненты рассеянного света, которая могла бы быть выделена соответствующим поляризационным анализатором: 11ье',*е'„= сопя1 т' СО(ее'*~ + — С,11+ (ее'(' — -(ее'*~ ) + 10 з + -С,(1 — (ее'(~)) (117.18) или и, взяв е' в двух указанных выше направлениях, найдем угловые распределения двух некогерентных составляющих рассеянного ') Подчеркнем лие7иий раз необходимость отличать поляризациоивое состояиие рассеянного света как такового от поляризации е, выделяемой детектором1 1ье';"е~ — — сопя1 т' — ~еенный + — ~ее'(~ + Ь) .
(117.19) 2 2 Рассмотрим рассеяние линейно поляризованной волны. Такой поляризации отвечает вещественный вектор е (см. 11, 9 48, 50). Вместе с ним будут вещественны и все компоненты тензора 1 я рассеянного света. Это значит, что рассеянный свет частично поляризован, причем он может быть разложен на две нсзависимыс (некогерентные) волны, каждая из которых линейно поляризована. Ввиду наличия в перпендикулярной к 1с~ плоскости всего одного избранного направления (выделяемого проекцией вектора е на зту плоскость), заранее очевидно, что одна из зтих волн поляризована с вектором е' в плоскости е1с' (ес интенсивность обозначим через 11), а другая перпендикулярно к атой плоскОсти (интенсивность 12) ).
При вещественном е выражение (117.16) сводится к 1мь = сопя1 (аеееь + ась). (117.20) Сразу же отметим, что оно содержит всего две, а не три независимые постоянные. Соответственно, имеем 1гье',ееь — — сопя1 (а(ее') + Ь) РАССЕЯНИИ ЗЛНКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. ХЧ света: 11 = сопяС [ая1п д+ Ь), 1я = сопя1 Ь, [117.21) где О угол между е и направлением рассеяния 1г'. Отметим, что второе из распределений оказывается изотропным. При прохождении через среду естественного света рассеянный свет будет частично поляризован.
Соответствующий тензор 1яь получается из [117.16) усреднением по всем направлениям е в плоскости, перпендикулярной к 1г. Оно осуществляется фор- мулой 1 е,еь — — — [б,ь — и;иь) 2 [117.22) [п = 1г/Й); это --. тензор второго ранга, зависящий только от направления п, обращающийся в 1 при упрощении и удовлетворяющий условию и;е,е*„= [пе)е* = О. Таким образом, при рассеянии естественного света 1,ь = сонно 1 — '[бяь — и;иь)+ Ьбяь). (2 [117.23) Из соображений симметрии очевидно, что две некогерентные комГГоненты рассеянного света будут линейно поляризованы с вектором е' в плоскости 1г1г [плоскость рассеяния) и перпендикулярно к ней; обозначим интенсивности зтих компонент соответственно как 1и и 1т. Из формулы 1,ье';е„= сонями.
( — [1 — [пе )~„'+ Ь) получим 1~ = сопя1 1 — соя~ д+ 61, 1г = сонями 1 — + 61, [117.24) '2 / 'Ч2 1= — яйп О 3 . 2 2 [117.25) [здесь и ниже выражения для 1 нормированы так, что их усредненное по направлениям значение равно 1). При рассеянии же где д — угол рассеяния [угол между 1г и 1г'). Выпишем еще формулы для углового распределения и поляризационных свойств каждого из трех типов рассеяния по отдельности. Они получаются из [117.21) и [117.24) просто путем подстановки в них для а и 6 соответствующих членов из [117.17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
