VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Этот конус — круговой, но ннтенснвность излучения зависит от азимута ' ): в частности, излучение отсутствует в х плоскости хх,х = х/2 (в силу равенства нЕ = 0). Конус необыкновенных волн не круговой н его раствор зависит от Ел (е1 — в 1) сйпз 1Р -> вх сов~ д = (в1 — ех) е1п 1в+ ехегоз/сз причем должно быть о > с/ /ер Необыкновенное нзлученне полярнзовано с вектором ь1 в главном сечении, перпендикулярно к 1г. Если 1г лежит в плоскости ху (у = О), то вектор Р, а с ннм н Е направлены вдоль осн х; прн етом чЕ = О, так что ннтенснвность необыкновенного излучения в елоскостн ху обращается в нуль. Рнс.
62 8 116. Переходное излучение Излучение Черенкова характерно тем, что оно имеет место при равномерном движении заряженной частицы (между тем как заряд, равномерно движущийся в пустоте, не излучает). Другую категорию аналогичных в этом смысле явлений представляет переходное излучение излучение при равномерном движении заряженной частицы в пространственно неоднородной среде, в том числе при переходе из одной среды в другую (В.Л. Гинзбург, И.М. Франк, 1945).
Оно принципиально отличается от излучения Черенкова в том отношении, что оно имеет место при любых скоростях частицы, а не только при скоростях, превышающих фазовую скорость света в среде. Как и излучение Черенкова, оно не имеет ничего общего с тормозным излучением (которое тоже возникает при падении заряженных частиц на поверхность раздела двух сред). Как и для излучения Черенкова, разница особснно наглядна при переходе к пределу сколь угодно большой массы частиц ..
тормозное излучение при этом исчезает, а переходное остается. Рассмотрим переходное излучение при прохождении заряженной частицы (с постоянной скоростью ч) через границу между вакуумом и диэлектрической (немагнитной) средой с комплексной проницасмостью 6. Движение происходит вдоль оси х, перпендикулярной к плоскости раздела (плоскость х =О, рис. 63). ') Нахождение распрсделення ннтонснвностн требовало бы вычнслсння силы торможення, аналогичного произведенному в 5 114 для нзотропной среды. Изложение зтнх вычислений (а также некоторых других вопросов, связанных с излучением Черенкова) можно найти в обзорных статьях Болотповсквгв Б.М. О УФН. 1957.
Т. 62. С. 201; 1961. Т. 75. С. 295. 583 1 11б ПЕРЕХОДНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ Электромагнитное поле определяется уравнениями (114.1)"- (114.3) или эквивалентными им (114.6). Все величины в уравнениях разлагаем в интегралы Фурье по времени и по координатам у, е, по которым среда однородна: 1(чг — м1) Я (116 1) (2 .)г „2(е) бее ~ 2 ( и еег ] бее/е е (е) ЕУ (е) ~еч = — ггеч.
с (116.2) Отсюда напряженность электрического поля Е ч = г ~~е (,,) Ч) ге ч (116.3) (выражение для Н ч нам не понадобится и мы его не выписы(е) ваем). Вторую часть решения, отвечающую полю свободного излучения, пишем сразу в виде напряженности. Продольную компоненту напряженности Е ч записываем как (е) (Е(;,) ) = чае-1~** с неизвестным пока коэффициентом а; для Ц имеем теперь )с,+д 2 2 еы ег (116.4) Поперечная компонента (о которой заранее известно, что она направлена вдоль Ч вЂ” единственного выделенного в этой плоскости направления) определяется затем уравнением с)(у О = О, т. е. б(Ч ~ й~п)Е ч — — О (и орт оси т): г г Е(,",) = га и ~ — 1 — — д2 ехр ~ге — — д2 .
(116.5) дг ег ег и т. д., где Ч волновой вектор в плоскости уе. В каждом из двух полупространств ищем поле в виде суммы частного решения неоднородных УРавнений (114.6) (поле заРЯДа, инДекс (е)) и об- Рее. бЗ щего решения однородных уравнений -- уравнений (114.6) без правых частей (поле свободного излучения, индекс (г)). Первое дается формулами, аналогичными (114.7): 584 ИРохождение БыстРых чАстиц чеРез Вещество ГЛ.
Х1Н Знаки + и — в показателях относятся соответственно к полупространствам х ) О и х ( О: волны распространяются в направлениях от границы раздела ). Постоянные а1 и а2 в обоих полупространствах определяются из условий непрерывности на границе раздела нормальных компонент индукции, епЕмч, и тангенциальных компонент напряженности электрического поля, с)Е (условие же непрерывности напряженности магнитного поля не дает, разумеется, ничего нового).
Выпишем результат для коэффициента в области х ( О (вакуум): 4 ед44'(е — 1)(1 — д'+)4 Й вЂ” ') а1— ь4(1 — ~3З + 1уз44З) (1 + (3~4 — 44з) (ъ е — хв + ЗД вЂ” мв) где () = и/с, хс = дс/а4. Вычислим теперь полную энергию ®, излучаемую частицей в вакуум, т. е. назад по направлению движения электрона. Простой способ сделать это состоит в том, чтобы рассматривать излученный волновой цуг при больших временах 1, когда он уже ушел далеко налево; поле излучения и собственное поле заряда оказываются при этом уже разделенными. Энергия Ф1 получается интегрированием плотности энергии поля излучения по всему пространству. Если перенести начало координат вдоль оси х в область волнового цуга, то ввиду затухания его поля в обе стороны по х интегрирование по этой координате можно распространить от — со до сс.
В волновой зоне плотности электрической и магнитной энергии одинаковы. Поэтому Ф1 = — ~ с(у4Ь ~ дх Е2. Подставив сюда Е1 в виде разложения (116.1), пишем квадрат интеграла в виде двойного интеграла: Е ((,г) = Емч(х)Е,*, ч (х) х х ехр (1(г(с) — с)~) — 1(4п — се~) ~1 4(ь4 Й~' 4 44( 4' (2л)е Интегрирование этого выражения по дуде дает о-функцию (24Г)2о(с) — с('), которая затем устраняется интегрированием по с(2д'.
Таким образом, Ф1 = — с(х Е (х)Е* (х)е п(м ) 4. (116.7) 4х 4,4 ч ч (2х)4 ') В формулах (116.2) — (116.5) под е надо понимать е1 = 1 в области е < О и е = ез в области е > О. В послеДУюЩих фоРмУлах везДе е = ею 585 1 11б ПЕРЕХОДНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ Подставив сюда для Е~ч выражение (116.5) (с е = 1, а = а1) и произведя интегрирование по е, получим тг1 ~а1~ 5 д2 д2 2 / дзсз ~ сз сз (2х)4 здесь уже учтено, что ввиду наличия 6-функции будет ы = о1', по втой же причине в произведении а1(о4,с))а1(ьубс)) исчезают фазовые множители, возникающие в а1 при смещении начала координат в (116.5).
Интегрирования по ш и 4с' производятся от — со до со; устранив б-функцию интегрированием по об', получим з 2 2 4 О ввиду четности подынтегрального выражения по ы интеграл по 4О представлен как удвоенный интеграл от О до оо. Интегрирование по 412д должно производиться по области 92 ( ссз без, в которой е вещественно, так что поле (116.5) действительно описывает распространяющуюся волну ).
Введем угол д между волновым вектором излучения 14 = (Йт,с)) и направлением вектора — з4 (так что В = О отвечает излучению строго назад по отношению к направлению движения частицы). Тогда д = (4с/с) е)пд; перейдя от интегрирования по 44 д к интегрированию по 24гб1 дд = (2хо4~/с ) еш д сов В Ю, имеем со ябб2 со т/2 т41 = / / ~а1~~4О~ 41Вс)о4= ~ ~ ®1(ы,д) 2хе)пдс1041ьз. с(2х)з .1 .1 З1ЕВ О О О О Функция тг1 (сс, В) дает спектральное и угловое распределение излучения. Взяв а1 из (116.6), получим окончательно; ®(4с, В) = (116.9) с~В~ З1п~ В соя~ В (е — 1)(1 — )3~ ч-)3,/е — З1п~ В) хзс(1 —,3з созе В)з (1 л- В „lе — з1пз В) (е соя В -~-;Д вЂ” З1пв В) (В.Л.
Гинзбург, И.М. Франк, 1945). Переходное излучение линейно поляризованоб причем злектрический вектор лежит (как ) При д~ > ы~ббс экспоненциальные множители в выражении (115.5) ... б......,(б.,~ф -— . 7Яб„,...,...-,- ..„ хаюбцим от границы поверхностным волнам. Чакие волны обязательно присутствуют при переходном излучении; мы их здесь не рассматриваем. 586 пРохождеиие выстРых частиц чеРез вещество ГЛ. Х1Ч зто видно из (116.5)) в плоскости, проходящей через 1с и тг.
Для нерелятивистских скоростей интенсивность излучения пропорциональна и, т. е. энергии частицы. На границе с идеальным проводником (е = со) формула (116.9) сводится к ®( й) ео эщ д ггг се (1 — 13г соэг 6) г ' В ультрарелятивистском случае (,3 — 1) излучение имеет максимум в области малых углов, О,/1 — )22. Действительно, формула (116.9) принимает здесь вид Рг У1(ы,В) = ' е — ' г. г-1 1 (лг+(1 11г))г' С логарифмической точностью имеем отсюда для полной спектральной плотности излучения -1 г 2 ®(ог) — ~ Ф1(ог, В) 2пйсИ = — 1п . (116.10) гс тг'е + 1 1 — юг а Если воспользоваться, при достаточно больших частотах, предельным выражением диэлектрической проницаемости (78.1), ые 2 4пМе (116.11) то мы найДем, что пРи пг» а16 спектРальнос РаспРеДеленис излучения убывает как ы 4. Зто значит, что в действительности основной вклад в переходное излучение (в направлении назад) дают частоты ы < ще.
Наконец, остановимся на переходном излучении при прохождении частицы из среды в вакуум. Зта задача отличается от предыдущей липгь изменением знака скорости тг. Поэтому дифференциальная интенсивность излучения в вакуум при выходе заряженной частицы из среды дается формулой, получающейся из (116.9) заменой п — + — и, причем 0 будет теперь углом между направлением 1с и и (так что О = О отвечает излучению строго вперед по движению частицы) ); ) Для прозрачной среды (Е можно считать вещественной) ограничиваемся скоростями и < с/ч1ю В противном случае возникает нопрос об отделении вклада черенковского излучения, испускаемого частицей в среде вперед по направлению ее движения и выходящего через границу в вакуум.
Этому выходу отвечает полюс интенсивности (116.12) в точке, где у'е — гйпг 0 = 1. Определяемый этим равенством угол Е есть как раз угол выхода преломленного на границе луча черенковского конуса в среде. 587 1 116 ПЕРЕХОДНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ гх1(иг, и)— е~~3~З1п бсоаг0 (г — 1)(1 —,9~ — ВггГе — З1п~б) кгс(1 — 122 совг 0)2 (1 — 6,Й вЂ” з1пг б)(е сов 6 + уГе — агпг б) (116.12) В ультрарелятивистском случае излучение имеет максимум интенсивности в области малых углов, д у71 — )82. Формула (116.12) принимает здесь вид ~( В) — ' б ~ ) (И618) кгс (1 — Рлг -1 82)2)1 — )2 е2 — 62)2 Если е не слишком близко к единице, последний множитель в знаменателе заменяется на (1 — хуе~ и для спектрального рас- 2 пределения получается, с логарифмической точностью, Ф1 (ог) — 1п кс 1 —,Вг Для больших частот снова используем выражение (116.11) и заменяем в (116.13) ))~/~ л2 1 (1 )82+ ь'е + 62) /~ 1 ые Интегрирование по углам дает у( ) е 1 ьгс при ше « иг « кс ы'(1 — )82) ,г 4 221 (ог) = — ( — ) при иг» Из зтих формул видно, что основной вклад в излучение вперед дают высокие частоты, иг ого/~/1 — )22 (ГМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
